831逻辑推理.题库教师版1

word8-3逻辑推理教学目标1. 掌握逻辑推理的解题思路与根本方法：列表、假设、比照分析、数论分析法等2. 培养学生的逻辑推理能力，掌握解不同题型的突破口3. 能够利用所学的数论等知识解复杂的逻辑推理题知识点拨逻辑推理作为数学思维中重要的一局部，经常出现在各种数学竞赛中，除此以外，逻辑推理还经常作为专项的容出现在各类选拔考试，甚至是面向成年人的考试当中。对于学生学习数学来说，逻辑推理既有趣又可以开发智力，学生自主学习研究性比拟高。本讲我们主要从各个角度总结逻辑推理的解题方法。一列表推理法逻辑推理问题的显著特点是层次多，条件纵横交织.如何从较繁杂的信息中选准突破口，层层剖析，一步步向结论靠近，是解决问题的关键.因此在推理过程中，我们也常常采用列表的方式，把错综复杂的约束条件用符号和图形表示出来，这样可以借助几何直观，把令人眼花缭乱的条件变得一目了然，答案也就容易找到了.二、假设推理用假设法解逻辑推理问题，就是根据题目的几种可能情况，逐一假设如果推出矛盾，那么假设不成立；如果推不出矛盾，而是符合题意，那么假设成立解题突破口：找题目所给的矛盾点进展假设三、体育比赛中的数学对于体育比赛形式的逻辑推理题，注意“一队的胜、负、平必然对应着“另一队的负、胜、平。有时综合性的逻辑推理题需要将比赛情况用点以与连接这些点的线来表示，从整体考虑，通过数量比拟、整数分解等方式寻找解题的突破口。四、计算中的逻辑推理 能够利用数论等知识通过计算解决逻辑推理题.例题精讲模块一、列表推理法【例 1】 刚、马辉、强三个男孩各有一个妹妹，六个人进展乒乓球混合双打比赛事先规定：兄妹二人不许搭伴第一盘：刚和小丽对强和小英；第二盘：强和小红对刚和马辉的妹妹问：三个男孩的妹妹分别是谁？【解析】 因为兄妹二人不许搭伴，所以题目条件明确：刚与小丽、强与小英、强与小红都不是兄妹由第二盘看出，小红不是马辉的妹妹将这些关系画在左下表中，由左下表可得右下表刚与小红、马辉与小英、强与小丽分别是兄妹【巩固】 王文、贝、丽分别是跳伞、田径、游泳运动员，现在知道：贝从未上过天；跳伞运动员已得过两块金牌；丽还未得过第一名，她与田径运动员同年出生.请根据上述情况判断王文、贝、丽各是什么运动员？【解析】 为了能清楚地找到所给条件之间的关系，我们不妨运用列表法，列出下表，在表中“表示是，“表示不是，在任意一行或一列中，如果一格是“，可推出其它两格是“由可知贝、丽都不是跳伞运动员，可填出第一行，即王文是跳伞运动员；由可知，丽也不是田径运动员，可填出第三列，即丽是游泳运动员，如此贝是田径运动员【巩固】 波、顾锋、英三位教师共同担负六年级某班的语文、数学、政治、体育、音乐和图画六门课的教学，每人教两门现知道： 顾锋最年轻； 波喜欢与体育教师、数学教师交谈； 体育教师和图画教师都比政治教师年龄大； 顾锋、音乐教师、语文教师经常一起去游泳； 英与语文教师是邻居问：各人分别教哪两门课程？【解析】 波教语文、图画，顾锋教数学、政治，英教音乐、体育由推知顾锋教数学和政治；由推知英教体育；由推知波教图画、语文【巩固】 王平、宋丹、涛三个小学生都是少先队的干部，一个是大队长，一个是中队长，一个是小队长一次数学测验，这三个人的成绩是：涛比大队长的成绩好王平和中队长的成绩不一样中队长比宋丹的成绩差请你根据这三个人的成绩，判断一下，谁是大队长呢？【解析】 根据条件和，王平和中队长的成绩不一样，中队长比宋丹的成绩差，可以断定，王平不是中队长，宋丹也不是中队长，只有涛当中队长了王平和宋丹两人谁是大队长呢？由和，涛比大队长的成绩好，中队长比宋丹的成绩差，可以推断出按成绩上下排列的话，宋丹的成绩比中队长涛的成绩好，涛的成绩比大队长的成绩好这样，宋丹、涛就都不是大队长，那么，大队长肯定是王平 【例 2】 明、席辉和刚在、和工作，他们的职业是工人、农民和教师，：明不在工作，席辉不在工作；在工作的不是教师；在工作的是工人；席辉不是农民问：这三人各住哪里？各是什么职业？【解析】 这道题的关系要复杂一些，要求我们通过推理，弄清人物、工作地点、职业三者之间的关系三者的关系需要两两构造三个表，即人物与地点，人物与职业，地点与职业三个表 我们先将题目条件中所给出的关系用下面的表来表示，由条件得到表，由条件、得到表，由条件得到表 因为各表中，每行每列只能有一个“，所以表可填全为表由表知农民在工作，又知席辉不是农民，所以席辉不在工作，可以将表可填全完为表由表和表知得到：明住在，是工人；席辉住在，是教师；刚住在，是农民方法二：由题目条件可知：席辉不在工作，而在工作的是工人，所以席辉不是工人，又不是农民，那么席辉只能是教师，不在工作，就只能是在工作，那么明在工作，是工人。刚在，是农民。【巩固】 甲、乙、丙三人，他们的籍贯分别是、某某、，他们的职业分别是教师、工人、演员：甲不是人，乙不是某某人；人不是演员，某某人是教师；乙不是工人求这三人各自的籍贯和职业【解析】 由题意可画出下面三个表： 将表补全为表由表知，工人是人，而乙不是工人，所以乙不是人，由此可将表补全为表 所以，甲是某某人，职业是教师；乙是人，职业是演员；丙是人，职业是工人方法二：将能判断的条件先列入图表中，某某人是教师，但是乙不是某某人，所以乙不是教师，乙又不是工人，所以乙为演员。在对应的地方打上“，对应的行列均打“。但是人不是演员，所以乙不是人，乙就是人，所以甲是某某人，职业是教师；乙是人，职业是演员；丙是人，职业是工人。