二次根式知识点总结和习题

二次根式的知识点汇总知识点一： 二次根式的概念形如（）的式子叫做二次根式。注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，等是二次根式，而，等都不是二次根式。例题 判断下列代数式中哪些是二次根式？ ， ， ， ， ，（）， 。巩固1、下列各式中，不是二次根式的是（ ） A B C D 2、下列各式中，是二次根式是（ ）.（A） （B） （C） （D） 知识点二：取值范围1. 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。2. 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a0时，没有意义。例题1 x取什么值时，（ ）（A）x （B）x（C）x（D） x巩固 使代数式有意义的取值范围是（ ） A B C D知识点三：二次根式（）的非负性（）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。注：因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。例题 已知，则 知识点四：二次根式（）的性质（）文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，.知识点五：二次根式的性质文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。注：1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本身，即；若a是负数，则等于a的相反数-a,即；2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义；3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。知识点六：与的异同点1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数。但与都是非负数，即，。因而它的运算的结果是有差别的，而2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而.知识点七：二次根式的运算（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式=（a0，b0）； （b0，a0）（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算例题1 计算= 例题2 例题3 计算：（1）（2）；二次根式同步学习检测（一）（整章检测）（时间90分钟 满分100分）一、选择题（共12分）1在根式、中，最简二次根式有（ ）A1个 B2个 C3个 D4个2在二次根式，-，和中，与是同类根式的有（ ）A2个 B3个 C4个 D5个3在下列各式中，等号不成立的是（ ）A- B2x(x0) Ca D(x+2+y)(+)+4在下列各式的化简中，化简正确的有（ ）a 5x-4x6a +10A1个 B2个 C3个 D4个5已知二条线段的长分别为cm、cm，那么能与它们组成直角三角形的第三条线段的长是（ ）A1cm Bcm C5cm D1cm或cm6已知a0，化简：的结果是 （ ）A1 B-1 C0 D2a二、填空题（每题2分，共20分）7的绝对值是_，它的倒数_8当x_时，是二次根式9当x_时，有意义，若有意义，则x_。10当mn时，_，当a_时，11化简_，_。12计算：_13若最简二次根式与是同类二次根式，则x=_。14把根式根号外的a移到根号内，得_。15二次根式与的和是一个二次根式，则正整数的最小值为 ；其和为 。16观察下列各式：；则依次第四个式子是 ；用的等式表达你所观察得到的规律应是 。三、解答题（共68分）17（5分）计算： 18（5分）计算：19（5分）解方程： 20（5分）解不等式：21（5分）已知：，求的值22（5分）化简并求值 其中23（5分）已知实数a满足|2003a|+=a，则a20032的值是多少？24（5分）已知正数和，有下列命题：（1）若，则1；（2）若，则；（3）若，则3；根据以上三个命题所提供的规律猜想：若，则 。25（6分）阅读下面的解题过程，判断是否正确？若不正确，请写出正确的解答。已知为实数，化简：解：原式26（6分）如图，中，求斜边上的高27（8分）观察下列等式：；回答下列问题：（1）利用你观察到的规律，化简：（2）计算：28（8分）水库大坝截面的迎水坡坡比（DE与AE的长度之比）为1：0.6，背水坡坡比为1：2，大坝高DE=30米，坝顶宽CD=10米，求大坝的截面的周长。ACBEDF新人教九年级（上）第21章二次根式同步学习检测（二）一、选择题1、如果是二次根式，则x的取值范围是（ ）A、x5 B、x5 C、x1 B、x0,化简二次根式x的正确结果为（ ）A、 B、 C、 D、9、若代数式+的值是常数2，则a的取值范围是（ ）A、a4 B、a2 C、2a4 D、a=2或a=410、下列根式不能与合并的是（ ）A、 B、 C、 D、11、如果最简根式与是同类二次根式，那么使有意义的x的范围是（ ）A、x10 B、x10 C、x1012、若实数x、y满足x2+y24x2y+5=0,则的值是（ ）A、1 B、+ C、3+2 D、32二、填空题1、要使有意义，则x的取值范围是 。2、若+=0，则ab= 。3、若与都是二次根式，那么+= 。4、若y=+，则(x+y)2003= 。5、若x1+x，化简= 。6、若=，则a= .7、比较大小：3 2 8、若最简根式与是同类二次根式，则m= .9、已知=2,=3,=4,请你用含n的式子将其中蕴涵的规律表示出来： .10、若的整数部分是a，小数部分是b，则a= 。11、已知= ，则= 。12、已知a=，则化简a得 .三、计算与化简1、(+)1+ + 2、+ +3、(1+)(1+)+2 4、+ + 四、先化简再求值1、已知a=3,b= 4，求+ 的值。2、化简： 取自己喜爱的a的值计算。 3、当a= ，b=时，求的值。4、当a= 时，求 的值。五、解答下列各题1、解方程：(x1)= (x+1)2、解方程组：3、已知直角三角形两直角边长分别为a= ,b= ,求斜边的长。【参考答案】同步学习检测（一）一、选择题1C 2B 3C 4B 5D 6B 二、填空题7 8 9，且 10m-n，0 113，45 12 13 14 156 10 16.，三、解答题171 18 19 20 2118 22 232009 24 25原式 26 27（1）；（2）9 28米同步学习检测（二）一、选择题1、C 2、C 3、C 4、C 5、D 6、C 7、C 8、D9、C 10、B 11、A 12、C二、填空题1、1x 8、6 9、=n (n2且n为整数)10、 11、a 12、三、计算与化简1、 2、+1 3、4+4 4、 四、先化简再求值1、2 2、a 3、 4、五、解答下列各题1、x=5+2 2、x=22 y=62 3、4、