一元二次方程根与系数典型课例

一元二次方程的根与系数的关系一、教材简析方程是描述现实世界数量关系的重要模型，作为其广泛应用的一支，一元二次方程便成为了方程中研究的重要内容，求根公式揭示了一元二次方程中，两根与系数之间的密切关系，“根与系数的关系”进一步揭示了二者之间的关系。该定理的形式简洁而优美，这一发现不仅是对一元二次方程根与深化认识，而且在数学学科中具有极强的实用价值。二、教学目标1、知识与能力要求学生在理解的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系式，能运用根与系数的关系由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知数，会求一元二次方程两个根的倒数和与平方数，两根之差。2、过程与方法通过韦达定理的教学过程，使学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点，进一步培养学生的创新意识和创新精神。3、情感态度与价值观通过情境教学过程，激发学生的求知欲望，培养学生积极学习数学的态度。体验数学活动中充满着探索与创造，体验数学活动中的成功感，建立自信心。三、教学重点、难点重点：一元二次方程的根与系数的关系的探索与应用。难点：灵活应用一元二次方程的根与系数的关系解题 四、教法与学法（一）教法1、充分以学生为主体进行教学，让学生多实践，从实践中反思过程，让学生经历韦达定理的发生发展过程，并从中体验成功的乐趣。2、采用“实践（练习）观察发现猜想证明”的过程教学。引导学生发现问题，师生共同解决问题。3、分小组讨论交流，多渠道信息反馈。4、问题引探，启发诱导，进行创新教学。（二）学法指导1、引导学生实践、观察、发现问题、猜想并推理。2、指导学生掌握思考问题的方法及解决问题的途径。3、指导学生熟练掌握根与系数的关系，并将应用问题和规律归类。五、教学过程（一）创设情境，引出新知问题:1、方程3x2-2x-1=0有实数根吗？ 2、不解方程你能知道它的两根x1和x2吗？你知道x1+x2和x1x2吗？学生：不知道老师：我知道x1+x2= ，x1x2= - .不信大家可以验证。你们可以随意说出有实数根的一元二次方程，老师都能马上告诉你们x1+x2和x1x2是多少！学生：感到困惑老师：当你学完今天的内容，你就可以和老师一样神奇了！（板书课题）（二）新知探索1.请大家完成下面的表格。方程x1x2x1 + x2x1 x2x2+3x+2=0x2+2x-1=0x2-2x-3=0问题：1、你发现了什么规律？用语言叙述你发现的规律。2、运用你发现的规律填空：（1）已知方程x2-4x-7=0的根是x1和x2，则x1+x2= ；x1x2= （2）方程x2+3x-5=0的根是x1和x2， 则x1+x2= ；x1x2= 3、猜想规律：方程x2+px+q=0的根是x1和x2，则x1+x2= ；x1x2= 师：那么是不是所有的一元二次方程都具有这样的规律呢？师：为什么不一定呢?师：同学们观察得非常仔细，那么对于一般的一元二次方程根与系数又会存在着怎样的关系呢？下面我们共同探究一下。4、完成下面的表格。方程x1x2x1 + x2x1 x29x2-6x+1=03x2-4x+1=03x2+7x+2=0（1）通过填表，你又有什么发现？你能用语言文字概括你的发现吗？（2）若一元二次方程ax2 + bx+c=0(a0)的两根为x1、x2，你能用式子表示你发现的规律吗？教学说明：学生的语言组织能力不强，在这个地方可能会有较多的说法，教师要适时点拨指导，规范学生的语言。师：你的猜想是正确的吗？我们还可以举更多的例子来验证！师：再多的实验数据也只能增强结论的可靠性，为了说明它的正确性，还需要推理证明。你会证明吗？师：运用什么来验证呢？对！求根公式。分组合作，小组展示证明过程。定理：如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的两根为x1 、x2 ，那么x1 +x2 = - ，x1x2= 。说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以这个关系，通常称为“韦达定理”。上述定理成立的前提是一元二次方程必须有实数根，即0。（三）、应用新知例1：已知关于x的方程2x2 +kx-4=0的一个根是-4，求方程的另一个根及k的值。让学生探讨、交流解题方法，反思解题方法，一题多解，并会选择最优方法。解：（略）例2方程2x2 -3x+1=0的两根记作x1 、x2 ，不解方程，求下列各式的值。(1) x12 x2 +x1x22 ；（2）x12+x22； ( 3)x1- x2教学说明：注意引导学生利用完全平方公式的变形达到解决问题的目的，进一步巩固根与系数关系应掌握的内容，还可以让学生进一步体会整体代入数学思想方法。解：（略）例3：求一个一元二次方程，使它的两个根是-3和2.解：（略）教学说明：引导学生探究，训练学生逆向思维，也进一步加深学生对所学知识的理解。（四）、课堂练习教科书P36练习第1、2、3、4题其中第1、2两题学生口答；第3、4两题请两位学生黑板板演。（五）、总结提升师生以谈话的形式，共同总结本节课的学习收获。1.知识的发生、发展及应用过程，以“我的收获”与“我的疑惑”交流心得2.教师帮助学生整理所学知识，引导学生进一步体会探究学习的过程和方法，领会数学的思想.（六）、布置作业P36习题18.4第1、2、3、4板书设计:一元二次方程根与系数的关系1、完成填表 例1、 例3、方程x1x2x1+x2x1x2 x2+3x+2=0x2+2x-1=0x2-2x-3=0规律：方程x2+px+q=0的根是x1和x2， 则x1+x2= ；x1x2= 2、完成下面的表格。 例2、方程x1x2x1+x2x1x29x2-6x+1=03x2-4x+1=03x2+7x+2=0规律：方程ax2+bx+c=0(a0)的两根为x1 、x2 ，那么x1 +x2 = - ，x1x2= 。教学反思本课是从问题设计的角度出发的教学策略，旨在遵循从具体到抽象，从感性到理性的渐进认识规律，以启发探究式教学为主导，不断创设丰富而贴近学生生活现实的情景，引导学生探究新知在教学活动中，教师应发扬教学民主，成为学生数学活动的组织者、引导者和合作者充分让学生观察、体会、自主去探索。使知识的形成过程转化为学生观察、发现、探索和运用的过程，充分体现“数学教学主要是数学活动的教学”这一教育思想，以此激发学生的好奇心和主动学习的欲望，培养学生观察、探究、抽象、概括的能力通过师生相互交流，培养学生的团结互助精神，使得学生情感得到了应有的发展，学生能力和学习兴趣得到了很大程度的提高，真正做到把主动权交给了学生。