【巩固】 小明、小芳、小花各爱好游泳、羽毛球、乒乓球中的一项，并分别在一小、二小、三小中的一所小学上学。现知道：1小明不在一小；2小芳不在二小3爱好乒乓球的不在三小；4爱好游泳的在一小；5爱好游泳的不是小芳。问：三人上各爱好什么运动？各上哪所小学？【解析】 这道题比上例复杂，因为要判断人、学校和爱好三个容。先将题目条件中给出的关系用下面的表1、表2、表3表示：因为各表中，每行每列只能有一个“，所以表3可补全为表4。由表4、表2知道，爱好游泳的在一小，小芳不爱游泳，所以小芳不在一小。于是可将表1补全为表5。对照表5和表4，得到：小明在二小上学，爱好打乒乓球；小芳在三小上学，爱好打羽毛球；小花在一小上学，爱好游泳。【巩固】 小王、小和小一位是工人，一位是农民，一位是教师，现在只知道：小比教师年龄大；小王与农民不同岁；农民比小年龄小。问：谁是工人？谁是农民？谁是教师？【解析】 这道题目并不难，聪明的小朋友思考一下就能得到答案，但是今天我们通过这道题目一起来学习一个十分有用的方法：列表分析法。由题目条件可以知道：小不是教师，小王不是农民，小不是农民。由此得到左下表。表格中打“表示肯定，打“表示否认。因为左上表中，任一行、任一列只能有一个“，其余是“，所以小是农民，于是得到右上表。因为农民小比小年龄小，又小比教师年龄大，所以小比教师年龄大，即小不是教师。因此得到左下表，从而得到右下表，即小是工人，小是农民，小王是教师。例题中采用列表法，使得各种关系更明确。为了讲解清楚，例题中画了几个表，实际解题时，不用画这么多表，只在一个表中先后画出各种关系即可。需要注意的是：第一步应将题目条件给出的关系画在表上，然后再依次将分析推理出的关系画在表上；每行每列只能有一个“，如果出现了一个“，它所在的行和列的其余格中都应画“。【例 3】 甲、乙、丙、丁四个人的职业分别是教师、医生、律师、警察：教师不知道甲的职业；医生曾给乙治过病；律师是丙的法律顾问经常见面；丁不是律师；乙和丙从未见过面那么甲、乙、丙、丁的职业依次是：【解析】 律师、教师、警察由可以知道丙不是律师，但是他见过律师，再由知乙不是律师，又由可知甲是律师于是由和知丙不是教师，由和知丙不是医生，从而丙是警察再由知乙是教师，丁是医生列表如下列表的好处在于直观明了，不会犯错误：【巩固】 徐、王、四位师傅分别是工厂的木工、车工、电工和钳工，他们都是象棋迷。1电工只和车工下棋；2王、两位师傅经常与木工下棋；3徐师傅与电工下棋互有胜负；4师傅比钳工下得好。问：徐、王、四位师傅各从事什么工种？【解析】 徐是车工，王是钳工，是木工，是电工。【巩固】 甲、乙、丙三个小学生都是少先队的干部，一个是大队长，一个是中队长，一个是小队长一次数学测验，这三个人的成绩是：丙比大队长的成绩好甲和中队长的成绩不一样中队长比乙的成绩差请你根据这三个人的成绩，判断一下，谁是大队长呢？【解析】 根据条件和，甲和中队长的成绩不一样，中队长比乙的成绩差，可以断定，甲不是中队长，乙也不是中队长，只有丙是中队长了也可以列表确定中队长甲和乙两人谁是大队长呢？由和，丙比大队长的成绩好，中队长比乙的成绩差，可以推断出按成绩上下排列的话，乙的成绩比中队长丙的成绩好，丙的成绩比大队长的成绩好这样，乙、丙就都不是大队长，那么，大队长肯定是甲【巩固】 甲、乙、丙、丁在谈论他们与他们的同学何伟的居住地甲说：“我和乙都住在，丙住在乙说：“我和丁都住在，丙住在丙说：“我和甲都不住在，何伟住在丁说：“甲和乙都住在，我住在假定他们每个人都说了两句真话，一句假话问：不在场的何伟住在哪儿？【解析】 因为甲、乙都说“丙住在，我们可以假设这句话是假话，那么甲、乙的前两句应当都是真话，推出乙既住在又住在，矛盾所以假设不成立，即“丙住在是真话因为甲的前两句话中有一句假话，而甲、丁两人的前两句话一样，所以丁的第三句话“我住在是真的由此知乙的第二句话“丁住在是假话，第一句“我住在是真话；进而推知甲的第二句是假话，第一句“我住在是真话；最后推知丙的第二句话是假话，第三句“何伟住在是真话所以，何伟住在【巩固】 ，分别是中国、日本、美国和法国人.：和中国人是医生；和法国人是教师；和日本人职业不同；不会看病.问：，各是哪国人，【解析】 有可知，、都不是中国人和法国人，再由知，也不是中国人，所以，是中国人，由，日本人也是教师，从而推知，是法国人，得下表：最后由是中国人与，推知日本人是教师，再由知是日本人.【巩固】 根据条件判断旅游团去了、中的哪几个地方？如果去，就必须去；、两地至少去一地；、两地只能去一地；、两地要去都去，要不去都不去；假设去，如此、两地必须去.【解析】 从入手，分别假设去或：假设去如此不能去，也不能去，只能去.必须去、，与不能去假设去：必去，需去，必须去、，去必须去，与、不能同去矛盾，所以不能去综上只能去、.【例 4】 甲、乙、丙、丁每人只会中、英、法、日四种语言中的两种，其中有一种语言只有一人会说他们在一起交谈可有趣啦：乙不会说英语，当甲与丙交谈时，却请他当翻译；甲会日语，丁不会日语，但他们却能相互交谈；乙、丙、丁找不到三人都会的语言；没有人同时会日、法两种语言请问：甲、乙、丙、丁各会哪两种语言？