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考点36 直线、平面垂直的判定及其性质一、选择题1.(2013新课标全国高考理科T4)已知m,n为异面直线,m平面,n平面.直线l满足lm,ln,l,l,则()A.且lB.且lC.与相交,且交线垂直于lD.与相交,且交线平行于l【解析】选D 因为m,n为异面直线,所以过空间内一点P,作,则,即垂直于与确定的平面,又平面,平面,所以平面,平面,所以平面既垂直平面,又垂直平面,所以与相交,且交线垂直于平面,故交线平行于,选D.2.(2013浙江高考文科T4)设m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面()A.若m,n,则mn B.若m,m,则C.若mn,m,则n D.若m,则m【解题指南】根据线、面平行、垂直的定义与性质判断.【解析】选C. A选项中m与n还有可能相交或异面;B选项中与还有可能相交;D选项中m与还有可能平行或m.3. （2013山东高考理科4）已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直,体积为 ,底面积是边长为的正三角形，若P为底面A1B1C1的中心,则PA与平面ABC所成角的大小为 ( )A. B. C. D.【解题指南】本题考查直线与平面所成的角，注意线面角的做法：垂-连-证-求.【解析】选 B. 取正三角形ABC的中心，连结,则是PA与平面ABC所成的角. 因为底面边长为，所以,.三棱柱的体积为,解得，即,所以，即.4. （2013大纲版全国卷高考文科11）与（2013大纲版全国卷高考理科10）相同已知正四棱柱的正弦值等于（ ）A. B. C. D.【解题指南】利用体积相等法求出三棱锥的高为即可确定与平面所成角的正弦值.【解析】选A.如图，设，则，三棱锥的高为，与平面所成的角为.因为，即，解得.所以.5.(2013浙江高考理科T10)在空间中,过点A作平面的垂线,垂足为B,记B=f(A).设,是两个不同的平面,对空间任意一点P,Q1=ff(P),Q2=ff(P),恒有PQ1=PQ2,则()A.平面与平面垂直B.平面与平面所成的(锐)二面角为45C.平面与平面平行D.平面与平面所成的(锐)二面角为60【解题指南】充分理解题意,依据立体几何中的面面之间的位置关系判断.【解析】选A.由于P是空间任意一点,不妨设P,如图所示,则Q1=ff(P)=f(P),Q2=ff(P)=f(Q1),又PQ1=PQ2,显然B,C,D不满足,故选A.二、解答题6. （2013重庆高考文科19）如图，四棱锥中，底面， （）求证：平面；（）若侧棱上的点满足，求三棱锥的体积【解题指南】直接利用线面垂直的判定定理证明平面,通过转化可求解三棱锥的体积.【解析】（）证明:因,即为等腰三角形,又,故.因为底面，所以.从而与平面内两条相交直线都垂直,所以平面.（）三棱锥的底面的面积由底面，得由,得三棱锥的高为,故所以7.（2013广东高考文科18）如图，在边长为1的等边中，分别是边上的点，是的中点，与交于点，将沿折起，得到如图所示的三棱锥，其中 (1) 证明：/平面；(2) 证明：平面；(3) 当时，求三棱锥的体积【解题指南】本题以折叠问题为背景，考查线面平行与垂直的证明及空间几何体体积的求法，对于立体几何中的折叠问题要注意折叠前后变与不变量.【解析】（1）在等边中，所以,在折叠后的三棱锥中也成立，所以.因为平面，平面，所以平面；（2）在等边中，是的中点，所以，.因为在三棱锥中，所以因为，所以平面；（3）由（1）可知，结合（2）可得平面.8. （2013辽宁高考文科18）如图， 是圆的直径，垂直圆所在的平面，是圆上的点.求证：平面平面;设为的中点, 为的重心,求证: 平面.【解题指南】利用条件证明线线垂直，进而证明线面垂直；借助线线平行去证明线面平行,再由面面平行的性质得到线面平行。【证明】由是圆的直径，得；由垂直于圆所在的平面，得平面;又平面，得；又所以连接并延长交于,连接由为的重心,知为的中点，由为的中点,则,又因为平面,平面所以平面又由为的中点,则，同理可证，平面因为,平面,平面,所以，据面面平行的判定定理，平面平面又平面,故平面.9. （2013大纲版全国卷高考文科19）如图，四棱锥都是边长为的等边三角形. （I）证明：（II）求点 【解析】（I）取的中点，连结，则四边形为正方形.