线性回归中的相关系数

线性回归中的相关系数山东胡大波线性回归问题在生活中应用广泛，求解回归直线方程时，应该先判断两个变量是否是线性相关，若相关再求其直线方程，判断两个变量有无相关关系的一种常用的简便方法是绘制散点图；另外一种方法是量化的检验法，即相关系数法下面为同学们介绍相关系数法.一、关于相关系数法统计中常用相关系数r来衡量两个变量之间的线性相关的强弱，当X不全为零，yi也不全为零时，则两个变量的相关系数的计算公式是：nxyinxyi1(Xx)(yiy)i1rn2yii1n222xnxi1nnny(XiX)2(yiy),i1i1r就叫做变量y与x的相关系数(简称相关系数).说明：(1)对于相关系数r，首先值得注意的是它的符号，当r为正数时，表示变量x,y正相关；当r为负数时，表示两个变量x,y负相关；(2)另外注意r的大小，如果r0.751，那么正相关很强；如果r1,0.75，那么负相关很强；如果r0.75,0.30或r0.30,0.75,那么相关性一般；如果r0.25,0.25，那么相关性较弱.下面我们就用相关系数法来分析身边的问题，确定两个变量是否相关，并且求出两个变量间的回归直线.二、典型例题剖析例1测得某国10对父子身高(单位：英寸)如下:父亲身高(x)60626465666768707274儿子身高(y)63.565.26665.566.967.167.468.370.170(1) 对变量y与x进行相关性检验；(2) 如果y与x之间具有线性相关关系，求回归直线方程；(3) 如果父亲的身高为73英寸，估计儿子身高._1010_22解：(1)x66.8,y67,x44794,44929.22,xy4475.6,x4462.24,i1i1一210y4489,xy44836.4,所以r紗nxyii2nxn2yi2ny(4479444622.4)(44929.2244890)80.46730.15280.482.040.98,所以y与x之间具有线性相关关系.(2)设回归直线方程为yabx，则b10Xiii1102Xii110xy-210x44836.4447564479444622.40.4685，.故所求的回归直线方程为.(3) 当x73英寸时，y0.468573,所以当父亲身高为73英寸时，估计儿子的身高约为69.9英寸.点评：回归直线是对两个变量线性相关关系的定量描述，利用回归直线，可以对一些实际问题进行分析、预测，由一个变量的变化可以推测出另一个变量的变化.这是此类问题常见题型.例210名同学在高一和高二的数学成绩如下表：X74717268767367706574y76757170767965776272其中x为高一数学成绩，y为高二数学成绩.(1) y与x是否具有相关关系；(2) 如果y与x是相关关系，求回归直线方程.解：(1)由已知表格中的数据，利用计算器进行计算得10Xii110710,y723,x71,yi11072.3,Xiyii151467.102Xi10250520,yi52541.i1102XiXiyii110xy一210x102yi210y514677172.3100.78(505201071)(525411072.3)由于r0.78，由知，有很大的把握认为x与y之间具有线性相关关系.5052010712.所以y关于x的回归直线方程为.点评：通过以上两例可以看出，回归方程在生活中应用广泛，要明确这类问题的计算公式、解题步骤，并会通过计算确定两个变量是否具有相关关系.