任意角三角函数

课题：1.2.1 任意角的三角函数一、内容和内容解析三角函数是描述客观世界中周期性变化规律的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要的作用。本章中，学生将在数学1中学习函数概念与基本初等函数的基础上，学习三角函数及其基本性质，这是学生在高中阶段学习的最后一个基本初等函数。与以往的三角函数内容相比较，本章加强了三角函数作为刻画现实世界的数学模型，借助单位圆理解三角函数的概念、性质，以及通过建立三角函数模型解决实际问题等。本节课是在学习完“任意角和弧度制”后的一节新授课任意角的三角函数，内容虽然属于“传统内容”，但为了更好地突出“三角函数作为描述周期变化的数学模型”这一本质，教材通过现实世界的周期现象，在学生感受引入三角函数必要性的基础上，引出三角函数概念，特别强调了单位圆的直观作用，用单位圆上点的坐标定义正弦函数，余弦函数，这样可以使学生在三角函数学习之初就能感受到单位圆的重要性，同时为后续借助单位圆的直观讨论三角函数的图象与性质奠定坚实的基础，删减了任意角的余切、正割、余割概念的学习。任意角三角函数这个概念是全章的一个承前启后的核心内容，它的地位和作用、及与其他知识内容的联系、与其他相关学科的联系，可以从下面的知识结构图中得到很好反映。地位、作用和联系：任意角弧度制初中：锐角三角函数、相似三角形、圆单位圆三角函数线三角函数符号诱导公式同角三角关系式任意角的三角函数高中：函数概念，指、对、幂函数的经验背景：周期现象、圆周运动联系特殊指数函数对数函数幂函数周期函数物理、生物、自然界周期现象任意角的三角函数锐角三角函数推广类比本节课学习的认知基础主要是几何中圆的性质、相似形的有关知识，在数学1中相应的函数概念，以及指数函数、对数函数的研究经验；主要的学习内容是三角函数的概念，单位圆是研究三角函数的重要工具，借助它的直观定义三角函数，可以更好地反映三角函数的本质，可以使学生更好地理解三角函数的概念，体会人们也把三角函数称作“圆函数”的原因，并为后续内容的学习带来方便。因为从数学史的发展看，为解直角三角形而引入锐角三角函数；为解任意三角形而推广到钝角三角函数；为了刻画一些简单的周期运动（已和解三角形毫无关系）而再次推广到任意角的三角函数，它是一个最基本的、最有表现力的周期函数，是描述一般周期函数的基石，是数形结合的产物，这是三角函数最本质的地方。教学中，如果简单的从复习锐角三角函数出发，直接推广到任意角三角函数，虽然有利于学生从自己已有认知基础出发学习三角函数。但对学生理解数学是不利的，容易让学生认为：数学只是数学家做的一些规定，“它只是从定义和公理出发推导出来的一系列结论，而这些公理除了必须相互一致外，完全出自数学家心灵的自由创造。它将是定义、法则和三段论的游戏，既无动力也无目的。”为此，教学设计以数学史的发展为背景，以突出任意角三角函数概念的本质为核心，从学生已有的反映周期现象变化的日常经验出发，特别设计了摩天轮的情境，以数学实际应用为线索，完成任意角的三角函数概念的建构过程。通过这个概念学习，体会数学模型的思想，数形结合思想，了解数学新概念引入的必要性、合理性、严谨性，并进一步增进对数学的理解。由此确定本节课的教学重、难点和关键（1）重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义；（2）难点：任意角的三角函数概念的建构过程；（3）关键：以数学应用为明线，讲数学背景、讲数学应用；以数学文化为暗线，讲数学概念学习的必要性、合理性。二、目标和目标解析本节课的教学目标是： （1）知识和技能目标：了解任意角三角函数定义产生的背景和应用；掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义；加深对函数一般概念的理解。