【解析】 由可得下表，其中丙不会日语是因为甲会日语，且甲与丙交谈需要翻译由下表看出，甲会的另一种语言不是中文就是英语先假设甲会说中文由知，丁也会中文；由知丙不会中文，再由每人会两种语言，知丙会英、法语见左下表：由推知乙会中文和法语；再由与每人会两种语言，推知丁会英语见右下表结果符合题意再假设甲会说英语由知，丁也会英语；由知丙不会英语，再由每人会两种语言，知丙会中文和法语见左下表；由 推知，乙会中文和日语；再由与每人会两种语言，推知丁会法语见右下表右下表与“有一种语言只有一人会说矛盾假设不成立所以甲会中、日语，乙会中、法语，丙会英、法语，丁会中、英语【巩固】 宝宝、贝贝、聪聪每人有两个外号，人们有时以“数学博士、“短跑健将、“跳高冠军、“小画家、“大作家和“歌唱家称呼他们，此外：数学博士夸跳高冠军跳的高跳高冠军和大作家常与宝宝一起看电影短跑健将请小画家画贺年卡数学博士和小画家关系很好贝贝向大作家借过书聪聪下象棋常赢贝贝和小画家问：宝宝、贝贝、聪聪各有哪两个外号吗？【解析】 由知，宝宝不是跳高冠军和大作家；由 知，贝贝不是大作家；由知，贝贝、聪聪都不是小画家，可以得到下表：因为宝宝是小画家，所以由知宝宝不是短跑健将和数学博士，推知宝宝是歌唱家，因为聪聪是大作家，所以由知聪聪不是跳高冠军，推知贝贝是跳高冠军，因为贝贝是跳高冠军，所以由知贝贝不是数学博士，将上面结论依次填入上表，得到下表：所以，宝宝是小画家和歌唱家，贝贝是短跑健将和跳高冠军，聪聪是数学博士和大作家【例 5】 年省“创新杯初赛六年级四个班进展数学竞赛，小明猜想比赛的结果是：班第一名，班第二名，班第三名， 班第四名小华猜想比赛的结果是：班第一名，班第二名，班第三名，班第四名结果只有小华猜到的班为第二名是正确的那么这次竞赛的名次是班第一名，班第二名，班第三名，班第四名。【解析】 方法一：依题意，班不为第一名也不为第三名，那么班为第四名同样，班不为第二名也不为第一名，那么班为第三名班不为第三名也不为第四名，那么班为第一名故第一名到第四名依次为班，班，班，班方法二：我们可以将两人的猜想结果列成表格形式，将小明猜想结果用“表示，小华猜想结果用“表示，列表如下：由题意知只有小华猜到的班为第二名正确，其他的全是错误的，所以很容易确定各班名次打的即为正确的名次方法二：题目中只有小华猜到4班为第二名是正确的，那么其他的猜想均为错误的。在其对应的地方打“，正确的如此打“。【巩固】 甲、乙、丙、丁、戊五名同学参加推铅球比赛，通过抽签决定出赛顺序在未公布顺序前每人都对出赛顺序进展了猜想甲猜：乙第三，丙第五乙猜：戊第四，丁第五丙猜：甲第一，戊第四丁猜：丙第一，乙第二戊猜：甲第三，丁第四教师说每人的出赛顺序都至少被一人所猜中，如此出赛顺序中，第一是_；第三是_【解析】 题中每个人都猜了另外两个人的出场顺序，每个人的出场顺序也都被另外两个人猜过，其中戊被乙和丙猜的都是第四，由于每人的出赛顺序都至少被一人所猜中，所以戊是第四否如此戊的出赛顺序没有人猜中，以此为突破口。由于戊是第四，如此在第四列其余地方均打“如此丁不能第四，所以丁的出赛顺序被乙猜中，为第五，如此丙不能是第五，丙只能是第一，甲不能是第一，故甲是第三，乙是第二，所以答案为：第一是丙，第三是甲【例 6】 红、黄、蓝、白、紫五种颜色的珠子各一颗，分别用纸包着，在桌子上排成一行，有、五个人，猜各包珠子的颜色，每人只猜两包猜：第二包是紫的，第三包是黄的；猜：第二包是蓝的，第四包是红的；猜：第一包是红的，第五包是白的；猜：第三包是蓝的，第四包是白的；猜：第二包是黄的，第五包是紫的猜完后，打开各纸包一看发现每人都只猜对了一包，并且每包只有一人猜对请你判断他们各猜对了其中的哪一包？【解析】 方法一：题目要求、五个人在猜每包珠子的颜色时每人只猜两包且每人都只猜对了一包每包只有一人猜对，所以观察五包珠子中第一包只有猜，所以猜对了第一包，又根据每人只猜对了一种，所以猜第五包是白的，猜错了；第五包只有、两人猜，所以猜第五包是紫的，猜对了；那么猜第二包是黄的，猜错了；紫颜色的珠子，只有、两人猜，那么猜第二包是紫的，猜错了；第二包有，三人猜，其中，都猜错了，所以猜第二包是蓝的，猜对了；那么猜第四包是红的，猜错了；所以猜对的是第四包，是白的猜第三包是蓝的，也猜错了；所以猜对的是第三包，是黄的；总结以上推理判断，猜对了第三包是黄的，猜对了第二包是蓝的，猜对了第一包是红的，猜对了第四包是白的，猜对了第五包是紫的方法二：分析同方法一，第一包只有一人猜对，所以第一包为红色，在第一行的其余地方打上“第四包不为红色，第四包为白色，白色不能为第五包，第五包就为紫色，同理可知其余各包颜色。【巩固】 五封信，信封完全一样，里面分别夹着红、蓝、黄、白、紫五种颜色的卡片现在把它们按顺序排成一行，让、五人猜每只信封所装卡片的颜色猜：第2封是紫色，第3封是黄色；猜：第2封是蓝色，第4封是红色；猜：第1封是红色，第5封是白色；猜：第3封是蓝色，第4封是白色；猜：第2封是黄色，第5封是紫色然后，拆开信封一看，每人都猜对一种颜色，而且每封都有一人猜中请你根据这些条件，再猜猜，每封信中夹什么颜色的卡片？