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第二节基本不等式考纲传真1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题1基本不等式(1)基本不等式成立的条件：a0，b0.(2)等号成立的条件：当且仅当ab.2几个重要的不等式(1)a2b22ab(a，bR)；(2)2(a，b同号且不为零)；(3)ab (a，bR)；(4)(a，bR)3算术平均数与几何平均数设a0，b0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数4利用基本不等式求最值问题已知x0，y0，则(1)如果xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最小值是2(简记：积定和最小)(2)如果xy是定值q，那么当且仅当xy时，xy有最大值是(简记：和定积最大)重要不等式链若ab0，则ab.基础自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数yx的最小值是2()(2)函数f(x)cos x，x的最小值等于4()(3)x0，y0是2的充要条件()(4)若a0，则a3的最小值为2()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)设x0，y0，且xy18，则xy的最大值为()A80 B77C81D82Cxy81，当且仅当xy9时，等号成立故选C3若a，bR，且ab0，则下列不等式中，恒成立的是()Aa2b22abBab2CD2Da2b22ab(ab)20，A错误；对于B，C，当a0，b0，22.4若x1，则x的最小值为_5x(x1)1215，当且仅当x1，即x3时等号成立5若实数x，y满足xy1，则x22y2的最小值为_2由xy1得x22y222.当且仅当x22y2时等号成立利用基本不等式求最值考法1直接法或配凑法求最值【例1】(1)(2018天津高考)已知a，bR，且a3b60，则2a的最小值为_(2)已知x，则f(x)4x2的最大值为_(1)(2)1(1)由题知a3b6，因为2a0,8b0，所以2a22，当且仅当2a，即a3b，a3，b1时取等号(2)因为x，所以54x0，则f(x)4x2323231.当且仅当54x，即x1时，等号成立故f(x)4x2的最大值为1.考法2常数代换法求最值【例2】已知a0，b0，ab1，则的最小值为_4因为ab1，所以(ab)222224.当且仅当ab时，等号成立拓展探究(1)若本例条件不变，求的最小值；(2)若将本例条件改为a2b3，如何求解的最小值解(1)52549.当且仅当ab时，等号成立(2)因为a2b3，所以ab1.所以121.当且仅当ab时，等号成立规律方法利用基本不等式求最值的三种思路利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有三种思路：(1)利用基本不等式直接求解(2)对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解常用的方法有：拆项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等(3)条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值 (1)若函数f(x)x(x2)在xa处取最小值，则a等于()A1B1C3D4(2)(2018平顶山模拟)若对于任意的x0，不等式a恒成立，则实数a的取值范围为()AaBaCaDa(3)已知正实数x，y满足2xy2，则的最小值为_(1)C(2)A(3)(1)当x2时，x20，f(x)(x2)2224，当且仅当x2(x2)，即x3时取等号，即当f(x)取得最小值时，即a3，选C(2)由x0，得，当且仅当x1时，等号成立则a，故选A(3)正实数x，y满足2xy2，则(2xy)，当且仅当xy时取等号的最小值为.基本不等式的实际应用【例3】某厂家拟定在2018年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m(m0)万元满足x3(k为常数)如果不搞促销活动，那么该产品的年销量只能是1万件已知2018年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)(1)将2018年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；(2)该厂家2018年的促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？解(1)由题意知，当m0时，x1(万件)，所以13kk2，所以x3，每件产品的销售价格为1.5(元)，所以2018年的利润y1.5x816xm29(m0)(2)因为m0，(m1)28，所以y82921，当且仅当m1m3(万元)时，ymax21(万元)故该厂家2018年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元规律方法利用基本不等式解决实际问题的3个注意点(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解 经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)，第t天(1t30，tN*)的旅游人数f(t)(万人)近似地满足f(t)4，而人均消费g(t)(元)近似地满足g(t)120|t20|.(1)求该城市的旅游日收益W(t)(万元)与时间t(1t30，tN*)的函数关系式；(2)求该城市旅游日收益的最小值解(1)W(t)f(t)g(t)(120|t20|)(2)当t1,20时，4014t4012441(t5时取最小值)当t(20,30时，因为W(t)5594t递减，所以t30时，W(t)有最小值W(30)443，所以t1,30时，W(t)的最小值为441万元- 7 -
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