2018-2019学年高中数学 第二讲 证明不等式的基本方法 一 比较法学案 新人教A版选修4-5

一比较法1.理解和掌握比较法证明不等式的理论依据2.掌握利用比较法证明不等式的一般步骤3通过学习比较法证明不等式，培养对转化思想的理解和应用比较法的定义比较法证明不等式可分为作差比较法和作商比较法两种(1)作差比较法：要证明ab，只要证明ab0；要证明ab，只要证明ab0，b0，要证明ab，只要证明1；要证明ba，只要证明1.这种证明不等式的方法，叫做作商比较法1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)在证明条件不等式时，要注意所给条件的应用()(2)作差比较法是与1比较，作商比较法是与0比较()(3)因式分解、配方、放缩(基本不等式，有界性)，凑成若干个平方和等是作差比较的常用变形方法()(4)分子放(缩)，分母不变；分子不变，分母放(缩)；分子放(缩)，同时分母缩(放)，是作商比较时常用的方法()答案：(1)(2)(3)(4)2设ab，则a23b2和2b(ab)的大小关系是()Aa23b22b(ab)Ba23b22b(ab)Ca23b20，所以a23b22b(ab)3设aR，a1，则与1的大小关系是()A1 B1C1 D1答案：B作差比较法学生用书P25已知ba0，求证：.【证明】.因为a0，b0，a2b20，ab0，又因为ba0，所以0.所以0.即bc，求证bc2ca2ab2bc，所以ba0，ca0，cb0，所以(ba)(ca)(cb)0，所以bc2ca2ab20，b0，求证：aabb(ab).【证明】因为aabb0，(ab)0，所以ab.当ab时，显然有1；当ab0时，1，0，所以由指数函数单调性，有1；当ba0时，01，1.综上可知，对任意实数a，b，都有aabb(ab).作商比较法证明不等式的一般步骤(1)作商：将不等式左右两边的式子进行作商(2)变形：化简商式到最简形式 (3)判断：判断商与1的大小关系，也就是判断商大于1或小于1或等于1.(4)得出结论已知a0，b0，c0，a2b2c2.求证：当n3时，anbncn.证明：因为a2b2c2，所以可设accos ，bcsin (0)所以anbncncosncnsinncn(cosnsinn)，所以cosnsinn .又因为0cos 1，0sin 1，所以当n3时，cosncos2，sinnsin2，所以cosnsinncos2sin21，所以1，所以anbnnBmnCmn Dmn解析：选D.因为nmab21(a2b)b22b1(b1)20.故mn.2已知0a，且M，N，则M，N的大小关系是()AMNCMN D不确定解析：选B.MN()()，因为0a0，1b0，ab0，所以MN0，故MN.3已知a1a2，b1b2，则a1b1a2b2与a1b2a2b1的大小关系是_解析：因为(a1b1a2b2)(a1b2a2b1)(a1a2)(b1b2)0.所以a1b1a2b2a1b2a2b1.答案：a1b1a2b2a1b2a2b14已知a，b均为实数，用比较法证明：(当且仅当ab时等号成立)证明：0，当且仅当ab时等号成立，所以(当且仅当ab时等号成立)6