【解析】 把条件简明地记录在表格中选择其中一只信封作为“突破口比如第3封，猜的是黄色，猜的却是蓝色由条件，这只信封的卡片不是蓝色，就是黄色假设第3封是蓝色，那么逐步推理可导出矛盾：白色卡片没人猜对这说明假设不正确，第3封应是黄色由此推出其它各封的颜色【巩固】 2008年“数学解题能力展示读者评选活动教师在3个小箱中各放一个彩色球，让小明、小强、小亮、小佳四人猜一下各个箱子中放了什么颜色的球小明说：“号箱中放的是黄色的，号箱中放的是黑色的，号箱中放的是红色的小亮说：“号箱中放的是橙色的，号箱中放的是黑色的，号箱中放的是绿色的小强说：“号箱中放的是紫色的，号箱中放的是黄色的，号箱中放的是蓝色的小佳说：“号箱中放的是橙色的，号箱中放的是绿色的，号箱中放的是紫色的教师说：“你们中有一个人恰好猜对了两个，其余的三人都只猜对一个那么号箱子中放的是_色的球【解析】 由于猜中的总次数为次，所以有一个箱子至少被猜中了次以上，从而这个箱子只能是号箱，推理得出只能是小亮对了次，其他人只对一次，所以号箱只能是橙色的，那么号箱的颜色是蓝色的【巩固】 四卡片上分别写着奥、林、匹、克四个字一上写一个字，取出三字朝下放在桌上，、三人分别猜每卡片上是什么字，猜的情况见下表：结果，有一人一也没猜中，一人猜中两，另一人猜中三.问：这三卡片上各写着什么字【解析】 、有两猜的一样，必有一人全对，一人对两，因此，全错，推知全对.【例 7】 教师让小新把小胖、小贝、小丸子、小淘气、小马虎的作业本带回去，小新见到这五人后就一人给了一本，结果全发错了现在知道：小胖拿的不是小贝的，也不是小淘气的；小贝拿的不是小丸子的，也不是小淘气的；小丸子拿的不是小贝的，也不是小马虎的；小淘气拿的不是小丸子的，也不是小马虎的；小马虎拿的不是小淘气的，也不是小胖的另外，没有两人相互拿错(例如小胖拿小贝的，小贝拿小胖的)问：小丸子拿的是谁的本？小丸子的本被谁拿走了？【解析】 根据“全发错了与条件，可以得到下表：由表1看出，小淘气的本被小丸子拿了此时，再继续推理分析不大好下手，我们可用假设法由上表知，小胖拿的本不是小丸子的就是小马虎的先假设小胖拿了小丸子的本于是得到下表，表中小贝拿小马虎的本，小马虎拿小贝的本两人相互拿错，不合题意再假设小胖拿小马虎的本于是又可得表，经检验，下表符合题意所以小丸子拿了小淘气的本，小丸子的本被小马虎拿去了模块二、假设推理【例 8】 甲、乙、丙三人，一个总说谎，一个从不说谎，一个有时说谎有一次谈到他们的职业甲说：“我是油漆匠，乙是钢琴师，丙是建筑师乙说：“我是医生，丙是警察，你如果问甲，甲会说他是油漆匠丙说：“乙是钢琴师，甲是建筑师，我是警察你知道谁总说谎吗？【解析】 甲如果甲从不说谎，那么乙的最后一句、丙的第一句都对，没有总说谎的人，矛盾；同理，如果丙从不说谎，也将推出矛盾【巩固】 在神话王国，居民不是骑士就是骗子，骑士不说谎，骗子永远说谎，有一天国王遇到该国的居民小白、小黑、小蓝，小白说：“小蓝是骑士，小黑是骗子，小蓝说：“小白和我不同，一个是骑士，一个是骗子国王很快判断出谁是骑士，谁是骗子你能判断出吗？【解析】 假设小白是骑士说实话，如此小蓝是骑士，小黑是骗子；又因为小蓝是骑士，那么小白、小蓝不同，一个是骑士，一个是骗子，与小白、小蓝均为骑士矛盾假设小白是骗子说假话，那么小蓝是骗子，小黑是骑士，又因为小蓝是骗子，所以小白、小蓝不同是假话因此，小白、小蓝是骗子，小黑是骑士.【巩固】 一个骗子和一个老实人一路同行，骗子总是讲假话，老实人总是讲真话请提一个尽量简单的问题，使两人的回答一样这个问题可以是 .【解析】 这个问题可以是：你是老实人吗?如果问的问题是客观的，也就是说对于这两个人来说真正的答案是一样的话，那么他们的回答肯定不一样所以要问一个与他们自身相关的问题，例如你是老实人吗?或者问你是骗子吗?这样他们的回答才会一样【巩固】 甲说：“乙和丙都说谎。乙说：“甲和丙都说谎。丙说：“甲和乙都说谎。根据三人所说，你判断一下，下面的结论哪一个正确：1三人都说谎；2三人都不说谎；3三人中只有一人说谎；4三人中只有一人不说谎。【解析】 4正确。【例 9】 某地质学院的学生对一种矿石进展观察和鉴别。甲判断：不是铁，也不是铜。乙判断：不是铁，而是锡。丙判断：不是锡，而是铁。经化验证明：有一个人的判断完全正确，有一个人说对了一半，而另一个人完全说错了。你知道三人中谁是对的，谁是错的，谁是只对一半的吗？【解析】 丙全说对了，甲说对了一半，乙全说错了。先假设甲全对，推出矛盾后，再设乙全对，又推出矛盾，如此说明丙全对，甲说对了一半，乙全说错了。【巩固】 三只小猴子聪聪、淘淘、皮皮见到一个水果，他们分别判断这是什么水果：聪聪判断：不是苹果，也不是梨淘淘判断：不是苹果，而是桃子皮皮判断：不是桃子，而是苹果老猴子告诉他们：有一只小猴子的判断完全正确，有一只小猴子说对了一半，而另一只小猴子完全说错了你知道三只小猴中谁是对的，谁是错的，谁是只对一半的吗？【解析】 先设聪聪全对，不是苹果，也不是梨只能是桃子，那么淘淘两句也都说对了，推出矛盾；再设淘淘全对，不是苹果，而是桃子，推出这个水果是桃子，那么聪聪说的也都对了，又推出矛盾；如此说明皮皮全对，那么这种水果是苹果，聪聪说对了一半，淘淘全说错了【例 10】 年福布斯迎奥运数学展示活动名运动员参加一项比赛，赛前，甲说：“我肯定是最后一名乙说：“我不可能是第一名，也不可能是最后一名丙说：“我绝对不会得最后一名丁说：“我肯定得第一名赛后，发现他们人的预测中只有一人是错误的请问谁的预测是错误的？