反比例函数经典题型

-反比例函数一、经典内容解析1.反比例函数的概念(1) (k0)可以写成(k0)的形式，注意自变量*的指数为-1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数k0这一限制条件；(2) (k0)也可以写成*y=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式；(3) 反比例函数的自变量*0，故函数图象与*轴、y轴无交点.解析式k为常数，且自变量取值范围的实数图象图象的性质双曲线示意图位置两个分支分别位于一、三象限两个分支分别位于二、四象限变化趋势在每个象限内，y随*的增大而减小在每个象限内，y随*的增大而增大对称性是轴对称图形，直线是它的两条对称轴是中心对称图形，对称中心为坐标原点3.反比例函数的性质(与正比例函数比照)函数解析式正比例函数 y=k* (k0)反比例函数 (k0)自变量的 取值范围全体实数*0图 象直线，经过原点双曲线，与坐标轴没有交点图象位置 (性 质)当k0时，图象经过一、三象限； 当k0时，图象经过二、四象限.当k0时，图象的两支分别位于一、三象限； 当k0时，图象的两支分别位于二、四象限.性 质(1) 当k0时，y随*的增大而增大； 当k0时，y随*的增大而减小. (2) 越大，图象越靠近y轴.(1) 当k0时，在每个象限内y随*的增大而减小； 当k0时，在每个象限内y随*的增大而增大. (2) 越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直.注：(1) 双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论.(2) 正比例函数与反比例函数，当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称.(3) 反比例函数与一次函数的联系.4.反比例函数中比例系数k的几何意义(1)过双曲线(k0) 上任意一点作*轴、y轴的垂线，所得矩形的面积为.(2)过双曲线(k0) 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为二、典型例题分析1.反比例函数定义【例1】如果函数的图像是双曲线，且在第二，四象限内，则k的值是多少.1.反比例函数的图像位于 A第一、二象限 B第一、三象限 C第二、三象限 D第二、四象限2.假设双曲线y经过点Am，2m，则m的值为 A. B. 3C. D. 33.*反比例函数的图象经过点m，n，则它一定也经过点A. m，nB. n，mC. m，nD. m，n42007*在的三个顶点中，可能在反比例函数的图象上的点是5.假设点P4，m关于y轴对称的点在反比例函y= *0的图象上，则m的值是 -22.反比例函数的表示【例2】，成正比例，成反比例，且1.假设与成反比例，与成正比例，则是的 A、正比例函数 B、反比例函数 C、一次函数D、不能确定2与成反比例关系，且当时， 则关于的函数解析式为3y1与*成正比例比例系数为k1，y2与*成反比例比例系数为k2，假设函数的图象经过点1，2，2，则3.反比例函数的增减性问题.【例3】在反比例函数的图像上有三点， 。假设则以下各式正确的选项是 A B C D1在反比例函数图象上有两点A(，)，B()，当时，有，则m的取值范围是( ). Am0 Bm0 Cm0.5 Dm0.52：反比例函数的图象上两点A(，)，B(，)，当时，有，则m的取值范围是_.3：假设反比例函数上，有三点A(，)，B(，)，C(，)，且，则，的大小关系是_.4.设有反比例函数，、为其图象上的两点，假设时，则的取值范围是_4.反比例函数与图象的面积问题.(1)求函数解析式1如图，P是反比例函数图象在第二象限上的一点，且矩形 PEOF的面积为3.求这个反函数的解析式.2.2007*枣庄反比例函数的图象如下图，点M是该函数图象上一点，MN垂直于*轴，垂足是点N，如果SMON2，则k的值为 (A)2 (B)-2 (C)4 (D)-4(2)求图形面积的问题1.图中正比例函数和反比例函数的图象相交于A、B两点，分别以A、B两点为圆心，画与y轴相切的两个圆，假设点 A的坐标为(1，2)，求图中两个阴影面积的和.