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第一节直线的倾斜角与斜率、直线方程考纲传真1.在平面直角坐标系中，结合具体图形确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系1直线的倾斜角(1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l重合所成的角，叫作直线l的倾斜角当直线l与x轴平行时，它的倾斜角为0.(2)倾斜角的范围为0180.2斜率公式(1)直线l的倾斜角为90，则斜率ktan ，当90时，直线斜率不存在(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1x2，则l的斜率k.3直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式yy0k(xx0)不含直线xx0斜截式ykxb不含垂直于x轴的直线两点式不含直线xx1(x1x2)和直线yy1(y1y2)截距式1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式AxByC0，A2B20平面内所有直线都适用牢记倾斜角与斜率k的关系(1)当且由0增大到时，k的值由0增大到.(2)当时，k也是关于的单调函数，当在此区间内由增大到()时，k的值由趋近于0(k0)基础自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置()(2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率()(3)直线的倾斜角越大，其斜率就越大()(4)过定点P0(x0，y0)的直线都可用方程yy0k(xx0)表示()(5)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示()答案(1)(2)(3)(4)(5)2(教材改编)若过点M(2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为()A1B4C1或3D1或4A由题意得1，解得m1.3直线xya0的倾斜角为()A30 B60 C150 D120B设直线的倾斜角为，则tan ，0180，60.4(教材改编)经过点M(1,1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程是()Axy2Bxy1Cx1或y1Dxy2或xyD若直线过原点，则直线为yx，符合题意，若直线不过原点，设直线为1，代入点(1,1)，解得m2，直线方程整理得xy20，故选D5如果AC0且BC0，在y轴上的截距0，故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限直线的倾斜角和斜率1(2019石家庄模拟)直线x(a21)y10的倾斜角的取值范围是()A.B.C DB由直线方程可得该直线的斜率为，又10，所以倾斜角的取值范围是.2若点A(4,3)，B(5，a)，C(6,5)三点共线，则a的值为_4因为kAC1，kABa3.由于A，B，C三点共线，所以a31，即a4.3直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为_(，1，)如图，kAP1，kBP，k(，1，)规律方法直线倾斜角的范围是0，)，根据斜率求倾斜角的范围时，要分与两种情况讨论易错警示：由直线的斜率k求倾斜角的范围时，要对应正切函数的图像来确定，要注意图像的不连续性直线的方程【例1】根据所给条件求直线的方程：(1)直线过点(4,0)，倾斜角的正弦值为；(2)直线过点(3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12.解(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式设倾斜角为，则sin (0)，从而cos ，则ktan .故所求直线方程为y(x4)即x3y40或x3y40.(2)由题设知横截距与纵截距都不为0，设直线方程为1，又直线过点(3,4)，从而1，解得a4或a9.故所求直线方程为4xy160或x3y90.规律方法在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况 一条直线经过点A(2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为_x2y20或2xy20设所求直线的方程为1.A(2,2)在直线上，1.又因直线与坐标轴围成的三角形面积为1，|a|b|1.由可得(1)或(2)由(1)解得或方程组(2)无解故所求的直线方程为1或1，即x2y20或2xy20为所求直线的方程直线方程的综合应用【例2】过点P(4,1)作直线l分别交x轴，y轴正半轴于A，B两点，O为坐标原点(1)当AOB面积最小时，求直线l的方程；(2)当|OA|OB|取最小值时，求直线l的方程解设直线l：1(a0，b0)，因为直线l经过点P(4,1)，所以1.(1)12，所以ab16，当且仅当a8，b2时等号成立，所以当a8，b2时，AOB的面积最小，此时直线l的方程为1，即x4y80.(2)因为1，a0，b0，所以|OA|OB|ab(ab)5529，当且仅当a6，b3时等号成立，所以当|OA|OB|取最小值时，直线l的方程为1，即x2y60.规律方法与直线方程有关的最值问题的解题思路(1)借助直线方程，用y表示x或用x表示y；(2)将问题转化成关于x(或y)的函数；(3)利用函数的单调性或基本不等式求最值 已知直线l1：ax2y2a4，l2：2xa2y2a24，当0a2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数a的值解由题意知直线l1，l2恒过定点P(2,2)，直线l1在y轴上的截距为2a，直线l2在x轴上的截距为a22，所以四边形的面积S2(2a)2(a22)a2a4，当a时，四边形的面积最小，故实数a的值为.- 6 -
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