【解析】 假设甲的预测是错的，那么其他三人的预测都是对的，那么甲不是最后一名，乙和丙也不是最后一名，丁是第一名，这样的话没有人是最后一名，矛盾所以甲的预测是对的，甲是最后一名，那么丙的预测也是对的如果乙的预测是错的，那么乙是第一名，而丁的预测是对的，丁也是第一名，矛盾所以乙的预测是对的，丁的预测是错的【巩固】 甲、乙、丙、丁在比拟他们的身高，甲说：“我最高乙说：“我不最矮丙说：“我没甲高，但还有人比我矮丁说：“我最矮实际测量的结果明确，只有一人说错了请将他们按身高次序从高到矮排列出来【解析】 丁不可能说错，否如此就没有人最矮了由此知乙没有说错假设甲也没有说错，如此没有人说错，矛盾所以只有甲一人说错所以丁是最矮的，甲不是最高的，丙没甲高，但还有人比他矮，那么只能是甲第二高，丙第三高，乙最高所以他们的身高次序为乙、甲、丙、丁【巩固】 年第七届希望杯一试试题百米决赛前，小芳对参赛的五名选手的名次作了预测，比赛的结果同她预测的名次全不一样由如如下图知小芳预测为第一名的选手的实际名次是第名【解析】 假设小芳预测第一名、第二名、第三名、第四名、第五名对应的人分别是甲、乙、丙、丁、戊，由小芳说的话知第四名丁就是实际名次的第一名, 预测的第二名乙就是实际名次的第三名, 预测的第三名丙就是实际名次的第二名,因此实际的第一名、第二名、第三名的人分别是丁、丙、乙，又知道比赛的结果同她预测的名次全不一样,所以小芳预测的第五名戊只能是实际的第四名了，这样实际名次的第五名只能是小芳预测的第一名甲了.如下表所述【例 11】 年第一届小学数学世界邀请赛在期末考试前，学生、分别预测他们的成绩是、或，评分标准是比 好，比好，比好说：“我们的成绩都将不一样假设我的成绩得，如此将得说：“假设的成绩得，如此将得的成绩将比好说：“假设的成绩不是得到，如此将得假设我的成绩得到，如此的成绩将不是说：“假设的成绩得到，如此我将得到假设的成绩不是得到，如此我也将不会得到当期末考试的成绩公布，每位学生所得到的成绩都完全符合他们的预测请问这四位学生的成绩分别是什么？【解析】 由于每位学生所得到的成绩都完全符合他们的预测，所以说：“的成绩将比好是正确的，这样将不可能得，不可能得这样不可能得否如此得如果得，那么将得由于的成绩不是得到，那么将得，这与得矛盾所以不得如果得，那么将得到但这样的成绩将不可能比好，矛盾所以不得由于、均不得，那么只有得如果得，那么的成绩将不是这样的成绩将是，的成绩将是，矛盾所以不得由于不得、，所以得由于的成绩比好，所以剩下的和只能是得，得所以、的成绩分别是、【巩固】 一位法官在审理一起盗窃案中，对涉与到的四名嫌疑犯甲、乙、丙、丁进展了审问四人分别供述如下： 甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中 乙说：“我没有作案，是丙偷的 丙说：“在甲和丁中间有一人是罪犯 丁说：“乙说的是事实经过充分的调查，证实这四人中有两人说了真话，另外两人说的是假话同学们，请你做一名公正的法官，对此案进展裁决，确认谁是罪犯？【解析】 如果甲说的是假话，那么剩下三人中有一人说的也是假话，另外两人说的是真话可是乙和丁两人的观点一致，所以在剩下的三人中只能是丙说了假话，乙和丁说的都是真话即“丙是盗窃犯这样一来，甲说的也是对的，不是假话这样，前后就产生了矛盾所以甲说的不可能是假话，只能是真话同理，剩下的三人中只能是丙说真话乙和丁说的是假话，即丙不是罪犯，乙是罪犯又由甲所述为真话，即甲不是罪犯再由丙所述为真话，即丁是罪犯所以乙和丁是盗窃犯【巩固】 四个小朋友宝宝、星星、强强和乐乐在院子里踢足球，一阵响声，惊动了正在读书的陆教师，陆教师跑出来查看，发现一块窗户玻璃被打破了。陆教师问：“是谁打破了玻璃？宝宝说：“是星星无意打破的。星星说：“是乐乐打破的。乐乐说：“星星说谎。强强说：“反正不是我打破的。如果只有一个孩子说了实话，那么这个孩子是谁？是谁打破了玻璃？【解析】 因为星星和乐乐说的正好相反，所以必是一对一错，我们可以逐一假设检验。 假设星星说得对，即玻璃窗是乐乐打破的，那么强强也说对了，这与“只有一个孩子说了实话矛盾，所以星星说错了。 假设乐乐说对了，按题意其他孩子就都说错了。由强强说错了，推知玻璃是强强打破的。宝宝、星星确实都说错了。符合题意。 所以是强强打破了玻璃。【巩固】 年春明心奥数挑战赛名谋杀案的嫌疑人，在犯罪现场被警察询问，其中有一名是凶手下面个人的供述中，只有 句是对的：说：是杀人犯；说：我是无辜的；说：不是杀人犯；说：在说谎；说：说的是实话在这个人中，是凶手【解析】 与判断一样，要么都对，要么都错假设与都错，即凶手是，那么也错，就出现了句错的，与“有句是对的矛盾所以与都是对的余下的人中还有人判断是对的，由于与互相矛盾，所以这两个人中必有一个是对的，一个是错的，由于只有句是对的，那么必定是错的，所以是凶手【巩固】 (年第十二届保良局小学数学世界邀请赛个人赛)三位女孩、进展百米赛跑，裁判、在赛前猜想她们之间的名次。说：“我猜是第一名。说：“我猜不会是最后一名。说：“我猜不会是第一名。成绩揭晓后恰只有一位裁判的猜想是正确的，请问哪位女孩得第一名？【解析】 假设是第一名，那么猜想正确，猜想正确，出现矛盾。假设是第一名，那么与猜想错误，而当为第二名时，猜想正确。假设为第一名，那么、猜想正确，出现矛盾，所以第一名是。