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2022年专接本-高等数学考前模拟强化练习题(附答案详解)1. 单选题y=2x3+x+1的拐点为( )问题1选项A.x=0B.(1,1)C.(0,0)D.(0,1)【答案】D【解析】【考点】本题考查一元微分学及其应用-导数的应用-曲线的凹凸性与拐点【解题思路】连续函数凹与凸的分界点称为拐点.求拐点的一般步骤:(1)确定函数f(x)的定义域,(2)求出f (x)=0的点和不存在的点,并以这些点为分界点将定义域分成若干个子区间,(3)讨论f (x)在各个区间上的符号(f (x)0,曲线是凹的,反之曲线是凸的).函数y=2x3+x+1定义域为R,y=6x2+1,y=12x,令y=0,解得x=0,当x0时,y0,当x3+x+1的拐点为(0,1).故本题选D.2. 单选题设f(x)在闭区间0,1上连续,在开区间(0,1)内可导,且f(0)=f(1),则在(0,1)内曲线y=f(x)的所有切线中( )问题1选项A.至少有一条平行于x轴B.至少有一条平行于y轴C.没有一条平行于x轴D.可能有一条平行于y轴【答案】A【解析】【考点】本题考查一元微分学及其应用-微分中值定理及洛必达法则-微分中值定理【解题思路】本题主要是运用罗尔定理.因为f(x)在闭区间0,1上连续,在开区间(0,1)内可导,所以由罗尔定理可得至少存在一点(0,1),使得f ()=0,即至少有一点处的切线的斜率为0,也就是平行于x轴.故本题选A.3. 填空题通解为y=C1e-x+C2e3x(C1,C2为任意常数)的二阶线性常系数齐次微分方程为( ).【答案】【答案】y-2y-3y=0【解析】【解题思路】本题考查常微分方程-二阶常系数线性微分方程-二阶常系数线性齐次微分方程的解法。因为二阶线性常系数齐次微分方程方程通解为y=C1e-x+C2e3x,故其特征方程为(r+1)(r-3)=0r2-2r-3=0,故该方程为y-2y-3y=0。4. 单选题=( )问题1选项A.cosb-cosaB.0C.sinb-sinaD.sina-sinb【答案】B【解析】【考点】本题考查一元函数积分学及其应用-定积分-定积分的有关概念【解题思路】因为定积分的结果是一个确定的常数,对一个常数求导结果为0.故本题选B.5. 单选题已知y=xex,则dy=( )问题1选项A.xexdxB.exdxC.(1+x)exdxD.(ex+x)dx【答案】C【解析】【考点】本题考查一元函数微分学及其应用-函数的微分-微分的运算【解题思路】因为y=ex+xex,所以dy=(ex+xex)dx=(1+x)exdx.故本题选C.6. 单选题可导函数f(x)和g(x)满足g (x)=f (x),则下列选项哪个正确( )问题1选项A.g(x)=f(x)B.( g(x)dx)=( f(x)dx)C.g(x)=f(x)-CD. g(x)dx= f(x)dx【答案】C【解析】【考点】本题考查一元函数积分学及其应用-不定积分-不定积分的性质【解题思路】因为g (x)=f (x),两边积分得g(x)=f(x)-C,再两边积分得 g(x)dx=(f(x)-C)dx= f(x)dx- Cdx= f(x)dx-Cx,再对两边求导得( g(x)dx)=( (f(x)-C)dx)=( f(x)dx)-C.故本题选C.7. 单选题微分方程y+y-2y=xe-x的特解用待定系数法可设为( )问题1选项A.y*=x(ax+b) e-xB.y*=x2(ax+b) e-xC.y*=(ax+b) e-xD.y*=axe-x【答案】C【解析】【解题思路】本题考查常微分方程-二阶常系数线性微分方程-二阶常系数线性非齐次微分方程的解法-f(x)=Pm(x) ex型。该方程所对应齐次方程特征方程为r2+r-2=0,其解为r1=1,r2=-2,因为-1不是特征根,故其特解可设为y*=(ax+b) e-x。故本题选C。8. 单选题方程3x-2sinx=0(-问题1选项A.0B.1C.2D.无数个【答案】B【解析】【考点】本题考查一元微分学及其应用-导数的应用-函数的单调性于极值【解题思路】设f(x)=3x-2sinx,则f (x)=3-2cosx,因为-1cosx1,所以13-2cosx5,因此f (x)0,则f(x)在(-,+)内是单调递增的,又因为f(0)=0,所以函数f(x)在其定义域上只有一个零点,即方程3x-2sinx=0(-x7.02时,C (t)【考点】本题考查一元函数微分学及其应用-导数的应用-函数最值的判定【点拨】实际问题中求最值的方法:(1)根据实际问题建立目标函数,(2)对目标函数在指定的区间内求导,并求驻点、不可导点,(3)求目标函数的极值,通过极值比较获得最值.13. 单选题函数y=x3-3x2+7的极大值是( )问题1选项A.-6B.