2020版高考数学一轮复习 第3章 三角函数、解三角形 第5节 三角恒等变换教学案 文（含解析）北师大版

第五节三角恒等变换考纲传真1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式3会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系4能运用上述公式进行简单的三角恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆)1两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin()sin cos cos sin ；(2)cos()cos cos sin sin ；(3)tan().2二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 22sin cos ；(2)cos 2cos2sin22cos2112sin2；(3)tan 2.1公式T()的变形：(1)tan tan tan()(1tan tan )；(2)tan tan tan()(1tan tan )2公式C2的变形：(1)sin2(1cos 2)；(2)cos2(1cos 2)3公式逆用：(1)sincos；(2)sincos；(3)sincos.4辅助角公式asin bcos sin()(其中tan )，特别的sin cos sin；sin cos 2sin；sin cos 2sin.基础自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)存在实数，使等式sin()sin sin 成立()(2)在锐角ABC中，sin Asin B和cos Acos B的大小关系不确定()(3)公式tan()可以变形为tan tan tan()(1tan tan )，且对任意角，都成立()(4)函数y3sin x4cos x的最大值为7()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)sin 20cos 10cos 160sin 10()ABCDDsin 20cos 10cos 160sin 10sin 20cos 10cos 20sin 10sin(2010)sin 30，故选D3(教材改编)已知cos ，是第三象限角，则cos的值为()A B C DA由cos ，是第三象限角知sin ，则coscoscos sinsin .故选A4已知sin()，则cos 2_.由sin()，得sin ，则cos 212sin212.5(教材改编)_.tan 30. 三角函数式的化简1已知sincos，则tan ()A1 B0CD1A因为sincos，所以cos sin cos sin .所以cos sin .所以tan 1，故选A2计算的值为()A B C DB.3已知，且sin cos ，则()A B C DD由sin cos 得sin，因为，所以0，所以cos.2cos.4已知0，则_.cos 原式.因为0，所以0，所以cos 0.所以原式cos .规律方法1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则2三角函数式化简的方法弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次三角函数式的求值考法1给值求值【例1】(1)(2018全国卷)若sin ，则cos 2()A B C D(2)(2019太原模拟)已知角是锐角，若sin，则cos等于()ABCD(3)若，是锐角，且sin sin ，cos cos ，则tan()_.(1)B(2)A(3)(1)cos 212sin2122.故选B(2)由0得又sin，coscoscoscoscossinsin，故选A(3)因为sin sin ，cos cos ，两式平方相加得：22cos cos 2sin sin ，即22cos()，所以cos()，因为、是锐角，且sin sin 0，所以0.所以0.所以sin().所以tan().考法2给角求值【例2】(1)tan 20tan 40tan 20tan 40_.(2)sin 50(1tan 10)_.(1)(2)1(1)由tan(2040)得tan 20tan 40(1tan 20tan 40)原式(1tan 20tan 40)tan 20tan 40.(2)sin 50(1tan 10)sin 50sin 50sin 501.考法3给值求角【例3】(1)若sin 2，sin()，且，则的值是()ABC或D或(2)已知，(0，)，且tan()，tan ，则2的值为_(1)A(2)(1)，2.又sin 20，2，cos 2且.又，.sin()0，cos()且，cos()cos2()cos 2cos()sin 2sin().2，故选A(2)因为tan tan()0，所以0，又因为tan 20，所以02，所以tan(2)1.因为tan 0，所以，20，所以2.规律方法三角函数求值的三种情况(1)“给角求值”中一般所给出的角都是非特殊角，应仔细观察非特殊角与特殊角之间的关系，结合公式将非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数求解(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角 (1)若0，0，cos，cos，则cos()A BCD(2)_.(3)(2019长春模拟)已知sin ，sin()，均为锐角，则角值是_(1)A(2)(3)(1)由0得，又cos，sin，由0得.又cos，sin.coscoscoscossinsin.(2)原式.(3)，均为锐角，.又sin()，cos().又sin ，cos ，sin sin()sin cos()cos sin().三角恒等变换的综合应用【例4】(2019合肥模拟)已知函数f(x)sin2xsin2，xR.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值解(1)由已知得f(x)cos 2xsin 2xcos 2xsin.所以f(x)的最小正周期T.(2)由(1)知f(x)sin.x，2x，当2x，即x时，f(x)有最小值，且f ，当2x，即x时，f(x)有最大值，且f .所以f(x)在区间上的最大值为，最小值为.规律方法三角恒等变换在三角函数图像和性质中的应用解决此类问题可先根据和角公式、倍角公式把函数表达式变为正弦型函数yAsin(x)t或余弦型函数yAcos(x)t的形式，再利用三角函数的图像与性质求解 (2019温州模拟)已知函数f(x)sin xcos xcos2x.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若0，f()，求sin 2的值解(1)函数f(x)sin xcos xcos2xsin 2xsin，函数f(x)的最小正周期为.(2)若0，则2，f()sin，sin，2，cos，sin 2sinsincos cossin .1(2017全国卷)函数f(x)sinxcos的最大值为()A B1CDA法一：f(x)sincoscos xsin xsin xcos xcos xsin xsin xcos xsin，当x2k(kZ)时，f(x)取得最大值.故选A法二：，f(x)sincossincossinsinsin.f(x)max，故选A2(2016全国卷)若cos，则sin 2()ABCDD因为cos，所以sin 2coscos 22cos2121.3(2018全国卷)已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos 2，则|ab|()ABCD1B由题意知cos 0.因为cos 22cos21，所以cos ，sin ，得|tan |.由题意知|tan |，所以|ab|.4(2018全国卷)已知tan，则tan _.法一：因为tan ，所以，即，解得tan .法二：因为tan，所以tan tan.5(2017全国卷)函数f(x)2cos xsin x的最大值为_f(x)2cos xsin x，设sin ，cos ，则f(x)sin(x)，函数f(x)2cos xsin x的最大值为.- 13 -