【巩固】 小强、小明、小勇三人参加数学竞赛，他们分别来自甲、乙、丙三个学校，并分别获得一、二、三等奖：小强不是甲校选手；小明不是乙校选手；甲校的选手不是一等奖；乙校的选手得二等奖；小明不是三等奖根据上述情况，可判断出小勇是校的选手，他得的是等奖【解析】 甲校；三等奖由、小明得的不是二等奖，由知小明得的不是三等奖，所以小明得的是-等奖，由、知小明是丙校的，由知小强是乙校的，所以小勇是甲校的，他得的是三等奖【巩固】 甲，乙，丙，丁四个同学中有两个同学在假日为街道做好事，班主任把这四人找来了解情况，四人分别回答如下甲：“丙、丁两人中有人做了好事乙：“丙做了好事，我没做丙：“甲、丁中只有一人做了好事丁：“乙说的是事实最后通过仔细分析调查，发现四人中有两人说的是事实，另两人说的与事实有出入到底是谁做了好事？【解析】 我们用假设法来解决题目说四人中有两人说的是事实，另两人说的与事实有出入注意，此处的“与事实有出入表示不完全与事实相符，比如，当乙、丙都做了好事，或乙、丙都没做好事，或乙做了好事而丙没做好事时，乙说的话都与事实有出入 因为乙与丁说的是一样的，所以只有两种可能，要么乙与丁正确，甲与丙错；要么乙与丁错，甲与丙正确假设乙与丁说的话正确这时丙做了好事，甲说丙、丁两人中有人做了好事，甲说的话也正确，这与题目条件只有“两人说的是事实相矛盾所以假设错误假设甲与丙说的话正确那么做好事的是甲与丙，或乙与丁，或丙与丁假设做好事的是甲与丙，或丙与丁，如此乙说的话也正确，与题意不符；假设做好事的是乙与丁，如此乙说的话与事实不符，符合题意综上所述，做好事的是乙与丁【例 12】 甲、乙、丙、丁四人同时参加全国小学数学夏令营。赛前甲、乙、丙分别做了预测。甲说：“丙第名，我第名。乙说：“我第名，丁第名。丙说：“丁第名，我第 名。成绩揭晓后，发现他们每人只说对了一半，你能说出他们的名次吗？【解析】 我们以“他们每人只说对了一半作为前提，进展逻辑推理。 假设甲说的第一句话“丙第名是对的，第二句话“我第名是错的。由此推知乙说的“我第名是错的，“丁第名是对的；丙说的“丁第名是错的，“丙第名是对的。这与假设“丙第名是对的矛盾，所以假设不成立。 再假设甲的第二句话“我第名是对的，那么丙说的第二句“我第名是错的，从而丙说的第一句话“丁第名是对的；由此推出乙说的“丁第名是错的，“我第名是对的。至此可以排知名次顺序：乙第名、丁第名、甲第名、丙第名。【巩固】 编号分别为1，2，3，4的四位同学参加了学校的110米栏比赛，获得了全校的前四名，1号同学说：“3号比我先到达终点.得第三名的同学说：“1号不是第四名.而另一位同学说：“我们的与我们所得的名次都不一样.聪明的同学们，你们能说出这四位同学各自所得到的名次吗？【解析】 从得第三名同学的话中可以推知：1号不是第三名，也不是第四名；而1号同学又说“3号比我先到终点，这说明1号同学不是第一名，这样我们可以得知1号同学是第二名，于是3号同学是第一名， 而另一位同学说：“我们的与我们所得的名次都不一样.，这样4号不是第四名，只能是第三名，所以获得第四名的同学是2号.【巩固】 在一次数学竞赛中，五位同学分别得了前五名没有并列同一名次的，关于各人的名次大家作出了下面的猜想：说：“第二名是，第三名是说：“第二名是，第四名是说：“第一名是，第五名是说：“第三名是，第四名是说：“第二名是，第五名是结果每人都只猜对了一半，他们的名次如何？【解析】 假设猜的第一句是真的，那么猜的第二句是真的，即第四名是，那么猜的“是第一名是错的，是第五名，那么猜的是第三名是对的，那么就是第一名，从而说的全是错的，所以假设不成立所以猜的第二句是真的，即是第三名，那么猜的第一句是错的，从而是第四名，所以猜的第二句是错的，是第一名，从而猜的是第二名是对的，猜的第五名是正确，所以，第一名是，第二名是，第三名是，第四名是，第五名是【例 13】 传说有个说谎国，这个国家的男人在星期四、五、六、日说真话，在星期一、二、三说假话；女人在星期一、二、三、日说真话，在星期四、五、六说假话有一天，一个人到说谎国去旅游，他在那里认识了一男一女男人说：“昨天我说的是假话，女人说：“昨天也是我说假话的日子这下，那个外来的游人可发愁了，到底今天星期几呢？请同学们根据他们说的话，判断一下今天是星期几呢？【解析】 假设男人今天说的是真话，那么今天是星期四、五、六、日其中的一天，而且今天的前一天男人说的是假话，所以，根据男人的话，确定今天是星期四，所以女人说的话是假话，昨天也就是星期三女人说的是真话，符合题意，所以，今天是星期四.【巩固】 从A，B，C，D，E，F六种产品中挑选出局部产品去参加博览会。根据挑选规如此，参展产品满足如下要求：1A，B两种产品中至少选一种；2A，D两种产品不能同时入选；3A，E，F三种产品中要选两种；4B，C两种产品都入选或都不能入选；5C，D两种产品中选一种；6假设D种产品不入选，如此E种也不能入选。问：哪几种产品被选中参展？【解析】 用假设法。从条件1开始，有三种情况：假设选A不B选，由2知D不能入选，再由5知C入选，再由4推知C，B同时入选，与前面假设不选B矛盾。假设不成立。假设选B不选A，由3知选E，F，由6知D入选，再由5知C不入选，再由4推知B，C都不入选，与假设选B矛盾。假设不成立。假设A，B都入选，由2知D不入选，由6知E也不入选，再由3知F入选，由4知C入选。符合题意。因此，A，B，C，F选中参展。【例 14】 三年级一班新转来三名学生，班主任问他们三人的年龄强说：“我12岁，比红小2岁，比丽大1岁红说：“我不是年龄最小的，丽和我差3岁，丽是15岁丽说：“我比强年岁小，强13岁，红比强大3岁这三位学生在他们每人说的三句话中，都有一句是错的请你帮助班主任分析出他们三人各是多少岁？