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2.4.1抛物线及其标准方程（一）【自主学习】【学习目标】1.理解抛物线的定义，了解标准方程的推导；2.掌握抛物线的标准方程；3.通过“画图、建系、得方程”这一系列过程，感受坐标法的研究思路.【教材导析】一、情景导入（1）抛物线是圆锥曲线之一用一平行于圆锥母线的平面截圆锥，该平面与圆锥侧面的交线是抛物线（2）用几何画板作图 点F是定点，是不经过点F的定直线.H是上任意一点，过点H作，线段FH的垂直平分线交MH于点M.拖动点H，观察点M的轨迹.你能发现点M满足的几何条件吗？二、教材导读阅读教材64-66页，找出疑惑之处1.抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线（不经过点F）距离相等的点的轨迹叫做抛物线 定点F叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线 【说明】（1）注意条件“（不经过点F）”，否则轨迹为直线过点F的垂线.（2）到定点和定直线距离相等，即距离之比为1，这与椭圆、双曲线（教材47页例6,59页例5）有机统一，形成圆锥曲线的统一定义方式：到定点距离与到定直线（定点不在定直线上）距离之比是定值e的点的轨迹，当0e1时轨迹是双曲线，当e=1时轨迹是抛物线.2.抛物线标准方程的推导.【思考】比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程，如何选择坐标系使抛物线的方程更简单？【操作】取过点F且垂直于的直线为轴，垂足为K，并使原点与线段KF的中点重合，建立如图所示坐标系.设|KF|=（）,那么焦点F的坐标为，准线的方程为，设抛物线上的任意一点，则由抛物线的定义，有化简方程得 从推导过程知，抛物线上任意一点的坐标都满足方程；以方程的解为坐标的点到抛物线的焦点F的距离与到准线的距离相等，即以方程的解为坐标的点都在抛物线上.我们把方程叫做抛物线的标准方程它表示的抛物线的焦点在轴的正半轴上，焦点坐标是F（,0），它的准线方程是3.抛物线标准方程的认识 一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：，.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下：标准方程图形焦点准线【说明】（1）一次项的变量为，则对称轴为；一次项系数的正负决定开口方向； （2）叫焦参数，表示焦点到准线的距离.在椭圆和双曲线中，表示焦点到相应准线的距离，且.三、问题与困惑 【课堂点金】【重难点突破】1. 根据标准方程写焦点和准线【例1】（教材67页第2题改编）求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：（1）；（2）；（3）.【解析】（1）因为3，所以抛物线的焦点坐标是（，0），准线方程是(2)因为，所以焦点坐标是，准线方程是.(3)因为，所以焦点坐标是，准线方程是.【评析】根据方程，找出焦点位置和的大小，就可写出焦点坐标和准线方程：一般地，抛物线的焦点坐标为，准线方程为；抛物线的焦点坐标为，准线方程为.【变式1】求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：（1）； （2）；（3）； （4）.【解析】（1）焦点坐标，准线方程；（2）焦点坐标，准线方程；（3）焦点坐标，准线方程；（4）焦点坐标，准线方程.2.求抛物线的标准方程【例2】（教材67页第1题改编）根据下列条件写出抛物线的标准方程：（1）焦点是F（0，2）；（2）准线方程是；（3）焦点到准线的距离是2.【解析】（1）因为抛物线的焦点在轴负半轴上，2，所以所求抛物线的标准方程是；（2）因为抛物线的焦点在轴正半轴上，所以所求抛物线的标准方程是；（3）由题知，所以标准方程为，.【评析】求抛物线的标准方程，需要找准对称轴、开口方向、和的大小三个要素，若部分要素无法确定，则可能出现多个解.【变式2】求满足下列条件的抛物线的标准方程：（1）焦点坐标是F（5，0）；（2）经过点A（2，3）.