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一 定积分的元素法(或微元法) 通过对不均匀量（如曲边梯形的面积，变速直线运动的路程）的分析，采用“分割、近似代替、求和、取极限”四个基本步骤确定了它们的值，并由此抽象出定积分的概念，我们发现，定积分是确定众多的不均匀几何量和物理量的有效工具。那么，究竟哪些量可以通过定积分来求值呢？第1页/共13页 为了说明微元法，我们先来回顾一下曲边梯形面积转化为定积分的计算过程。(1) 分割：任意划分a,b为n个小区间1,1,2,iixxin 相应地把曲边梯形分为n个小曲边梯形,1,2,iA in则曲边梯形的面积为1,niiAA 第2页/共13页(2)求近似值： ,1iiixx 则有(),1,2,iiiAfx in (3) 取极限：| |01lim()niiTiAfx 从而1().niiiAfx 即( ).baAf x dx 第3页/共13页在上述问题中, 所求量(即面积)A满足：1。与区间a,b及a,b上连续函数f(x)有关;2。对a,b具有可加性，; 1iniAA 即即3。)( ,)( iiiixoAfA 且误差为且误差为局部量局部量 第4页/共13页一般地,如果所求量分布在某区间a,x上,或者说是区间端点x的函数,即= (x),xa,b,而(b)正好为最终所求的值.如果在任意小区间x,x+x上,能把的微小增量近似地表示为x的线性形式f(x) x,其中f(x)为某一连续 函数,且当x0时, -f(x)x=o(x),即df(x)dx,那么只要计算定积分( )baf x dx 就能求出量.以上方法称为微元法.第5页/共13页二 旋转曲面的面积设平面曲线C的方程为y=f(x),xa,b(f(x)0),这一曲线绕x轴旋转一周得到旋转曲面,如图 xyOabxx+xy=f(x)S第6页/共13页通过x轴上的点x与x+x分别作垂直于x轴的平面,它们在旋转曲面上截下一条狭带.当x很小时,此狭带的面积近 似于一圆台的侧面积,即22 ( )()Sf xf xxxy 22 ( ) 1(),yf xyxx 其中y=f(x+ x)-f(x).由于2200lim0, lim1()1( ),xxyyfxx 第7页/共13页旋转曲面的面积为所以 221.baSfxfx dx 222 ( ) 1()2( ) 1( )().yf xyxf xfxxoxx 22( ) 1dSf xfx dx故第8页/共13页 222Sy txtyt dt .若光滑曲线C由参数方程x= x(t),y=y(t),t,给出,且 y(t)0,则由弧微分知识推知曲线C绕x轴转所得曲面的面积若曲线由极坐标方程r= r (q定义, 0 q ,则旋转曲曲面的面积 222Srrrd q qq qq qq qq qsin.第9页/共13页24.R例1 求半径为R的球面面积.绕x轴旋转而成,于是22yRxRxR,解:设球面方程为可看作半圆222xyR ,2222221RRxARxdxRx第10页/共13页a aoyx例2 求由内摆线)0(sincos33ataytax绕x轴旋转而成的旋转曲面的面积.解: 由对称性3222220433Satattatt dt sin(cossin )sincos )2422012125attdta sincos.第11页/共13页作业 P255：1，2，3.qqqqqqqdAdttytxtyAttyytxxdxxfxfdxxfAxxbxaxxfybaxfyxfybaba)()(sin)(2)()()()()(2)()()()(1)(2)(2)(,)( )(22222给出，则侧面积公式为若曲线段由极坐标方程：给出，则侧面积公式为若曲线段由参数方程的侧面积轴旋转一周所得旋转体轴所围曲边梯形绕及，连续，则由曲线在及设三 小结第12页/共13页感谢您的观看。第13页/共13页
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