【解析】 经过审题，仔细分析这九句话，不难发现有两句话是相互矛盾的一句话是强说的第一句话：“我12岁，另一句话是丽说的第二句话：“强13岁这两句话不能都真，必有一句是假的为了确定这两句话的真假性可以先假设某一句为真，如果推不出矛盾，此题就获得了解决；如果推出矛盾，就说明这句话是假的，从而也就找到了突破口先假设强说的第一句话“我12岁为真，那么丽说的第二句话“强13岁就为假，因此丽的另外两句话就应该是真话，从“红比强大3岁就推出红是15岁；又从“我比强年岁小推出丽小于12岁可是这样一来，红说的三句话中，“丽和我差3岁和“丽15岁这两句话都不能成立，这与此题中的要求(“每人说的三句话中，都有一句是错的，即三句话中有两句话是真的)相矛盾因此，强说的“我12岁这句话是假的由于强说的第一句话是假的，所以后两句话就是真的因此，丽说的第三句话“红比强大3岁就是假的，所以，丽说的第二句话“强13岁就是真的于是就可以推出：丽12岁，红15岁，强13岁【例 15】 (2008年日本小学算术奥林匹克大赛决赛)甲和乙做猜数的游戏。首先，甲在纸上写个各位数字都不同的四位数，写好后将纸翻过来。不让乙看到，然后让乙猜这个四位数的各位数字。如果数字和位数都猜对了就是，如果数字对而位数不对就是。例如：甲写的是，乙猜的是，那么就是个，个。请阅读以下对话并回答如下问题： 乙：“我猜，甲：“个，个。乙：“？，甲：“也是个，个。乙：“？，甲：“也是个，个。乙：“呢？，甲：“个。乙：“哇，猜不着呀，呢？甲：“也是个。1：请从以上的对话中答出甲最可能写的个四位数。后来，甲发现自己刚刚的回答中对四位数的判断有误。甲：“对不起，刚刚有搞错的。乙：“啊！那么甲“只是个数字搞错了，在刚刚说到的数字中，只是对的判断有误，正确的回答应该是个，个。乙“稍等一会儿，啊！我知道啦！甲写的四位数是吗？甲：“对啦！你真棒！(2)：请问甲写的这个四位数是什么？【解析】 如下表：由1、4次猜想结果知，2到9中包含了正确数字中的全部四位数字，也即甲写的数字各位都不是0或1；由2、3次猜想结果，同理知甲写的数字各位都不是1或4；再考察第3、4次猜想结果，由于其中的0和4一定是错的，而且两次各猜对了正确数字四位数中的两位，可以先假设甲写的数字各位上没有3，那么甲写的数字各位就是2、5、7、8，那么第5次猜想的结果就应该是0，1或者1，0而非0，2。因此甲写的数字一定有一位是3；再由第5次猜想结果，甲所写的数字各位有且只有6、8、9中的一个；于是由第1次猜想结果，甲所写的数字中一定有一位是5再综合第3、5次猜想结果，知甲所写的数字各位上没有8，而一定有且只有6、9其一根据第2次的猜想结果，甲所写的数字应该有一位是2、7其一。假定第1、3次猜想中位数对的数字是5，那么根据第3、5次的猜想结果可以判断出3在甲所写的数字的个位上于是由第2次猜想结果，2或7一定是数字对而位数不对的，那么6或9一定是数字对且位数对的，于是甲可能写的数字是：6253、2953或7953假定第1、3次猜想中位数对的数字不是5，那么第3次猜想中位数对的数字一定是3，第1次猜想中位数对的数字只能是6而不能是9，于是只能第百位是5，十位是7，这时甲可能写的数字只有3576综上所述，甲可能写的四位数是6253、2953、7953或35762由上述前半局部推理，仍然能判断出甲写的数字各位上一定有3和5，且仍然6、9中有其一，而2、7中有其一。仍然先假设第3次猜想中数字对且位数对的是3，那么第1次猜想中数字对且位数对的只能是6，而不能是5或9。那么由于第1次猜想中5是数字对而位数不对的，如此5只能放在百位，又由于第2次猜想中有一位数字对且位数对，所以只能是十位上为7，这时这个四位数是3576，但这时第4次猜想将没有数字对且位数对的数，与甲的表示不附，因此最开始的假设不成立。那么第3次猜想中数字对且位数对的数只能是5，由第3、5次猜想结果可以推知，3不在千位也不在百位，那么3只能在个位。考虑到第四次猜想中要有一位数字对且位数对，只能是百位上的7，再由第1次猜想的结果推出千位上不能是9而只能是6，于是这个四位数是6753，经过检验可知，这个四位数满足所有五个条件，因此甲写的四位数就是6753。【巩固】 一只皮箱的密码是一个三位数。小光说：“它是954。小明说：“它是358。小亮说：“它是214。小强说：“你们每人都只猜对了位置不同的一个数字。这只皮箱的密码是。【解析】 每个人只猜了位置不同的一个数字，也就是说一样的数字必然不对，“5、4第一位肯定是9，第三位是8，第二位是1，密码就是918。【例 16】 一次数学考试，共六道判断题考生认为正确的就画“，认为错误的就画“记分的方法是：答对一题给2分；不答的给1分；答错的不给分、七人的答案与前六个人的得分记录在表中，请在表中填出的得分并简单说明你的思路【解析】 由于得了9分，说明他只答错了一道题先假定答错的是第1题，这样就有一个标准答案，并由此可分析其他人的得分如出现矛盾，再假定答错的是第2题直到判断出答错的题号为止有了正确的答案，就可以写出的得分假设的第1题答错，那么至少错3道题，一题未答，最多得5分，与得7分矛盾所以第1题答对假设第2题答错，可知最多得3分，矛盾所以第2题答对假设第3题答错，如此最多得3分，矛盾所以第3题答对假设第6题答错，如此最多得3分，矛盾所以第6题答对由于得9分，因此只答错一题，因此第4题答错，于是的第2，4两题对，3，6两题错而得7分，说明的第5题是对的由，两人的答案，可得一标准答案如下表：按此标准评分，与题中所给，得分相符合，所以的第4题确实答错了上表的答案是正确的故可知得8分【巩固】 学校新来了一位教师，五个学生分别听到如下的情况：是一位姓王的中年女教师，教语文课；是一位姓丁的中年男教师，教数学课；是一位姓的青年男教师，教外语课；是一位姓的青年男教师，教数学课；是一位姓王的老年男教师，教外语课他们每人听到的四项情况中各有一项正确问：真实情况如何？