过作平面，垂足为.连结，.由和都是等边三角形知,所以，即点为正方形对角线的交点，故，从而.因为是的中点，是的中点，所以，因此.（II）取的中点,连结,则.由（I）知，,故.又,故为等腰三角形，因此.又，所以平面.因为，平面,平面,所以平面.因此到平面的距离就是到平面的距离，而,所以到平面的距离为1.10. （2013四川高考文科19） 如图，在三棱柱中，侧棱底面，分别是线段的中点，是线段上异于端点的点。（1）在平面内，试作出过点与平面平行的直线，说明理由，并证明直线平面；（2）设（1）中的直线交于点，求三棱锥的体积。（锥体体积公式：，其中为底面面积，为高）【解题指南】本题第（1）问求解时要首先明确证明直线与平面垂直的定理需要满足的条件，在第（2）问的求解过程中要注意等体积法的转化.【解析】（1）如图,在平面ABC内,过点P作直线lBC,因为l在平面A1BC外,BC在平面A1BC内,由直线与平面平行的判定定理可知,l平面A1BC.由已知,AB=AC,D是BC的中点,所以,BCAD,则直线lAD.因为AA1平面ABC,所以AA1直线l.又因为AD,AA1在平面ADD1A1内,且AD与AA1相交,所以直线l平面ADD1A1.(2)过D作DEAC于E.因为AA1平面ABC,所以DEAA1,又因为AC,AA1在平面AA1C1C内,且AC与AA1相交,所以DE平面AA1C1C.由AB=AC=2,BAC=120,有AD=1,DAC=60,所以在中，,又,所以因此三棱锥的体积是11. (2013天津高考文科T17)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱A1A底面ABC,且各棱长均相等.D,E,F分别为棱AB,BC,A1C1的中点. (1)证明EF平面A1CD.(2)证明平面A1CD平面A1ABB1.(3)求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值.【解题指南】(1)连接ED,通过证明四边形A1DEF为平行四边形,得出EFA1D,以证明EF平面A1CD.(2)由侧棱A1A底面ABC证明A1ACD,再由三角形ABC为等边三角形得出CDAB,以证明CD平面A1ABB1,进而证明平面A1CD平面A1ABB1.(3)根据(2)的结论,过点B作A1D的垂线,以作出直线BC与平面A1CD所成角,化归到直角三角形中求解.【解析】（1）如图, 在三棱柱ABC-A1B1C1中,ACA1C1,且AC=A1C1,连接ED,在ABC中,因为D,E分别为AB,BC的中点,所以DE=AC且DEAC,又因为F为A1C1的中点,可得A1F=DE,且A1FDE,即四边形A1DEF为平行四边形,所以EFDA1,又EF平面A1CD,DA1平面A1CD,所以EF平面A1CD.(2)由于ABC是正三角形,D为AB的中点,故CDAB,又由于侧棱A1A底面ABC,CD平面ABC,所以A1ACD,又A1AAB=A,因此CD平面A1ABB1,而CD平面A1CD,所以平面A1CD平面A1ABB1.(3)在平面A1ABB1内,过点B作BGA1D交直线A1D于点G,连接CG.由于平面A1CD平面A1ABB1,而直线A1D是平面A1CD与平面A1ABB1的交线,故BG平面A1CD,由此得BCG为直线BC与平面A1CD所成的角.设棱长为a,可得A1D=,由A1ADBGD,易得BG=,在RtBGC中, 所以直线BC与平面A1CD所成角的正弦值为.12.(2013浙江高考文科T20)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA平面ABCD,AB=BC=2,AD=CD=,PA=,ABC=120,G为线段PC上的点.(1)证明:BD面PAC.(2)若G为PC的中点,求DG与平面PAC所成的角的正切值.(3)若G满足PC平面BGD,求的值.【解题指南】(1)证明线面垂直可以根据定义证明;(2)首先要找出DG与平面PAC所成的角,再在三角形中去解决;(3)根据线面垂直的性质求解.【解析】(1)设点O为AC,BD的交点,由AB=BC,AD=CD,得BD是线段AC的中垂线.所以O为AC的中点,BDAC.又因为PA平面ABCD,BD平面ABCD,所以PABD,所以BD平面APC.