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第八节圆锥曲线的综合问题考纲传真1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法；2.了解圆锥曲线的简单应用；3.理解数形结合的思想1直线与圆锥曲线的位置关系设直线l：AxByC0，圆锥曲线C：F(x，y)0，由消去y得到关于x的方程ax2bxc0.(1)当a0时，设一元二次方程ax2bxc0的判别式为，则0直线l与圆锥曲线C有两个公共点；0直线l与圆锥曲线C有一个公共点；0直线l与圆锥曲线C有零个公共点(2)当a0，b0时，圆锥曲线C为抛物线或双曲线当C为双曲线时，l与双曲线的渐近线平行或重合，它们的公共点有1个或0个当C为抛物线时，l与抛物线的对称轴平行或重合，它们的公共点有1个2圆锥曲线的弦长公式设斜率为k的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x1x2|y1y2|.过一点的直线与圆锥曲线的位置关系(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切；过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切；过椭圆内一点的直线与椭圆相交(2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直线基础自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)直线l与椭圆C相切的充要条件是直线l与椭圆C只有一个公共点()(2)直线l与双曲线C相切的充要条件是直线l与双曲线C只有一个公共点()(3)过抛物线y22px(p0)焦点的弦中最短弦的弦长是2p()(4)若抛物线上存在关于直线l对称的两点，则l与抛物线有两个交点()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)直线yk(x1)1与椭圆1的位置关系是()A相交B相切C相离D不确定A直线yk(x1)1恒过定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交3“直线与双曲线相切”是“直线与双曲线只有一个公共点”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件A直线与双曲线相切时，只有一个公共点，但直线与双曲线相交时，也可能有一个公共点，例如：与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线只有一个交点故选A4过点(0,1)作直线，使它与抛物线y24x仅有一个公共点，这样的直线有_条3结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x0，过点(0,1)且平行于x轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x0). 5(教材改编)已知与向量v(1,0)平行的直线l与双曲线y21相交于A，B两点，则|AB|的最小值为_4由题意可设直线l的方程为ym，代入y21得x24(1m2)，所以x12，x22，所以|AB|x1x2|44，即当m0时，|AB|有最小值4.第1课时直线与圆锥曲线直线与圆锥曲线的位置关系1过抛物线y22x的焦点作一条直线与抛物线交于A，B两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线()A有且只有一条B有且只有两条C有且只有三条D有且只有四条B设该抛物线焦点为F，A(xA，yA)，B(xB，yB)，则|AB|AF|FB|xAxBxAxB132p2.所以符合条件的直线有且只有两条2若直线ykx1与椭圆1总有公共点，则m的取值范围是()Am1Bm0C0m5且m1Dm1且m5D由于直线ykx1恒过点(0,1)，所以点(0,1)必在椭圆内或椭圆上，则0b0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交椭圆E于A，B两点若AB的中点坐标为(1，1)，则E的方程为()A1B1C1D1D 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以运用点差法，所以直线AB的斜率为k，设直线方程为y(x3)，联立直线与椭圆的方程得(a2b2)x26b2x9b2a40，所以x1x22，又因为a2b29，解得b29，a218，方程为1.考法3与弦长有关的综合问题【例3】如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆1(ab0)的离心率为，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD当直线AB斜率为0时，AB4.(1)求椭圆的方程；(2)若|AB|CD|，求直线AB的方程解(1)由题意知e，2a4.又a2b2c2，解得a2，b，所以椭圆方程为1.(2)当两条弦中一条弦所在直线的斜率为0时，另一条弦所在直线的斜率不存在，由题意知|AB|CD|7，不满足条件当两弦所在直线的斜率均存在且不为0时，设直线AB的方程为yk(x1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则直线CD的方程为y(x1)将直线AB方程代入椭圆方程中并整理得(34k2)x28k2x4k2120，则x1x2，x1x2，所以|AB|x1x2|.同理，|CD|.所以|AB|CD|，解得k1，所以直线AB的方程为xy10或xy10.规律方法求解弦长的四种方法(1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解(2)联立直线与圆锥曲线方程，解方程组求出两个交点坐标，代入两点间的距离公式求解(3)联立直线与圆锥曲线方程，消元得到关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系得到(x1x2)2，(y1y2)2，代入两点间的距离公式(4)当弦过焦点时，可结合焦半径公式求解弦长 设椭圆M：1(ab0)的离心率与双曲线x2y21的离心率互为倒数，且椭圆的长轴长为4.(1)求椭圆M的方程；(2)若直线yx1交椭圆M于A，B两点，P(1，)为椭圆M上一点，求PAB的面积解(1)由题可知，双曲线的离心率为，则椭圆的离心率e，由2a4，b2a2c2，得a2，c，b，故椭圆M的方程为1.(2)联立方程得4x22x30，且所以|AB|x1x2|.又P到直线AB的距离为d，所以SPAB|AB|d.- 7 -
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