【解析】 真实情况是姓的老年女教师，教数学假设是男教师，由、知，他既不是青年、中年，也不是老年，矛盾，所以是女教师再由知，她不教语文，不是中年人假设她教外语，由、知她必是中年人，矛盾，所以她教数学由、知她是老年人，由知她姓【例 17】 有六个大小一样的彩球，三个红，三个白，分别放入三个罐子里，一个罐里放两红球，一个罐里放两白球，另一罐放一红一白然后将写有“两红、“两白、“红白的三个标签贴在三个罐子上，由于粗心，三个标签全贴错了试问此时最少要从罐子中取出几个球，才能确定三个罐分别装的是什么彩球？【解析】 因为所有罐子上的标签都和罐中实物不符，所以在贴有“红白标签的罐子中只能是两红或两白那么只需在“红白罐子中取出一个彩球，假设是红色球，如此可知罐中是两红，那么标有“两白的罐子中就是“一红一白，标有“两红的罐子中就是“两白；假设是白色球，如此可知罐中是“两白，那么标有“两红的罐子中就是“一红一白，而标有“两白的罐子中就是“两红【巩固】 有三个盒子，甲盒装了两个克的砝码，乙盒装了两个克的砝码，丙盒装了一个克、一个克的砝码每只盒子外面所贴的标明砝码重量的标签都是错的聪明的小明只从一个盒子里取出一个砝码，放到天平上称了一下，就把所有标签都改正过来了你知道这是为什么吗？【解析】 其实不用那么麻烦，我们发现“每只盒子外面所贴的标明砝码重量的标签都是错的这句话说明标签的可能只有两种：标注 两个1克 两个2克 一个1克一个两克可能1： 两个2克 一个1克一个两克 两个1克可能2：一个1克一个两克 两个1克 两个2克所以我们可以从标注“一个1克一个两克里面拿一个，如果是“1克的就是上面那种情况，否如此就是下面那种情况模块三、体育比赛中的数学【例 18】 三年级四个班进展足球比赛，每两个班之间都要赛一场，那么每个班要赛几场？一共要进展多少场比赛？ 如果参赛队每两队之间都要赛一场，这种比赛称为单循环赛【解析】 法一题意要求每两个点之间都连一条线段先考虑点(如图)，它与、三点能且只能连接三条线段、；同样，从点也可以连出三条线段、；从点可以连出三条线段、；从点可以连出三条线段、，因此，从一个点可以连三条线段从每个点都连出三条线段，共有四个点(条) 注意到线段既是由点连出的，也是由点连出的，并且每一条线段都是这样(如图)，所以，线段的总数应为：(条)法二从点引出三条线、，为防止重复计数，从点引出的线段只计、两条，由点引出的只有一条因此，线段的总数为(条)通过例题的讲解，对于这个问题，我们就可以很轻松地解决了一共有四个队，每个队都要比赛场，一共有比赛场【点拨】我们可以将上面的问题如下表述：下面的四个点，每两个点之间都连一条线段，那么，从一个点可以连出几条线段？一共可以连多少条线段？【巩固】 市里举行足球联赛，有个区参加比赛，每个区出个代表队每个队都要与其他队赛一场，这些比赛分别在个区的体育场进展，那么平均每个体育场都要举行多少场比赛？【解析】 一共有个队参加比赛，共赛场，平均每个体育场都要举行场比赛【巩固】 二年级六个班进展拔河单循环赛，每个班要进展几场比赛？一共要进展几场比赛？【解析】 每个班要进展场，一共要进展场比赛【巩固】 名羽毛球运动员参加单打比赛，两两配对进展单单循环赛，那么冠军一共要比赛多少场？【解析】 假设名羽毛球运动员中的甲是冠军，那么甲与其他名运动员都赛过了，也就是一共赛了场【巩固】 三年级二班的六名同学进展乒乓球单单循环赛，一共要进展多少场比赛？【解析】 一共有名同学，所以一共要进展场比赛【巩固】 只球队进展淘汰赛，为了决出冠军，需要进展多少场比赛？【解析】 方法一：进进展了场，进进展场，最后决赛是场，因此共进展了场 比赛方法二：每进展一场比赛就淘汰一支球队，最后只剩下冠军了，也就是说淘汰了只球队，因此进展了场比赛【巩固】 有个选手进展乒乓球单循环赛，结果每人获胜局数各不一样，那么冠军胜了几局？【解析】 个选手进展乒乓球单循环赛，每个选手都要参加场比赛，而且每人获胜局数各不一样，所以每人获胜的局数分别为局，那么冠军胜了局【例 19】 2008第四届“IMC国际数学邀请赛新加坡初赛学校进展乒乓球选拔赛，每个参赛选手都要和其他所有选手各赛一场，一共进展了场比赛，有 人参加了选拔赛.【解析】 三个人比赛，可以比赛场；如果四个人比赛，可以比赛 场；如果有五个人比赛，那么可以比赛场；如果有个人比赛，那么可以比赛场，所以答案是【巩固】 区的几个学校举行篮球比赛，每两个学校都要赛一场，共赛了场，那么有几个学校参加了比赛？【解析】 假设有个学校参加比赛，那么就有场比赛，现在共赛了场，那么，也就是有个学校参加了比赛【例 20】 、五位同学一起比赛象棋，每两人都要比赛一盘到现在为止，已经赛盘，赛盘，赛盘，赛盘问：此时同学赛了几盘？【解析】 画个点表示五位同学，两点之间连