(2)连结OG,由(1)可知OD平面APC,则DG在平面APC内的射影为OG,所以OGD是DG与平面APC所成的角.由题意得在ABC中，所以在RtOCD中，在RtOGD中，所以与平面所成角的正切值为.(3)连结OG.因为PC平面BGD,OG平面BGD,所以PCOG,在RtPAC中，得，所以，从而，所以13.(2013江苏高考数学科T16) 如图,在三棱锥S-ABC中,平面SAB平面SBC,ABBC,AS=AB,过A作AFSB,垂足为F,点E,G分别是棱SA,SC的中点.求证:(1)平面EFG平面ABC.(2)BCSA.【解题指南】(1)利用面面平行的判定定理证明.(2)先证线面垂直再证线线垂直.【证明】(1)因为AS=AB,AFSB,垂足为F,所以F是SB的中点.又因为E是SA的中点,所以EFAB.因为EF平面ABC,AB平面ABC,所以EF平面ABC.同理EG平面ABC.又因为EFEG=E,所以平面EFG平面ABC.(2)因为平面SAB平面SBC,且交线为SB,又因为AF平面SAB,AFSB,所以AF平面SBC,因为BC平面SBC,所以AFBC.又因为ABBC,AFAB=A,AF平面SAB,AB平面SAB,所以BC平面SAB.又因为SA平面SAB,所以BCSA. 14.（2013湖南高考文科17）如图.在直菱柱ABC-A1B1C1中，BAC=90，AB=AC=，AA1=3，D是BC的中点，点E在棱BB1上运动。（I） 证明：ADC1E；（II） 当异面直线AC，C1E 所成的角为60时，求三棱锥C1-A2B1E的体积【解题指南】证明两异面直线垂直，一般是先转化成线面垂直，后再证线线垂直。求三棱锥的体积关键是确定高和的长度【解析】（I）证明：因为AB=AC，D是BC的中点，所以 又在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，而， 所以 由可得,因为点E在棱BB1上运动。得, 所以ADC1E。(II)因为,所以是异面直线所成的角，所以，因为,所以,又,从而,于是故，又，所以从而15.（2013江西高考文科19）如图，直四棱柱ABCD A1B1C1D1中，AB/CD，ADAB，AB=2，AD=，AA1=3，E为CD上一点，DE=1，EC=3. (1)证明：BE平面BB1C1C; (2)求点B1 到平面EA1C1 的距离. 【解题指南】（1）利用线面垂直的判定定理证明线面垂直，必须先证两个线线垂直，本题中易得，只需借助长度关系证另一条即可；（2）三棱锥的点面距常利用等体积法.【解析】(1)证明：过点B作CD的垂线交CD于点F，则BF=AD=,EF=AB-DE=1，FC=2.在BFE中，BE=,在CFB中，BC=.在中，因为,所以,又由平面ABCD得,又BB1BC=B,故BE平面BB1C1C.(2) .在中，同理，则.设点到平面的距离为d，则三棱锥B1-EA1C1的体积为从而.16.（2013安徽高考理科19）如图，圆锥顶点为。底面圆心为O，其母线与底面所成的角为22.5.和是底面圆上的两条平行的弦，轴与平面所成的角为60，（1）证明：平面与平面的交线平行于底面；（2）求。【解题指南】（1）证明平面PAB与平面PCD的交线平行于底面上的直线AB；（2）取CD的中点F，得到为OP与面PCD所成的角，在中，求出，即可得出。【解析】（1）设平面PAB与平面PCD的交线为，因为AB/CD,AB不在面PCD内，所以AB/面PCD,又因为，面PAB与面PCD的交线为，所以AB/，由直线AB在底面上而在底面外可知，与底面平行。（2）设CD的中点为F，连接OF,PF,由圆的性质，因为所以,又，因此,从而直线OP在面PCD上的射影为直线PF，故为OP与面PCD所成的角，由题设知，设OP=h，则，根据题设有，得，由，可解得。因此，在=，故=.17.（2013安徽高考文科18）如图，四棱锥P-ABCD 的底面ABCD是边长为2的菱形，BAD=600。已知PB=PD=2，PA= . （1）证明：PCBD（2）若E为PA的中点，求三菱锥P-BCE的体积。【解题指南】 （1）通过证明BD平面APC得PCBD；（2）转化为求解。【解析】（1）连接AC,交BD于O点,连接PO,因为底面ABCD是菱形,所以ACBD,BO=DO,由PB=PD知,POBD,再由POAC=O,知BD平面APC,又PC平面APC,因此PCBD.（）因为E是PA的中点，所以,由PB=PD=AB=AD=2知，,因为，所以PO=AO=,又=3，由（1）知，因此,18.