高中数学第一章导数及其应用11导数课堂探究新人教B选修2-2讲解

高中数学 第一章 导数及其应用1.1导数课堂探究 新人教B版选修2-2探究一求函数的平均变化率1 .求函数y=f(x)在区间xi, X2上的平均变化率的步骤是:(1)求函数值的增量：Ay= f(X2) f(xi);(2)求自变量的增量：Ax= X2X1；(3)作商即得平均变化率：”=匚.A xx2 x12 .运动物体在t0到t1这段时间内运动的平均速度就是物体运动的位移函数s(t)在区间t0, t1上的平均变化率，因此求平均速度的实质也是求函数的平均变化率.1【典型例题1】(1)求函数f (x)在区间1,0 , 1,3 , xo, x0+1上的平均变x I4化率.(2)若某一物体的运动方程为s=- 2t2,那么该物体在 t = 2到t = 3时的平均速度为思路分析：(1)按照平均变化率的定义分三步求解；(2)实质就是求函数 s(t)在区间2,3上的平均变化率.1(1)解：f(x)=1在区间-1,0上的平均变化率为：x i 2Ay f f 1Ax=01=1 一一1212；1 , 一、f(x)=x2在区间1,3上的平均变化率为:1 1Ay f f531= = = ：Ax 3-12151 , 一、f (x)在区间x。，xo+1上的平均变化率为:x I4Ay_ fxo+1fx。_ 11 1/ xx。+ 1 x。x。+ 3x。+ 2x。+ 2 x。+ 32As 2X3(2)解析：平均速度为平.A t3 22=1。，故该物体在t = 2到t = 3时的平均速度为一1。.答案：1。探究二导数定义的应用1 .利用导数的定义可以求函数的导函数或函数在某一点处的导数.求导函数时，可按如下步骤进行：(1)求函数的增量 A y=f (x+A x) f (x);八Ay f x+Ax f x(2)求平均变化率=AxAx取极限，得导数AyAx2 .求函数f(x)在x=xo处的导数时，可以有两种方法：一是直接利用导数的定义求得，即f(刈=则。f x0+A：f x0 ；二是先利用导数的定义求出(x),再计算(x)Ax在x= x0的函数值.【典型例题2】(1)求函数f(x)=x3+x在x=1处的导数；(2)求函数f(x) = 2yx的导数.思路分析：对于(1)可有两种方法：一是直接利用导数定义求解，二是先求出f (x),再令x= 1求得f (x)的函数值即得导数值；对于 (2)可按照导函数的定义直接求导数.解：(1)(导数定义法)因为 A y= f (1 + A x) -f (1) = (1 + A x)3+ (1 + A x) 2= ( A x)3+ 3( A x) 2+ 4A x,所以 g= ( A x) 2+ 3 A x+ 4,于是 f(x)在x=1处的导数f (1) =则要=则。(Ax)2+ 3Ax + 4=4. z_i x(导函数的函数值法)因为 A y=f (x+ Ax) f(x) =(x+ A x)3+(x+ A x) x3-x= ( Ax)3+3 ( A x)2 - x +3 - A x , x2+ Ax,所以好=(Ax) Ax x+.+ L于是 f(x)的导数 f ( x) = !ixQoTy=3x2+1.从而 f (1) =3X1 2+ 1 = 4.(2)因为 Ay=f(x+ Ax)f(x) = Rx+ Ax 2版,所以AYAx2x+ A x 2近A xJx+Ax2 /Jx+Ax +,2A x x+ Ax + 胃x+ Ax+E，于是f (x)的导数 f ( x) = lim 告、=lim2尸=一：.axtax Ax-qx+Ax+Vx ”点评 利用导数定义求导数的关键在于取极限后，对学的变形与化简，使之能够约去Ax分母中的Ax,然后求得导数.探究三导数的几何意义及其应用1 .