(3)求特殊点组成图形的面积1如图，反比例函数y=与一次函数y=-*+2的图象相交于A、B两点.(1)求A、B两点的坐标；(2)求AOB的面积.5.的几何意义及应用1点P为反比例函数图象上一点，如图，假设阴影局部的面积是12个平方单位，则解析式为2如图，反比例函数的图象与直线相交于A、B两点，AC轴，BC轴，则ABC的面积等于个面积单位. ABCEOF*y(第3题图)CBA(第2题图)O3如图，双曲线(*0)经过矩形OABC边AB的中点F，交BC于点E，且四边形OEBF的面积为2，则k_。6.反比例函数和一次函数的综合例1函数y=与 y=m*-m(m0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( ) 1. 反比例函数yk0，当*0时，y随*的增大而增大，则一次函数yk*k的图象经过 A. 第一、二、三象限B. 第一、二、四象限C. 第一、三、四象限D. 第二、三、四象限2. 一次函数yk*b的图象经过第一、二、四象限，则反比例函数y的图象在 A. 第一、二象限B. 第三、四象限C. 第一、三象限D. 第二、四象限3在同一坐标系中，函数和的图像大致是 A B C D4.2007*如图，是一次函数y=k*+b与反比例函数y=的图像，则关于*的方程k*+b=的解为( ) (A)*l=1，*2=2 (B)*l=-2，*2=-1 (C)*l=1，*2=-2 (D)*l=2，*2=-15. 反比例函数yk0，当*0时，y随*的增大而增大，则一次函数yk*k的图象经过 A. 第一、二、三象限B. 第一、二、四象限C. 第一、三、四象限D. 第二、三、四象限6.2007*潜江如图，反比例函数的图象与直线相交于B两点，AC轴，BC轴，则ABC的面积等于个面积单位.例2如图，A(-4，2)、B(n，-4)是一次函数y=k*+b的图象与反比例函数的图象的两个交点.(1) 求此反比例函数和一次函数的解析式； (2) 根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的*的取值范围.解：(1) 点A(-4，2)和点B(n，-4)都在反比例函数y=的图象上，解得又由点A(-4，2)和点B(2，-4)都在一次函数y=k*+b的图象上，解得反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为y=-*-2.(2) *的取值范围是*2或-4*0 .例3直线y=k1*+b与双曲线y=只有个交点A(1，2)，且与*轴、y轴分别交于B，C 两点，AD垂直平分OB，垂足为D，求直线、双曲线的解析式.解：点A(1，2)在上 ， 双曲线的解析式为AD垂直平分OB，OD=1，OB=2B(2，0)A(1，2)，B(2，0)在直线上解得直线解析式为.例4如图，直线与双曲线交于A、B两点，且点A的横坐标为4. (1)求k的值；(2)假设双曲线上一点C的纵坐标为8，求AOC的面积；解：(1)点A横坐标为4， 当= 4时，=2. 点A的坐标为(4，2). 点A是直线与双曲线的交点， k=42=8.(2)解法一：如图， 点C在双曲线上，当=8时，=1 点C的坐标为(1，8). 过点A、C分别做轴、轴的垂线，垂足为M、N， 得矩形DMON . S矩形ONDM=32，SONC=4，SCDA=9，SOAM=4. SAOC=S矩形ONDM-SONC-SCDA-SOAM=32-4-9-4=15. 解法二：如图， 过点C、A分别做轴的垂线，垂足为E、F， 点C在双曲线上，当= 8时，=1. 点C的坐标为(1，8). 点C、A都在双曲线上， SCOE = SAOF=4. SCOE+S梯形CEFA=SCOA+SAOF. SCOA=S梯形CEFA. S梯形CEFA =(2+8)3=15， SCOA=15.7.反比例函数图象上、下平移；关于坐标轴对称；关于坐标原点中心对称；绕原点顺逆时针旋转后的解析式 1如图，一次函数与反比例函数的图象相交于A、B两点，假设一个交点为A2，1，则另一个交点B的坐标为 A. 2，1 B.2，1 C. 1，2 D. 1，22反比例函数的图象经过点，将其图象向上平移2个单位后，得到的图象所对应的函数解析式为3假设将反比例函数的图象绕原点O逆时针旋转后经过点A-2，3，则反比例函数的解析式为：8.