初中数学三角函数综合练习题

第 1 页 共 26 页 三角函数综合练习题 一 选择题 共 10 小题 1 如图 在网格中 小正方形的边长均为 1 点 A B C 都在格点上 则 ABC 的正切值 是 A 2 B C D 2 如图 点 D 0 3 O 0 0 C 4 0 在 A 上 BD 是 A 的一条弦 则 sin OBD A B C D 3 如图 在 Rt ABC 中 斜边 AB 的长为 m A 35 则直角边 BC 的长是 A msin35 B mcos35 C D 4 如图 ABC 中 AB AC 4 C 72 D 是 AB 中点 点 E 在 AC 上 DE AB 则 cosA 的 值为 第 2 页 共 26 页 A B C D 5 如图 厂房屋顶人字形 等腰三角形 钢架的跨度 BC 10 米 B 36 则中柱 AD D 为底边中点 的长是 A 5sin36 米 B 5cos36 米 C 5tan36 米 D 10tan36 米 6 一座楼梯的示意图如图所示 BC 是铅垂线 CA 是水平线 BA 与 CA 的夹角为 现要 在楼梯上铺一条地毯 已知 CA 4 米 楼梯宽度 1 米 则地毯的面积至少需要 A 米 2 B 米 2 C 4 米 2 D 4 4tan 米 2 7 如图 热气球的探测器显示 从热气球 A 处看一栋楼顶部 B 处的仰角为 30 看这栋 楼底部 C 处的俯角为 60 热气球 A 处与楼的水平距离为 120m 则这栋楼的高度为 A 160 m B 120 m C 300m D 160 m 8 如图 为了测量某建筑物 MN 的高度 在平地上 A 处测得建筑物顶端 M 的仰角为 30 向 N 点方向前进 16m 到达 B 处 在 B 处测得建筑物顶端 M 的仰角为 45 则建筑物 MN 的 高度等于 第 3 页 共 26 页 A 8 m B 8 m C 16 m D 16 m 9 某数学兴趣小组同学进行测量大树 CD 高度的综合实践活动 如图 在点 A 处测得直立 于地面的大树顶端 C 的仰角为 36 然后沿在同一剖面的斜坡 AB 行走 13 米至坡顶 B 处 然后再沿水平方向行走 6 米至大树脚底点 D 处 斜面 AB 的坡度 或坡比 i 1 2 4 那么 大树 CD 的高度约为 参考数据 sin36 0 59 cos36 0 81 tan36 0 73 A 8 1 米 B 17 2 米 C 19 7 米 D 25 5 米 10 如图是一个 3 2 的长方形网格 组成网格的小长方形长为宽的 2 倍 ABC 的顶点都 是网格中的格点 则 cos ABC 的值是 A B C D 二 解答题 共 13 小题 11 计算 0 1 tan45 第 4 页 共 26 页 12 计算 13 计算 sin45 cos230 2sin60 14 计算 cos 245 cot230 15 计算 sin45 sin60 2tan45 16 计算 cos 245 tan60 cos30 3cot 260 第 5 页 共 26 页 17 如图 某办公楼 AB 的后面有一建筑物 CD 当光线与地面的夹角是 22 时 办公楼在 建筑物的墙上留下高 2 米的影子 CE 而当光线与地面夹角是 45 时 办公楼顶 A 在地面上 的影子 F 与墙角 C 有 25 米的距离 B F C 在一条直线上 1 求办公楼 AB 的高度 2 若要在 A E 之间挂一些彩旗 请你求出 A E 之间的距离 参考数据 sin22 cos22 tan22 18 某国发生 8 1 级强烈地震 我国积极组织抢险队赴地震灾区参与抢险工作 如图 某 探测对在地面 A B 两处均探测出建筑物下方 C 处有生命迹象 已知探测线与地面的夹角分 别是 25 和 60 且 AB 4 米 求该生命迹象所在位置 C 的深度 结果精确到 1 米 参考 数据 sin25 0 4 cos25 0 9 tan25 0 5 1 7 第 6 页 共 26 页 19 如图 为测量一座山峰 CF 的高度 将此山的某侧山坡划分为 AB 和 BC 两段 每一段山 坡近似是 直 的 测得坡长 AB 800 米 BC 200 米 坡角 BAF 30 CBE 45 1 求 AB 段山坡的高度 EF 2 求山峰的高度 CF 1 414 CF 结果精确到米 20 如图所示 某人在山坡坡脚 A 处测得电视塔尖点 C 的仰角为 60 沿山坡向上走到 P 处再测得 C 的仰角为 45 已知 OA 200 米 山坡坡度为 即 tan PAB 且 O A B 在同一条直线上 求电视塔 OC 的高度以及此人所在的位置点 P 的垂直高度 侧 倾器的高度忽略不计 结果保留根号 第 7 页 共 26 页 21 如图 为了测量出楼房 AC 的高度 从距离楼底 C 处 60 米的点 D 点 D 与楼底 C 在 同一水平面上 出发 沿斜面坡度为 i 1 的斜坡 DB 前进 30 米到达点 B 在点 B 处测 得楼顶 A 的仰角为 53 求楼房 AC 的高度 参考数据 sin53 0 8 cos53 0 6 tan53 