二次根式知识点总结和习题

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二次根式的知识点汇总知识点一: 二次根式的概念形如()的式子叫做二次根式。注:在二次根式中,被开放数可以是数,也可以是单项式、多项式、分式等代数式,但必须注意:因为负数没有平方根,所以是为二次根式的前提条件,如,等是二次根式,而,等都不是二次根式。例题 判断下列代数式中哪些是二次根式? , , , , ,(), 。巩固1、下列各式中,不是二次根式的是( ) A B C D 2、下列各式中,是二次根式是( ).(A) (B) (C) (D) 知识点二:取值范围1. 二次根式有意义的条件:由二次根式的意义可知,当a0时,有意义,是二次根式,所以要使二次根式有意义,只要使被开方数大于或等于零即可。2. 二次根式无意义的条件:因负数没有算术平方根,所以当a0时,没有意义。例题1 x取什么值时,( )(A)x (B)x(C)x(D) x巩固 使代数式有意义的取值范围是( ) A B C D知识点三:二次根式()的非负性()表示a的算术平方根,也就是说,()是一个非负数,即0()。注:因为二次根式()表示a的算术平方根,而正数的算术平方根是正数,0的算术平方根是0,所以非负数()的算术平方根是非负数,即0(),这个性质也就是非负数的算术平方根的性质,和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多,如若,则a=0,b=0;若,则a=0,b=0;若,则a=0,b=0。例题 已知,则 知识点四:二次根式()的性质()文字语言叙述为:一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。注:二次根式的性质公式()是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用:若,则,如:,.知识点五:二次根式的性质文字语言叙述为:一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。注:1、化简时,一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数,若是正数或0,则等于a本身,即;若a是负数,则等于a的相反数-a,即;2、中的a的取值范围可以是任意实数,即不论a取何值,一定有意义;3、化简时,先将它化成,再根据绝对值的意义来进行化简。知识点六:与的异同点1、不同点:与表示的意义是不同的,表示一个正数a的算术平方根的平方,而表示一个实数a的平方的算术平方根;在中,而中a可以是正实数,0,负实数。但与都是非负数,即,。因而它的运算的结果是有差别的,而2、相同点:当被开方数都是非负数,即时,=;时,无意义,而.知识点七:二次根式的运算(1)因式的外移和内移:如果被开方数中有的因式能够开得尽方,那么,就可以用它的算术根代替而移到根号外面;如果被开方数是代数和的形式,那么先解因式,变形为积的形式,再移因式到根号外面,反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面(2)二次根式的加减法:先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式(3)二次根式的乘除法:二次根式相乘(除),将被开方数相乘(除),所得的积(商)仍作积(商)的被开方数并将运算结果化为最简二次根式=(a0,b0); (b0,a0)(4)有理数的加法交换律、结合律,乘法交换律及结合律,乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式,都适用于二次根式的运算例题1 计算= 例题2 例题3 计算:(1)(2);二次根式同步学习检测(一)(整章检测)(时间90分钟 满分100分)一、选择题(共12分)1在根式、中,最简二次根式有( )A1个 B2个 C3个 D4个2在二次根式,-,和中,与是同类根式的有( )A2个 B3个 C4个 D5个3在下列各式中,等号不成立的是( )A- B2x(x0) Ca D(x+2+y)(+)+4在下列各式的化简中,化简正确的有( )a 5x-4x6a +10A1个 B2个 C3个 D4个5已知二条线段的长分别为cm、cm,那么能与它们组成直角三角形的第三条线段的长是( )A1cm Bcm C5cm D1cm或cm6已知a0,化简:的结果是 ( )A1 B-1 C0 D2a二、填空题(每题2分,共20分)7的绝对值是_,它的倒数_8当x_时,是二次根式9当x_时,有意义,若有意义,则x_。10当mn时,_,当a_时,11化简_,_。12计算:_13若最简二次根式与是同类二次根式,则x=_。14把根式根号外的a移到根号内,得_。15二次根式与的和是一个二次根式,则正整数的最小值为 ;其和为 。16观察下列各式:;则依次第四个式子是 ;用的等式表达你所观察得到的规律应是 。三、解答题(共68分)17(5分)计算: 18(5分)计算:19(5分)解方程: 20(5分)解不等式:21(5分)已知:,求的值22(5分)化简并求值 其中23(5分)已知实数a满足|2003a|+=a,则a20032的值是多少?24(5分)已知正数和,有下列命题:(1)若,则1;(2)若,则;(3)若,则3;根据以上三个命题所提供的规律猜想:若,则 。25(6分)阅读下面的解题过程,判断是否正确?若不正确,请写出正确的解答。已知为实数,化简:解:原式26(6分)如图,中,求斜边上的高27(8分)观察下列等式:;回答下列问题:(1)利用你观察到的规律,化简:(2)计算:28(8分)水库大坝截面的迎水坡坡比(DE与AE的长度之比)为1:0.6,背水坡坡比为1:2,大坝高DE=30米,坝顶宽CD=10米,求大坝的截面的周长。ACBEDF新人教九年级(上)第21章二次根式同步学习检测(二)一、选择题1、如果是二次根式,则x的取值范围是( )A、x5 B、x5 C、x1 B、x0,化简二次根式x的正确结果为( )A、 B、 C、 D、9、若代数式+的值是常数2,则a的取值范围是( )A、a4 B、a2 C、2a4 D、a=2或a=410、下列根式不能与合并的是( )A、 B、 C、 D、11、如果最简根式与是同类二次根式,那么使有意义的x的范围是( )A、x10 B、x10 C、x1012、若实数x、y满足x2+y24x2y+5=0,则的值是( )A、1 B、+ C、3+2 D、32二、填空题1、要使有意义,则x的取值范围是 。2、若+=0,则ab= 。3、若与都是二次根式,那么+= 。4、若y=+,则(x+y)2003= 。5、若x1+x,化简= 。6、若=,则a= .7、比较大小:3 2 8、若最简根式与是同类二次根式,则m= .9、已知=2,=3,=4,请你用含n的式子将其中蕴涵的规律表示出来: .10、若的整数部分是a,小数部分是b,则a= 。11、已知= ,则= 。12、已知a=,则化简a得 .三、计算与化简1、(+)1+ + 2、+ +3、(1+)(1+)+2 4、+ + 四、先化简再求值1、已知a=3,b= 4,求+ 的值。2、化简: 取自己喜爱的a的值计算。 3、当a= ,b=时,求的值。4、当a= 时,求 的值。五、解答下列各题1、解方程:(x1)= (x+1)2、解方程组:3、已知直角三角形两直角边长分别为a= ,b= ,求斜边的长。【参考答案】同步学习检测(一)一、选择题1C 2B 3C 4B 5D 6B 二、填空题7 8 9,且 10m-n,0 113,45 12 13 14 156 10 16.,三、解答题171 18 19 20 2118 22 232009 24 25原式 26 27(1);(2)9 28米同步学习检测(二)一、选择题1、C 2、C 3、C 4、C 5、D 6、C 7、C 8、D9、C 10、B 11、A 12、C二、填空题1、1x 8、6 9、=n (n2且n为整数)10、 11、a 12、三、计算与化简1、 2、+1 3、4+4 4、 四、先化简再求值1、2 2、a 3、 4、五、解答下列各题1、x=5+2 2、x=22 y=62 3、4、
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