反比例函数与一次函数、方程、不等式的综合问题*yyyy*ABCD1k10k2，则函数yk1*和的图象大致是 第24题图2如图，直线与*轴、y轴分别交于点A、B，与双曲线*0分别交于点C、D，且点C的坐标为-1，2分别求出直线及双曲线的解析式；求出点D的坐标；利用图象直接写出当*在什么范围内取值时，9.求双曲线与直线交点问题；数形结合等思想方法的应用1反比例函数中y=，当*2时，y的取值范围是；第26题图当y-1时，*的取值范围是.2一次函数y=k*+b与反比例函数y=的图象如图，则关于*的方程k*+b=的解为( ) (A)*l=1，*2=2 (B)*l=-2，*2=-1(C)*l=1，*2=-2 (D)*l=2，*2=-1第27题图3如图，利用函数图象解不等式，则不等式的解集为4不解方程，利用函数的图象判断方程的 解的个数为5如图，直线与双曲线交于两点，且点的横坐标为29图1求的值；2假设双曲线上一点的纵坐标为8，求的面积；3过原点的另一条直线交双曲线于两点点在第一象限，假设由点为顶点组成的四边形面积为，求点的坐标10反比例函数中的综合问题及探究性问题1将*1代入反比例函数中，所得函数值记为y1，将的值代入中，得到*2的值；并将*2的值再次代入函数中，所得函数值记为y2，再将y2的值代入中得到*3 ，并再次将*3代入函数中，所得函数值记为y3，如此继续下去第2题图完成下表.y1y 2y 3y 4y 5观察上表，你发现了什么规律.猜测y2007=第3题图2如图，点A在反比例函数的图象上， 点C0，1，且的面积是3，求反比例函数的解析式. 3点A，AMy轴于点M，点N 在轴上，的面积是3个平方单位，探究点A在怎样的函数图象上运动，并求出这个函数的解析式.通过举例实践、探究、认知 第4题图4如图，正方形ABCD的边长是2，E、F分别在BC、CD两边上，且E、F与BC、CD两边的端点不重合，的面积是1，设BE=*，DF=y，求y关于*的函数解析式及自变量*的取值范围.第5题图5点在反比例函数的图象上点B是点A关于直线的对称点，1求点A、B的坐标；2光线由点A发出，照射到*轴上的点C, 假设反射光线恰好经过点B，求点C的坐标.第6题图6如图，正方形OABC的面积为9，点O为坐标原点，点A、C分别在*轴、y轴上，点B在函数(k0，*0)的图象上，点P (m，n)是函数(k0，*0)的图象上任意一点，过P分别作*轴、y轴的垂线，垂足为E、F，设矩形OEPF在正方形OABC以外的局部的面积为S. 求B点坐标和k的值； 当时，求点P的坐标； 写出S关于m的函数关系式.第7题图7正比例函数和反比例函数的图象交于点，点B在正比例函数的图象上，点C在反比例函数的图象上，且B、C两点的纵坐标都是，此题中所有的都表示同一个量设BC的长记作S，1当=2，=3时，求反比例函数的解析式；2求S关于的函数解析式及的取值范围，并说明S与无关.三、解答1一次函数y=k*+b的图象与双曲线y=-交于点1，m，且过点0，1，求此一次函数的解析式2如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于A、B两点，1利用图中条件，求反比例函数和一次函数的解析式2根据图像写出使一次函数的值大于反比例函数的值的的取值范围。3.在*一电路中，保持电压不变，电流I(安培)与电阻R(欧姆)成反比例，当电阻R=5欧姆时，电流I=2安培.则I与R之间的函数关系式.4. 函数的图象有两个交点，其中一个交点的横坐标为1，则两个函数图象的交点坐标是多少.5.，与成正比例，与成反比例，且当时，；当时，；求与之间的函数解析式。6如图1387一次函数和反比例函数图象在第一象限内有两个不同的公共点A、B1*数的取值范围；2假设AOB的面积S24，求的值7.如果不等式的解集是,点在双曲线上,则一次函数的图象不经过第几象限.y*8如右图，是反比例函数图象在第二象限上的一点，且矩形的面积为3，则反比例函数的表达式是.9.直线经过反比例函数的图象上两点与，则是多少.10.2007*如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点1试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；2求的面积. z.