2019-2020学年高中数学 第3章 推理与证明章末复习课学案 北师大版选修1-2

第3章 推理与证明归纳推理【例1】(1)观察式子：1，1，1，由此可归纳出的式子为()A1B1C1D1(2)两点等分单位圆时，有相应正确关系为sin sin()0；三点等分单位圆时，有相应正确关系为sin sinsin0，由此可以推知，四点等分单位圆时的相应正确关系为_思路点拨：(1)观察各式特点，找准相关点，归纳即得(2)观察各角的正弦值之间的关系得出结论(1)C(2)sin sinsin()sin0(1)由各式特点，可得1BC，CD是AB边上的高，求证：ACDBCD.证明因为CDAB，所以ADCBDC90.所以AACDBBCD90.所以ABBCDACD.在ABC中，因为ACBC，所以BA，即AB0，所以BCDACDBCD.综合法与分析法【例4】设a0，b0，ab1，求证：8.试用综合法和分析法分别证明思路点拨：(1)综合法：根据ab1，分别求与的最小值(2)分析法：把变形为求证证明法一：(综合法)a0，b0，ab1，1ab2，ab，4.又(ab)24，8(当且仅当ab时等号成立)法二：(分析法)a0，b0，ab1，要证8，只要证8，只要证8，即证4.也就是证4.即证2，由基本不等式可知，当a0，b0时，2成立，所以原不等式成立综合法与分析法1综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题的常用的方法，综合法是由因导果的思维方式，而分析法的思路恰恰相反，它是执果索因的思维方式2分析法和综合法是两种思路相反的推理方法分析法是倒溯，综合法是顺推，二者各有优缺点分析法容易探路，且探路与表述合一，缺点是表述易错；综合法条理清晰，易于表述，因此对于难题常把二者交互运用，互补优缺，形成分析综合法，其逻辑基础是充分条件与必要条件4(1)已知a，b，c为互不相等的非负数求证：a2b2c2()(2)用分析法证明：2cos().解(1)因为a2b22ab，b2c22bc，a2c22ac，又因为a，b，c为互不相等的非负数，所以上面三个式子中都不能取“”，所以a2b2c2abbcac，因为abbc2，bcac2，abac2，又a，b，c为互不相等的非负数，所以abbcac()，所以a2b2c2()(2)要证原等式成立，只需证：2cos()sin sin(2)sin ，因为左边2cos()sin sin()2cos()sin sin()cos cos()sin cos()sin sin()cos sin 右边，所以成立，即原等式成立反证法【例5】设an是公比为q的等比数列(1)推导an的前n项和公式；(2)设q1，证明：数列an1不是等比数列思路点拨：(1)利用等比数列的概念及通项公式推导前n项和公式；(2)利用反证法证明要证的结论解(1)设an的前n项和为Sn，当q1时，Sna1a1a1na1；当q1时，Sna1a1qa1q2a1qn1，qSna1qa1q2a1qn，得，(1q)Sna1a1qn，Sn，Sn(2)证明：假设an1是等比数列，则对任意的kN，(ak11)2(ak1)(ak21)，a2ak11akak2akak21，aq2k2a1qka1qk1a1qk1a1qk1a1qk1，a10，2qkqk1qk1.q0，q22q10，q1，这与已知矛盾假设不成立，故an1不是等比数列反证法原理反证法是间接证明的一种基本方法，用反证法证明时，假定原结论的对立面为真，从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果，断定反设不成立，从而肯定结论反证法的思路：反设归谬结论5已知二次函数f(x)ax2bxc(a0)的图像与x轴有两个不同的交点，若f(c)0，且0x0.(1)证明：是f(x)0的一个根；(2)试比较与c的大小解(1)证明：f(x)的图像与x轴有两个不同的交点，f(x)0有两个不等实根x1，x2.f(c)0，x1c是f(x)0的根又x1x2，x2，是f(x)0的一个根(2)假设0，由0x0，知f0与f0矛盾，c.又c，c.- 8 -