（2013北京高考文科17）如图，在四棱锥P-ABCD中，ABCD,ABAD,CD=2AB,平面PAD底面ABCD，PAAD.E和F分别是CD和PC的中点，求证：（）PA底面ABCD;（）BE平面PAD（）平面BEF平面PCD.PABCDEF【解析】(1)因为面PAD面ABCD,交线为AD,PAAD,所以PA面ABCD.(2)因为ABCD,E为CD中点,CD=2AB,所以ABDE且AB=DE,所以四边形ABED为平行四边形,所以BEAD.又因为AD面PAD,BE面PAD,所以BE面PAD.(3)因为BA平面PAD,而平面PAD平面ABCD,交线AD,所以BA平面PAD,因为ABCD,所以CD平面PAD,所以CDPD且CDAD,又因为在平面PCD中,EFPD(三角形的中位线),于是CDFE.因为在平面ABCD中,由(2),BEAD,于是CDBE.因为FEBE=E,FE平面BEF,BE平面BEF,所以CD平面BEF,又因为CD平面PCD,所以平面BEF平面PCD. 19. （2013山东高考文科19）如图，四棱锥中，,分别为的中点()求证：()求证：【解题指南】（）本题考查线面平行的证法，可利用线线平行，也可利用面面平行，来证明线面平行；()本题考查了面面垂直的判定，在平面EMN中找一个直线MN平面EFG即可.【解析】(I)方法一：取PA的中点H,连接EH,DH.因为E为PB的中点，所以EH/AB,EH= AB.又AB/CD,CD=AB,所以EH/CD,EH=CD.因此四边形DCEH是平行四边形.所以CE/DH.又DH 平面PAD ,CE 平面PAD,因此CE /平面PAD .方法二：连接CF.因为F为AB 的中点，所以AF=AB.又CD =AB,所以AF=CD.又AF/CD ，所以四边形AFCD为平面四边形.因此CF /AD.又CF 平面PAD,所以CF/平面PAD.因为E,F分别为PB,AB的中点，所以EF/PA.又EF 平面 PAD，所以EF /平面 PAD.因为CF EF=F,故平面CEF/平面 PAD.又CE平面 CEF ，所以CE/平面PAD.（II）证明：因为 E,F 分别为PB,AB的中点，所以EF/PA.又ABPA .所以ABEF .同理可证ABFG. 又 EFFG=F,EF平面EFG ,FG平面 EFG,因此AB平面EFG, 又 M,N分别为 PD,PC 的中点，所以MN/CD .又 AB/CD， 所以 MN/AB,因此MN平面 EFG,又MN平面EMN,所以平面EFG平面EMN.20. （2013湖北高考文科T20）如图，某地质队自水平地面A，B，C三处垂直向地下钻探，自A点向下钻到A1处发现矿藏，再继续下钻到A2处后下面已无矿，从而得到在A处正下方的矿层厚度为同样可得在B，C处正下方的矿层厚度分别为，且. 过，的中点，且与直线平行的平面截多面体所得的截面为该多面体的一个中截面，其面积记为（）证明：中截面是梯形；第20题图（）在ABC中，记，BC边上的高为，面积为. 在估测三角形区域内正下方的矿藏储量（即多面体的体积）时，可用近似公式来估算. 已知，试判断与V的大小关系，并加以证明. 【解题指南】（）利用线面平行证明四边形中，DEGF，利用中位线证明GDEF；（）用a，h和表示出与V，作差比较大小。【解析】（）依题意A1A2平面ABC，B1B2平面ABC，C1C2平面ABC，所以A1A2B1B2C1C2.又A1A2=d1，B1B2=d2, C1C2=d3,且d1d2d3.因此四边形A1A2B2B1，四边形A1A2C2C1均为梯形.由AA2平面MEFN，即AA2AA2B2B，且平面AA2B2B平面MEFN=ME，可得AA2ME，即A1A2DE.同理可证A1A2FG，所以DEFG.又M，N分别为AB、AC的中点，则D、E、F、G分别为A1B1、A2B2、A2C2、A1C1的中点，即DE、FG分别为梯形A1A2B2B1、A1A2C2C1的中位线.因此DE=（A1A2+B1B2）=（d1+d2），FG=（A1A2+ C1C2）=（d1+d3），而d1d2d3，故DEFG,所以中截面DEFG是梯形.（II）。证明如下： 由可得, 而, 有，即为梯形的高， 因此 即。 又，所以 于是 由，得，故。
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