-7C.7D.6【答案】C【解析】【考点】本题考查一元函数微分学及其应用-导数的应用-函数的单调性与极值-函数极值的判定定理【解题思路】由y=x3-3x2+7y=3x2-6xy=6x-6,令y=3x2-6x=0x1=0,x2=2,而当x=0时,y=-6,当x=2时,y=6,所以该函数在x=0处取得极大值为7.故本题选C.【点拨】设函数在点的某邻域内有定义,如果对于该邻域内的任意一点,有f(x)0),则称f(x0)为f(x)的极大值,其中x0为f(x)的极大值点; f(x)f(x0),则称f(x0)为f(x)的极小值,其中x0为f(x)的极小值点;14. 判断题xyy+xy3-x4y=0的阶数是3.( )问题1选项A.对B.错【答案】B【解析】【考点】本题考查常微分方程-微分方程的基本概念-微分方程的阶【解题思路】微分方程xyy+xy3-x4y=0的未知函数的最高阶导数为y,所以该微分方程的阶数为2.故本题选B.【点拨】微分方程的阶:方程中未知函数的最高阶导数的阶数n叫作该微分方程的阶,同时该方程叫作n阶微分方程.15. 单选题不定积分 f(x) dx的几何意义是( )问题1选项A.一条积分曲线B.曲线上一点的切线C.曲边梯形的面积D.积分曲线的族【答案】D【解析】【考点】本题考查一元函数积分学及其应用-不定积分-不定积分的概念及其性质-不定积分的几何意义【解题思路】 f(x) dx表示所有在x点处切线斜率为f(x)的曲线,所以其几何意义是积分曲线的族.故本题选D.【点拨】设f(x)是定义在区间I上的函数,如果存在可导函数F(x),使得F (x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx,xI,则称函数F(x)为f(x)在区间I上的一个原函数.16. 填空题设函数f(x),g(x)均可微,且同为某函数的原函数,f(1)=3,g(1)=1,则f(x)-g(x)=( ).【答案】【答案】2【解析】【解题思路】本题考查一元函数积分学及其应用-不定积分-不定积分的概念及其性质-原函数。因为f(x),g(x)为同一函数的原函数,故f(x)-g(x)=f(1)-g(1)=3-1=2。17. 单选题若函数f(x)在(a,b)内连续并且二阶可导,且f (x)0,f (x)问题1选项A.单调增加且是上凹的B.单调减少且是上凹的C.单调增加且是上凸的D.单调减少且是上凸的【答案】C【解析】【考点】本题考查一元函数微分学及其应用-导数的应用-曲线的凹凸性与拐点【解题思路】因为函数f(x)在(a,b)内满足f (x)0,所以函数f(x)在(a,b)内单调增加,又f (x)0,则函数在a,b内单调增加;如果在(a,b)内f (x)0,则函数在a,b内单调减少.18. 多选题以下说法正确的是( )问题1选项A.数列xn不能收敛于两个不同的数B.若数列xn有极限,则该数列一定收敛C.连续函数在某点的极限就是函数在该点的函数值D.连续函数y=f(x)的图形是一条连续不断的曲线【答案】A;B;C;D【解析】【考点】本题考查函数、极限与连续-极限-数列极限【解题思路】由数列极限的唯一性知选项A正确;由数列收敛的定义知选项B正确;由函数连续的定义知选项C正确;由函数连续的几何意义知选项D正确.故本题选ABCD.【点拨】数列极限的性质:(唯一性)收敛数列极限必唯一.19. 单选题已知 f(x) dx=3xx3+C,则f(x)=( )问题1选项A.3xx2(x ln3+3)B.3xx3ln3C.3xx2ln3D.3x23x【答案】A【解析】【考点】本题考查一元函数积分学及其应用-不定积分-不定积分的概念及其性质-不定积分的定义【解题思路】因为 f(x) dx=3xx3+C,由不定积分的定义知f(x)=(3xx3)=3xx3ln3+3x23x=3xx2(x ln3+3).故本题选A.【点拨】设f(x)是定义在区间I上的函数,如果存在可导函数F(x),使得F (x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx,xI,则称函数F(x)为f(x)在区间I上的一个原函数.20. 单选题过曲线y=xlnx上M0点的切线平行于直线y=2x+1,则切点M0的坐标是( )问题1选项A.(1,0)B.(e,0)C.(e,1)D.(e,e)【答案】D【解析】【考点】本题考查一元微分学及其应用-导数的概念-导数的几何意义【解题思路】函数y=f(x)在点x0处的导数f (x0)存在,在几何上表明曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处存在切线,切线斜率为f (x0).设M0坐标为(x0,y0),y=lnx+1,因为过曲线y=xlnx上M0点的切线平行于直线y=2x+1,所以y (x_0 )=lnx0+1=2,解得x0=e,所以y0=x0lnx0=e,因此M0坐标为(e,e).故本题选D.
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