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常见递推数列通项的求解方法类型一:(可以求和)累加法例1、在数列中,已知=1,当时,有,求数列的通项公式。解析: 上述个等式相加可得: 类型一专项练习题:1、已知,(),求。 2、已知数列,=2,=+3+2,求。 类型二: (可以求积)累积法例1、在数列中,已知有,()求数列的通项公式。解析:又也满足上式; 评注:一般情况下,累积法里的第一步都是一样的。类型二专项练习题:1、 已知,(),求。 2、已知数列满足,求。 类型三:待定常数法可将其转化为,其中,则数列为公比等于A的等比数列,然后求即可。例1 在数列中, ,当时,有,求数列的通项公式。解析:设,则 ,于是 是以为首项,以3为公比的等比数列。 类型三专项练习题:1、 在数列中, ,求数列的通项公式。 2、若数列的递推公式为,则求这个数列的通项公式3、已知数列a中,a=1,a= a+ 1求通项a 类型四: 可将其转化为-(*)的形式,列出方程组,解出还原到(*)式,则数列是以为首项, 为公比的等比数列,然后再结合其它方法,就可以求出。例1 在数列中, ,且求数列的通项公式。解析:令得方程组 解得 则数列是以为首项,以2为公比的等比数列 评注:在中,若A+B+C=0,则一定可以构造为等比数列。例2 已知、,求解析:令,整理得 ;两边同除以得, 令,令,得 ,故是以为首项,为公比的等比数列。 ,即,得类型四专项练习题:1、已知数列中,,,求。2、 已知 a1=1,a2=,=-,求数列的通项公式.类型五: (且)一般需一次或多次待定系数法,构造新的等差数列或等比数列。例1 设在数列中, ,求数列的通项公式。解析:设 展开后比较得这时 是以3为首项,以为公比的等比数列 即,例2 在数列中, ,求数列的通项公式。解析: ,两边同除以得是以=1为首项,2为公差的等差数列。 即类型六:()倒数法例1 已知,求。解析:两边取倒数得:,设则;令;展开后得,; 是以为首项,为公比的等比数列。;即,得;评注:去倒数后,一般需构造新的等差(比)数列。类型六专项练习题:1、若数列的递推公式为,则求这个数列的通项公式。2、已知数列满足时,求通项公式。类型七: 例1 已知数列前n项和.求与的关系; (2)求通项公式.解析:时,得;时,; 得。(2)在上式中两边同乘以得;是以为首项,2为公差的等差数列; ;得。类型七专项练习题:1、数列an的前N项和为Sn,a1=1,an+1=2Sn.求数列an的通项an。2、已知在正整数数列中,前项和满足,求数列的通项公式.
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