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第一节数列的概念与简单表法考纲传真1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数1数列的定义按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项2数列的分类分类标准类型满足条件项数有穷数列项数有限无穷数列项数无限单调性递增数列an1an其中nN*递减数列an1an常数列an1an3.数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图像法和通项公式法4数列的通项公式如果数列an的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子表示成anf(n)，那么这个式子就叫作这个数列的通项公式5an与Sn的关系若数列an的前n项和为Sn，通项公式为an，则an1数列an是递增数列an1an恒成立2数列an是递减数列an1an恒成立基础自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)所有数列的第n项都能使用公式表达()(2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个()(3)如果数列an的前n项和为Sn，则对任意nN*，都有an1Sn1Sn()(4)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)数列1，的一个通项公式为()AanBan(1)nCan(1)n1DanB由a11，代入检验可知选B3设数列an的前n项和Snn2，则a8的值为()A15B16C49D64A当n8时，a8S8S7827215.4把3,6,10,15,21，这些数叫做三角形数，这是因为以这些数目的点可以排成一个正三角形(如图所示)则第6个三角形数是()A27 B28 C29 D30B由题图可知，第6个三角形数是123456728.5在数列an中，a11，an1(n2)，则a5()A B C DDa212，a311，a41123，a511.由数列的前几项归纳数列的通项公式1数列0，的一个通项公式为()Aan(nN*)Ban(nN*)Can(nN*)Dan(nN*)C注意到分子0,2,4,6都是偶数，对照选项排除即可2数列an的前4项是，1，则这个数列的一个通项公式是an_.数列an的前4项可变形为，故an.3写出下面各数列的一个通项公式：(1)3,5,7,9，；(2)，；(3)3,33,333,3 333，；(4)1,1，2,2，3,3.解(1)各项减去1后为正偶数，所以an2n1.(2)数列中各项的符号可通过(1)n1表示每一项绝对值的分子比分母少1，而分母组成数列21，22，23，24，所以an(1)n1.(3)将数列各项改写为，分母都是3，而分子分别是101,1021,1031,1041，所以an(10n1)(4)数列的奇数项为1，2，3，可用表示，数列的偶数项为1,2,3，可用表示因此an规律方法由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略(1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法(2)具体策略：分式中分子、分母的特征；相邻项的变化特征；拆项后的特征；各项的符号特征和绝对值特征；化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；对于符号交替出现的情况，可用(1)k或(1)k1，kN*处理由an与Sn的关系求通项公式【例1】(1)若数列an的前n项和Sn3n22n1，则数列an的通项公式an_.(2)若数列an的前n项和Snan，则an的通项公式an_.(1)(2)(2)n1(1)当n1时，a1S13122112；当n2时，anSnSn13n22n13(n1)22(n1)16n5，显然当n1时，不满足上式故数列的通项公式为an(2)由Snan，得当n2时，Sn1an1，两式相减，得ananan1，当n2时，an2an1，即2.又n1时，S1a1a1，a11，an(2)n1.规律方法1.已知Sn求an的三个步骤(1)先利用a1S1求出a1；(2)用n1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用anSnSn1(n2)便可求出当n2时an的表达式；(3)注意检验n1时的表达式是否可以与n2的表达式合并2Sn与an关系问题的求解思路根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化(1)利用anSnSn1(n2)转化为只含Sn，Sn1的关系式，再求解；(2)利用SnSn1an(n2)转化为只含an，an1的关系式，再求解 (1)已知数列an的前n项和Sn3n1，则数列的通项公式an_.(2)在数列an中，Sn是其前n项和，且Sn2an1，则数列的通项公式an_.(1)(2)2n1(1)当n1时，a1S1314，当n2时，anSnSn13n13n1123n1.显然当n1时，不满足上式an(2)依题意得Sn12an11，Sn2an1，两式相减得Sn1Sn2an12an，即an12an，又S12a11a1，因此a11，所以数列an是以a11为首项、2为公比的等比数列，an2n1.由数列的递推关系求通项公式考法1形如an1anf(n)，求an【例2】在数列an中，a12，an1an3n2(nN*)，求数列an的通项公式解(1)an1an3n2，anan13n1(n2)，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1(n2)当n1时，a1(311)2符合公式，ann2.考法2形如an1anf(n)，求an【例3】已知数列an满足a11，an12nan，求数列an的通项公式解an12nan，2n，2n1(n2)，ana12n12n2212123(n1)2.又a11适合上式，故an2.考法3形如an1AanB(A0且A1)，求an.【例4】已知数列an满足a11，an13an2，求数列an的通项公式解an13an2，an113(an1)，又a11，a112，故数列an1是首项为2，公比为3的等比数列，an123n1，因此an23n11.规律方法由递推关系式求通项公式的常用方法(1)已知a1且anan1f(n)，可用“累加法”求an，即an(anan1)(an1an2)(a3a2)(a2a1)a1.(2)已知a1且f(n)，可用“累乘法”求an，即ana1.(3)已知a1且an1qanb，则an1kq(ank)(其中k可由待定系数法确定)，可转化为等比数列ank(4)形如an1(A，B，C为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解 根据下列条件，求数列an的通项公式(1)a11，an1an2n；(2)a1，anan1(n2)；(3)a11，an12an3；(4)a11，an1.解(1)由题意知an1an2n，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a12n12n2212n1.(2)因为anan1(n2)，所以当n2时，所以，以上n1个式子相乘得，即21，所以an.当n1时，a1，与已知a1相符，所以数列an的通项公式为an.(3)由an12an3得an132(an3)又a11，a134.故数列an3是首项为4，公比为2的等比数列，an342n12n1，an2n13.(4)因为an1，a11，所以an0，所以，即.又a11，则1，所以是以1为首项，为公差的等差数列所以(n1).所以an(nN*)1(2014全国卷)数列an满足an1，a82，则a1_.an1，an1111(1an2)an2，周期T(n1)(n2)3.a8a322a22.而a2，a1.2(2015全国卷)设Sn是数列an的前n项和，且a11，an1SnSn1，则Sn_.an1Sn1Sn，an1SnSn1，Sn1SnSnSn1.Sn0，1，即1.又1，是首项为1，公差为1的等差数列1(n1)(1)n，Sn.3(2016全国卷)已知各项都为正数的数列an满足a11，a(2an11)an2an10.(1)求a2，a3；(2)求an的通项公式解(1)由题意可得a2，a3.(2)由a(2an11)an2an10得2an1(an1)an(an1)因为an的各项都为正数，所以.故an是首项为1，公比为的等比数列，因此an.- 9 -
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