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函数极限的性质和函数极限存在条件运理(极限唯-性)若函数/收敛,i殳lim/ (A)= 4.则它的极限是唯一的.证明思路:A-BA-f)+f)-B0,使得/(x)在0去心邻域u(x0)w界。证明：取 =1,贝I归50,匕：0|天一无)|5,有I /(劝4 lv 1,得 |/(x) l B,贝归5 0,XT.XTAbVx: 0 1 x - x0l g(x).A R证明：取 =-, mso, v：o|x-xo|g(x).推论1.若lim /(x) = A,lim g(x) = B,且m50,Vx:0v x有贝IjAVB.(反证法)推论2.若lim/(x) =AHA B(A v B),贝ij30,Vx:0 x-xAB(/(x) XQXT勺lim/(x)土g(x)=力土3, lim f(x)g(x) = AB.A-X0XX0KO g(X)B夹逼定理3eO,Vx:O|x-xo|5, f(x)g(x)XQXXQXXQ屉加e定理lim /(x) = 4o 对任何数列兀且注意，此处要求在 f (Q 之定义域内证明：“=x/o,北0,匕：0卜一对5,有f(x)-A OO兀 ，故对上述50，mNgN+，X/M7V,有0|xnXQ TV,有|/*(益)A| v&,即lim/(%) = A./?oolimxn=都有lim /(兀)=A”一s“WO,XT中Hx*:O对 ,有“(疋)A| e0.取$=1,冇*:0v%*_对v$,有f(x)-As0；取2 = ming,|X *-x0|, 3x2:0 |x2*-x0| %取戈=min丄,X *-x0|,|x2*-x0|,.,|xrt_1*-x0|,n*：O|x*-xo| %由此得数列x” *,有limxz/*=兀,且兀乂0,但lim /(xzj*) HA.与已知矛盾。注：海涅表明，函数列极限可化为数列极限，它给 出了函数极限存在的充要条件。因此， 有些函数极限定理的证明可借助已知相 应的数列极限定理予以证明。例 利用海涅定理证明夹逼定理夹逼定理若 O,X/x:O v|兀一对v5, f(x) g(x) XQXf勺Xf证明思路：要证lim g(x) = A,o任取uf/(%，S)，lim =HTS由海涅定理，只需证，利用海涅定理证明“函数极限的四则运算”运算法则若lim /(x) = A9Um g(x) = B,则Xlim/(x)g(x) = Alim f (x)g(x) = AB.v-x0勺lim型=d如o).m g(兀)B证明：对任意耳,且limxn=x0,x H%由海涅定理推知= 4 limg(占)=B.而由数列除法运算有nslim心丄=-再由海涅定理推知,lim=”TS g(&) BXT g(x) B注：用海涅定理可证明某些函数的极限不存在。推论1若 m 某个数列xz/,且lipix”=兀0,七 H 和 而/()不存在极限，则x)在点)也不存在极限 推论2.若日某两个数列七与儿,且1巴七=乂0，& H 不)与Hm几=不)，几H 乂0，分另I有lim f(xn) = A71oO”一S与lim/(x,) = 3,且A H 3,则/(x)在点%。 不存在极限。例用Heine定理证明Dirichlet函数(无)=严嘗f豊誓0,当x是无理数，在7?上的任意一点都不存在极限.例 用Heine定理证明limsin丄不存在.定理(函数极限的柯西收敛准则)lim f (x)存在 oVE 0, 0, Vx,x: 0 1 xx()l 8与0 1X7 I V 5, Wl/(x*)-/(X”)l”已知lim /(x)存在，记lim /(x) = AXT勺X于是，0,日5 0, Vx: 0 1 x- x0l 8有l/(x)-AI|.从而,Vx；T: 0 vl疋一xol 5与0 1 xn- x0I ,有I fix) -IM /(d) _ 41 +1 /(xH)-Alsn且极限彼此相等.已知V 0,3 0, Vx x : 0 1 x *- x()1 5,0 1 x”一x()10, 2N”一sVn,m N,WO1 xn xQl 5,01 xm一x0 8.故而I f(xn)一f(xm) loO任给两个数列兀,耳”：lim叮=兀()且兀工0,幵一8lim=勺且七3。由前面证明知lim /(), lim f(xn”)一smsms都收敛记lim.f CO=A,lim/(乙 ”)=B.下证A = B.ms刃一s构造数列兀*:X2n_1* = Xn9x2n* = xn”(VMGN+),则数列卩*满足：limx,/ = x0,工和 故由前面推知” 一slim/(x/)存在这时hmf(x2n_*) = lim/(x2n*),即A = B.zicoms川一s证毕.注：本节的函数极限的性质和存在性判别法对于K X(),兀 T 兀0打牙一兀0_，兀T 8, X +oo,X T 00相应地也成立。定理(复合函数极限)设有复合函数/(g(x)若1) limg(x) = w0;XT。02) Vx G t/(x0),g(x) H Mo;3) lim f(u) = A.-0则lim/(g(x) = A.例(l)g(x) = 1 J(u)=注：若去掉条件2),此定理不成立。u = 1U H 12,3u两个常用的不等式0 sinx x ,/xR.sin mxz八、lim-(m, n丰(),io sin nxj +1 2 lim(y X*X-1“ sin x帘lim- = 1-tan xlim-xX 1 cosX1 -=2lim(l +丄)v或lim(l +y)y= e.yf 0/ri(sin sin x例lim-兀ii)|x|如图，单位圆匚几个重要的极限OOY-证：先证lim （1 + ）v= e.x+00JQ由（i+厂 A）出+ooyy+ooy |=lim (1 + i)Z (1 + 1) = e.证毕y 1y 1彳列(x) = axsin兀+ 勺sin 2x-ansin并七 其中少,a,勺为常数，且X/x w尺,有|/(x)| |sin x|求证同 +2冷+ + ntzz/1 1 证明：踊|工0除|/(乂)|勻血斗 有sin x sin 2xsin /ixlai- + &2-+ + 6-XXXsin x f sin 2x+ 2勺+ + %,fM即1 axsinnxxLxnx
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