常见递推数列通项的求解方法

常见递推数列通项的求解方法类型一：（可以求和）累加法例1、在数列中，已知=1，当时，有，求数列的通项公式。解析： 上述个等式相加可得： 类型一专项练习题：1、已知，（），求。 2、已知数列，=2，=+3+2，求。 类型二： （可以求积）累积法例1、在数列中，已知有，()求数列的通项公式。解析：又也满足上式； 评注：一般情况下，累积法里的第一步都是一样的。类型二专项练习题：1、 已知，()，求。 2、已知数列满足，求。 类型三：待定常数法可将其转化为，其中，则数列为公比等于A的等比数列，然后求即可。例1 在数列中， ，当时，有，求数列的通项公式。解析：设，则 ，于是 是以为首项，以3为公比的等比数列。 类型三专项练习题：1、 在数列中， ，求数列的通项公式。 2、若数列的递推公式为，则求这个数列的通项公式3、已知数列a中，a=1，a= a+ 1求通项a 类型四： 可将其转化为-（*）的形式，列出方程组,解出还原到（*）式，则数列是以为首项， 为公比的等比数列，然后再结合其它方法，就可以求出。例1 在数列中， ，且求数列的通项公式。解析：令得方程组 解得 则数列是以为首项，以2为公比的等比数列 评注：在中，若A+B+C=0,则一定可以构造为等比数列。例2 已知、,求解析：令，整理得 ；两边同除以得， 令，令，得 ，故是以为首项，为公比的等比数列。 ，即，得类型四专项练习题：1、已知数列中，,，求。2、 已知 a1=1，a2=，=-,求数列的通项公式.类型五： （且）一般需一次或多次待定系数法，构造新的等差数列或等比数列。例1 设在数列中， ，求数列的通项公式。解析：设 展开后比较得这时 是以3为首项，以为公比的等比数列 即，例2 在数列中， ，求数列的通项公式。解析： ，两边同除以得是以=1为首项，2为公差的等差数列。 即类型六：（）倒数法例1 已知，求。解析：两边取倒数得：，设则；令；展开后得，； 是以为首项，为公比的等比数列。；即，得；评注：去倒数后，一般需构造新的等差（比）数列。类型六专项练习题：1、若数列的递推公式为，则求这个数列的通项公式。2、已知数列满足时，求通项公式。类型七： 例1 已知数列前n项和.求与的关系； （2）求通项公式.解析：时，得；时，； 得。（2）在上式中两边同乘以得；是以为首项，2为公差的等差数列； ；得。类型七专项练习题：1、数列an的前N项和为Sn，a1=1，an+1=2Sn.求数列an的通项an。2、已知在正整数数列中，前项和满足，求数列的通项公式.