（2）过程与方法：通过参与知识的“发现”与“形成”的过程，培养合情猜测的能力，体会函数模型思想，数形结合思想。培养观察、分析、探索、归纳、类比及解决问题的能力。（3）情感、态度、价值观：在数学史的学习中开阔视野，感受着数学文化的熏陶。从中感悟数学概念的合理性、严谨性、科学性。感悟数学的本质，培养追求真理的精神。三、教学问题诊断分析学生虽然已有锐角三角函数的知识和经验，但他们自己在阅读教材时，会产生以下的疑惑：(1)为什么要学习了任意角后就要研究任意角三角函数？(2)任意角三角函数定义为什么要引入坐标系？(3)的正弦为什么规定用y比r，而不是y的绝对值比r？为此要利用学生的日常生活经验，设计数学应用的问题情境，让学生让学生感受到“数学是自然的”、“数学是有用的”。摩天轮这个实际问题的解决有一定难度，学生自己独立解决有困难，放开让学生讨论，方法是多样的，但要花费很多时间，容易偏离本节课的教学中心，为此，教学中教师要加强引导，并设计了合情推理的教学环节。在比较hh0MP与猜想: hhrsint后，引出直角坐标系定义任意角三角函数，学生能理解和接受，但自己想不到，教学中要在思考方向上引导，比如“要想两者和谐统一，必须”，“在说明MP时，为了表述简洁明了，用怎样的一个量来代替MP”。三角函数是 “从角的集合到比值的集合”的对应关系，与学生熟悉的一般函数概念中的“数集到数集”的对应关系不一致，而且“比值”需要通过运算才能得到，任意一个角所对应的比值的唯一性（即与点的选取无关）也需要证明，教学时需要安排环节帮助学生理解。四、教学支持条件分析三角函数与数学1的函数概念是一般与特殊的关系，教学中应当注意发挥学生头脑中函数概念及在指数函数、对数函数的学习中建立的经验的指导作用。教学中要做好铺垫，通过联系和类比，使学习明确三角函数与已有函数概念的共通性，同时认识三角函数的特殊性描述周期现象的最有力的数学模型。利用单位圆上的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数。直接用（弧度制下）任意角的集合到区间-1，1上的映射来定义，去掉了“求比值”这一中间过程，有利于学生理解任意角的三角函数中自变量与函数值之间的对应关系。结合三角函数引导，学生进一步理解集合与对应观点下的函数概念，函数中研究的基本问题和基本思想（根据刻画现实中周期现象的需要，引进三角函数来描述周期性变化的规律），对学生的数学思维水平提高是非常有帮助的。这需要教师在思考方向、知识联系等方面加以引导。五、教学过程设计 1、导入学生集体朗读： 东升西落照苍穹，影短影长角不同昼夜循环潮起伏，冬春更替草枯荣教师：日出日落，寒来暑往，自然界中存在许多“按一定规律周而复始”的现象，称之为“周期现象”。我们曾学习过用“指数函数”模型刻画人口增长问题、储蓄中复利计算问题，用“对数函数”模型刻画地震的震级变化、溶液酸碱度的pH值变化，那么用怎样的数学的模型来刻画周期现象呢？周期现象一般与周期运动有关，一个简单而基本的例子便是“圆周上一点的旋转运动”请看下面的实例（设计意图：学生集体朗读，一是集中注意力尽快进入上课状态，二是在理科教学中增加点文学味，三是引出周期现象，诗句引自湖南版必修2，接下来指出在必修1中学习过两种重要函数模型，意在调动学生学习“函数”一章的经验，提出用怎样的数学的模型来刻画周期现象。让学生初步了解本节课学习的任务。接下来的教学设计，在结构上尽可能地与“函数”一章相同，突出“建构研究应用”这一主线。）