【解析】（1）焦点在轴负半轴上，5，所以所求抛物线的标准方程是（2）经过点A（2，3）的抛物线可能有两种标准形式：或 将点坐标代入计算，得抛物线的标准方程是或 3. 抛物线方程简单应用【例3】（教材66页例2）一种卫星接收天线的轴截面如图所示.卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点处. 已知接收天线的口径（直径）为4.8m，深度为0.5m.试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标.【解析】在接收天线的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合.设抛物线的标准方程是：.由已知条件可得，点A的坐标是，代入方程，得：，即.所以，所求抛物线的标准方程是：，焦点的坐标是（2.88，0）.【评析】根据抛物线方程的推导过程建立坐标系，用待定系数法求出抛物线标准方程.这是一个简单的应用题，注意解题的基本过程的完整性，根据实际问题提炼出数量关系，建立模型，求解模型.【变式3】如图，吊车梁的鱼腹部分是一段抛物线，宽为7m,高为0.7m. 试建立适当的坐标系，求这条抛物线的方程.【解析】建立如图所示坐标系，则抛物线过点代入方程，得这条抛物线的方程是.【教材挖掘】1、圆锥曲线的统一定义（第二定义）平面内与一个定点F和一条定直线（不经过点F）距离之比为的点的轨迹：当0e1时，轨迹是双曲线；当e=1时，轨迹是抛物线.定点F是曲线的焦点，直线是曲线的准线，是曲线的离心率.该定义给出了离心率的几何意义，就是曲线上的点到焦点的距离与到相应准线的距离之比.2、抛物线与其标准方程的对应关系一次项的变量为，则对称轴为；一次项系数的正负决定开口方向； 焦点坐标的数值为一次项系数的，准线的数值为焦点数值的相反数.【总结提升】1.知识与方法小结（1）抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线（不经过点F）距离相等的点的轨迹叫做抛物线 定点F叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线 （2）抛物线的标准方程： , 焦点:，准线：；, 焦点:，准线：；, 焦点:，准线：；, 焦点:，准线：(3) 一般地，抛物线的焦点坐标为，准线方程为；抛物线的焦点坐标为，准线方程为.2.问鼎高考（2011陕西文2）设抛物线的顶点在原点，准线方程为，则抛物线的方程是（ ） （A） （B） (C) (D) 【解析】选B. 由准线方程得,且抛物线的开口向右（或焦点在轴的正半轴），所以【自主评价】【自主评价1】一、选择题(共5个小题，每小题只有一个正确答案)1抛物线 的准线方程是（ ）ABCD 【解析】选D.2. 抛物线的焦点到准线的距离是（ ）A2.5 B5 C7.5 D10【解析】选B.3与椭圆有相同的焦点，且顶点在原点的抛物线方程是（ ）ABCD 【解析】选B.4. 抛物线的焦点坐标为（ ）【解析】选B.5. 顶点在原点，坐标轴为对称轴的抛物线过（-2,3），则这条抛物线方程为（ ） 【解析】选C.二、填空题(共3个小题)6.焦点到准线的距离是4，且焦点在轴上的抛物线的标准方程为 .【解析】7已知椭圆以抛物线的顶点为中心，以此抛物线的焦点为右焦点，又椭圆的短轴长为2，则此椭圆的标准方程为_【解析】抛物线焦点为，所以椭圆，焦点在轴上.所以椭圆方程为.8.焦点在直线上的抛物线的标准方程是_【解析】 或.焦点坐标为，所以标准方程为 或.三、解答题(共2个小题)9.写出下列抛物线的焦点和准线方程：（1）；（2）；(3).【解析】（1），焦点为，准线为；（2），焦点为，准线为；（3），焦点为，准线为.10. 根据条件写出抛物线的标准方程： （1）过点；（2）焦点在直线上【解析】（1）经过点的抛物线可能有两种标准形式：或 将点代入，得抛物线的标准方程是或 （2）焦点坐标为，所以标准方程为 或.【自主评价2】已知抛物线的焦点到准线的距离等于椭圆的长轴长，求该抛物线的标准方程.【解析】椭圆即，长轴长为8，所以抛物线所以抛物线的标准方程为：，.【课后反思】 .
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