导数的几何意义：曲线 y = f(x)在点(x% yo)处的切线的斜率就是函数 y= f(x)在x =X0处的导数，而切线的斜率就是切线倾斜角的正切值.2 .运用导数的几何意义解决曲线的切线问题时，一定要注意所给的点是否在曲线上，若点在曲线上，则该点的导数值就是该点处的曲线切线的斜率；若点不在曲线上，则该点的导数值不是切线的斜率.3 .若所给的点不在曲线上，应另设切点，然后利用导数的几何意义建立关于所设切点 横坐标的关系式进行求解.【典型例题3】(1)已知曲线y=1x2 2上一点Pl,；,则过点P的切线的倾斜角2 2为()A. 30 B . 45 C . 135 D , 165, 一，1 , 已知函数f(x) = 2x + -,则曲线y=f(x)在点(1, 3)处的切线万程是 x、，、，(3)若直线l : y= 4x+a与曲线C： y = x32x2+3相切，求实数a的值和切点的坐标.思路分析：(1)先利用导数定义求出 f(x)在x=1处的导数，即得切线斜率，再根据斜 率与倾斜角的关系求出倾斜角；(2)先利用导数定义求出切线斜率，再由直线方程的点斜式写出方程；(3)应先设出切点，再根据导数的几何意义建立关系式求解.1 2-1,2ylim】AxO(1)斛析：. y = 2x 2,x+ Ax 2-2- =x2-2)Ax 2+x . Ax22 xT0=lim V, Ix=1= 1,1,，过点P|1,则切线的倾斜角为45 ,故选B.答案：B(2)解析：函数f (x) = 2x +1一在点 x = x-1处的导数为f ( - 1) = qmXof 1+Ax fA x1=limx-1+ Ax厂 1.3)处的切线的斜率 k = f ( 1) = 1,因此由导数几何意义知，曲线y = f (x)在点(一1因此切线方程为 y ( 3) = x ( 1),即y= x 2.答案：y = x2解：设直线l与曲线C相切于点Rx0, y0),f (x) = lMx+Ax 2x+Ax+3 x - 2x + 32=3x 4x.Ax由导数的几何意义，得23x。一 4x0= 4,-2解得x0= 一,或x0= 23切点的坐标为49万博(2,3) 当切点为23 +a，121a= 27；当切点为(2,3)时，有 3=4X2+ a,a=- 5.121，所求a的值为a=药，切点为I 47 j；a=- 5,切点为(2,3).点评 本例(3)中，切线方程已知，从而切线斜率已知，但切点未知，因此应设出切点 坐标，才能与导数的几何意义联系起来.探究四易错辨析易错点：不注意点是否在曲线上而出错【典型例题4】 试求过点M(1,1)且与曲线y = x3+1相切的直线方程.上什后r Ay错解：一Axx+Ax 3+1 x313x Ax 2+3x2AxAx 32=3x A x + 3x +所以切线在x = 1处的余率k= 3.故切线方程为y (Ax)：则。号=3x2，因此 y =3x2， ZA x1 = 3(x-1),即 3x-y- 2=0.错因分析：本题错误在于没有注意到点M(1,1)根本不在曲线上，而直接把点M当成曲线上的点，利用导数几何意义求切线方程,导致错误.避免错误的方法是先判断点是否在曲线上，再针对不同情况分别求解.正确解答：y =3x2(解法同上)，设过M1,1)点的切线与曲线 y=x3+1相切于点P(x% x3+1),根据导数的几何意义，函数在点P处的切线的斜率为 k=3x2 ,3 .x0_p 1 _ 1_过M(1,1)点的切线的斜率k=-,x0 1c x33由=得，3x0=3解之得xo=0或x0 = ,x。一 I2所以k= 0或k= -4-,因此曲线y = x3+1过点M(1,1)的切线方程有两条，分别为y 1 = 4(x1)和y= 1,即 27x4y 23=0 和 y=1.