2、情境选择数学模型OAp问题：摩天轮的中心离地面的高度为h0，它的直径为2r，逆时针方向匀速转动，转动一周需要360秒（一秒转了多少度？），若现在你坐在座舱中，从初始位置点出发（如图所示），求相对于地面的高度h与时间t的函数关系式。教师：让我们想象一下整个运动过程，高度h是怎样变化的？师生：开始高度h先渐渐增高，再渐渐降低，然后再渐渐增高，最后回到初始位置；第二周、第三周周而复此，呈“周期现象”。（设计意图：是突出研究问题的“周期性”特点，如果展开）教师：已学过的函数没有这种性质，应该用怎样一个函数模型来刻画？MMAP教师：让我们不妨先从一个简单具体情形入手。例如过了20秒后，你离地面的高度为多少？学生：（设计意图：解决问题的一般策略，先特殊后一般。学生也加深对问题理解。）教师：人距离地面的高度hh0+MP。其中h0是不变量，MP表示点P到水平位置OA的距离是变量，可以通过点P旋转POA的大小，利用初中锐角三角函数来计算。的确，随着时间t变化，点P的位置在变化，角度POA在变化，进而MP的值在变化。（设计意图：点P的位置随着角度而变化，一是为下面引出三角函数做准备，二是突出“函数味”，这也是初高中对三角函数学习的不同之处。）教师：进一步，再计算几个。师生：过了50秒，hhrsin50过了70秒，hhrsin70一般的，过了t秒呢？想法（愿望）：h(t)hrsint教师：这样想合情，但合理吗？有什么问题？师生：随着摩天轮的转动，角度也不知不觉地推广了任意角。对任意角，sin该如何定义？引出任意角三角函数（设计意图：先猜想再探究，是一种合情推理，使教学环节显得生动，同时感受到接下来新知识学习的必要性。以实际问题解决为背景，引入任意角三角函数概念，是想让学生感受到“数学是自然的”、“数学是有用的”，）3、探究分析数学模型教师：对任意角，sin该如何定义？对前面这个问题往下具体分析，虽然可以通过转化为锐角三角函数计算各种情况，但表述上太繁琐，当时间为t秒时，猜想: hhrsint形式简洁，让我们实在不愿舍弃。于是与hh0MP比较，要想两者和谐统一，必须有：rsintMP 即 sint师生小结：如图，点P在圆周上旋转运动，引起POA的变化，任一个POA,对应着唯一点P，进而有唯一的MP，得到，PMPPPMMMsinPOA教师：不过就这样表述，在说明MP时，还是不够简洁明了。教师：MP何时取正值，何时取负值？根据这些特点，用怎样的一个量来代替MP，可以使上面的表述更简洁？它的绝对值与MP长度相等，符号在一、二区域能是正的，在三、四区域能是负的.师生：引入直角坐标系，用点P的纵坐标y来替代MP或MP.（设计意图：这样安排是想让学生感受到任意角三角函数定义中“坐标系的引入”，“坐标比值法的规定”不仅有必要、有好处，而且顺其自然，体会“数学是自然的”，而不是完全出自数学家心灵的自由创造。）4、定义建立三角函数模型教师：在上述求解中，引出一个更为重要的问题，任意一个角的正弦怎么定义呢？师生：这首先要借助直角坐标系，把是“放在”直角坐标系内，接下来，要以原点为圆心作圆，半径为，与的终边上相交于点P，得点P的坐标（x,y），a的终边P(x,y)Oxy那么：教师：能这样定义吗？这可是我们自己规定的! 问题1:当是锐角时，此规定与初中定义矛盾吗？结论：不矛盾，而且坐标法的引入摆脱了锐角的束缚。问题2：圆的半径大小有限制吗？ 结论：根据相似三角形的知识，对于确定的角a，这个比值不会随点P在a的终边上的位置的改变而改变，是唯一确定的问题3：半径为取多少时，会使得比值更加简洁？结论：可以考虑取1.这样的圆我们称单位圆。即，在直角坐标系中,以原点为圆心,以单位长度1为半径的圆。教师：联系已学过的知识，类比正弦函数的定义，你能给出任意角余弦、正切的定义吗？a的终边P(x,y)Oxy如图，设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点,那么:叫做的正弦，即；叫做的余弦，即；叫做的正切，即.教师：这正是我们教科书上的定义方式，请同学们阅读教材。（设计意图：数学概念的学习有概念形成和概念同化两种方式，任意角三角函数定义的教学运用的是概念同化方式，安排问题1、2的环节，正是为了完成同化过程。）教师：当圆的半径不等于1时，则有，比值叫做的正弦 记作：比值叫做的余弦 记作：比值叫做的正切 记作：小结：三角函数的以上两种方式是等价的，都是表示点P的纵坐标与的比值。只是在单位圆的背景下，1，从形式上看更简洁。我们教科书上就选用了单位圆背景下的定义方式。、应用例题教学：例1、求的正弦、余弦和正切值。例2、已知角a的终边经过点P0(3，4)，求角a的正弦、余弦和正切值练习1：填表0（设计意图：例题与练习都是为了及时巩固对定义的理解，同时在解答过程中充分利用单位圆的作用，体现出数形结合的思想。练习选择的特殊值，是为了体现出定义的一般性，同时为定义域的学习做好准备。）、联系问题：为什么称它们为“函数”，从一般函数概念角度怎样来理解正弦、余弦、正切函数？对应法则怎样由自变量的值找到函数值；对于每个确定的角，放入直角坐标系后，都有唯一的终边与之对应，终边与单位圆都有唯一确定的交点，任意角唯一的交点P（x，y）唯一的终边直角坐标系中与单位圆所以，正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数用集合与对应的函数观点看三角函数，这是一种“多对一”的函数；定义域自变量的取值范围；可以看出，当 (kZ)时，的终边在y轴上，这时点P的横坐标x等于0，所以无意义除此之外，对于确定的角，正弦、余弦、正切函数都有意义。又因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，故三角函数也可以看成实数为自变量的函数.（设计意图：通过与函数概念的联系，进一步理解集合与对应观点下的函数概念，明确三角函数与已有函数概念的共通性，三角函数与函数概念是一般与特殊的关系。） 课堂练习：1、求的正弦、余弦和正切值。2、已知角的终边经过点，求角的正弦、余弦和正切值。（设计意图：它们的作用主要是让学生熟悉定义。）、小结教师：本节课通过对实际问题的解决，学习了任意角三角函数的概念。回顾学习过程，1、导入，2、情境选择数学模型，3、探究分析数学模型，4、定义建立三角函数模型，、应用，、联系。教师：数学的定义要严谨，数学的定义要科学，数学的定义要合理，数学概念也是有“生命的”。早期的三角学隶属于天文学，为了天文观测的需要，古希腊天文学家制作了第一个三角函数表，就是规定在一个圆内，不同圆心角所对弦长的表。思考的是定圆各中心角所对应的弦长全弦；大约公元5世纪，印度数学家改进了弦表，计算半弦。他们研究一个角的倍角所对弦的一半，即AOB对应的半弦长BD）；后来，哥白尼的学生雷提库斯（15141576）将传统的圆中的弧与弦的关系改进为角关系，定义为直角三角形的边长之比。教材中现在的定义与历史上大数学家欧拉的定义是一致的，欧拉用直角坐标来定义三角函数，彻底解决了三角函数在四个象限中的符号问题，使三角函数成为研究现实世界中周期变化现象的“最有表现力的函数”。六、目标检测设计1、归纳本节课的基础知识，查阅数学史的知识，结合本节课写出你对任意角三角函数的推广的必要性与合理性的认识。2、求的正弦、余弦和正切值。3、若点P(3，2)是终边上一点，求的三角函数值结束语“数学，作为人类智慧的一种表达形式，反映生动活泼的意念，深入细致的思考，以及完美和谐的愿望，它的基础是逻辑和直觉，分析和推理，共性和个性。”摘自R.柯朗数学是什么