计算结果用根号表示 不取近似值 22 如图 大楼 AB 右侧有一障碍物 在障碍物的旁边有一幢小楼 DE 在小楼的顶端 D 处 测得障碍物边缘点 C 的俯角为 30 测得大楼顶端 A 的仰角为 45 点 B C E 在同一水 平直线上 已知 AB 80m DE 10m 求障碍物 B C 两点间的距离 结果精确到 0 1m 参 考数据 1 414 1 732 第 8 页 共 26 页 23 某型号飞机的机翼形状如图 根据图示尺寸计算 AC 和 AB 的长度 精确到 0 1 米 1 41 1 73 第 9 页 共 26 页 2016 年 12 月 23 日三角函数综合练习题初中数学组卷 参考答案与试题解析 一 选择题 共 10 小题 1 2016 安顺 如图 在网格中 小正方形的边长均为 1 点 A B C 都在格点上 则 ABC 的正切值是 A 2 B C D 分析 根据勾股定理 可得 AC AB 的长 根据正切函数的定义 可得答案 解答 解 如图 由勾股定理 得 AC AB 2 BC ABC 为直角三角形 tan B 故选 D 点评 本题考查了锐角三角函数的定义 先求出 AC AB 的长 再求正切函数 2 2016 攀枝花 如图 点 D 0 3 O 0 0 C 4 0 在 A 上 BD 是 A 的一条 弦 则 sin OBD 第 10 页 共 26 页 A B C D 分析 连接 CD 可得出 OBD OCD 根据点 D 0 3 C 4 0 得 OD 3 OC 4 由 勾股定理得出 CD 5 再在直角三角形中得出利用三角函数求出 sin OBD 即可 解答 解 D 0 3 C 4 0 OD 3 OC 4 COD 90 CD 5 连接 CD 如图所示 OBD OCD sin OBD sin OCD 故选 D 点评 本题考查了圆周角定理 勾股定理 以及锐角三角函数的定义 熟练掌握圆周角 定理是解决问题的关键 3 2016 三明 如图 在 Rt ABC 中 斜边 AB 的长为 m A 35 则直角边 BC 的长是 第 11 页 共 26 页 A msin35 B mcos35 C D 分析 根据正弦定义 把锐角 A 的对边 a 与斜边 c 的比叫做 A 的正弦可得答案 解答 解 sin A AB m A 35 BC msin35 故选 A 点评 此题主要考查了锐角三角函数 关键是掌握正弦定义 4 2016 绵阳 如图 ABC 中 AB AC 4 C 72 D 是 AB 中点 点 E 在 AC 上 DE AB 则 cosA 的值为 A B C D 分析 先根据等腰三角形的性质与判定以及三角形内角和定理得出 EBC 36 BEC 72 AE BE BC 再证明 BCE ABC 根据相似三角形的性质列出比例式 求出 AE 然后在 ADE 中利用余弦函数定义求出 cosA 的值 解答 解 ABC 中 AB AC 4 C 72 ABC C 72 A 36 D 是 AB 中点 DE AB AE BE ABE A 36 EBC ABC ABE 36 BEC 180 EBC C 72 BEC C 72 BE BC AE BE BC 第 12 页 共 26 页 设 AE x 则 BE BC x EC 4 x 在 BCE 与 ABC 中 BCE ABC 即 解得 x 2 2 负值舍去 AE 2 2 在 ADE 中 ADE 90 cosA 故选 C 点评 本题考查了解直角三角形 等腰三角形的性质与判定 三角形内角和定理 线段 垂直平分线的性质 相似三角形的判定与性质 难度适中 证明 BCE ABC 是解题的关 键 5 2016 南宁 如图 厂房屋顶人字形 等腰三角形 钢架的跨度 BC 10 米 B 36 则中柱 AD D 为底边中点 的长是 A 5sin36 米 B 5cos36 米 C 5tan36 米 D 10tan36 米 分析 根据等腰三角形的性质得到 DC BD 5 米 在 Rt ABD 中 利用 B 的正切进行计 算即可得到 AD 的长度 解答 解 AB AC AD BC BC 10 米 DC BD 5 米 在 Rt ADC 中 B 36 tan36 即 AD BD tan36 5tan36 米 故选 C 点评 本题考查了解直角三角形的应用 解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上 建立数学模型 把实际问题转化为数学问题 第 13 页 共 26 页 6 2016 金华 一座楼梯的示意图如图所示 BC 是铅垂线 CA 是水平线 BA 与 CA 的夹 角为 现要在楼梯上铺一条地毯 已知 CA 4 米 楼梯宽度 1 米 则地毯的面积至少需 要 A 米 2 B 米 2 C 4 米 2 D 4 4tan 米 2 分析 由三角函数表示出 BC 得出 AC BC 的长度 由矩形的面积即可得出结果 解答 解 在 Rt ABC 中 BC AC tan 4tan 米 AC BC 4 4tan 米 地毯的面积至少需要 1 4 4tan 4 4tan 米 2 故选 D 点评 本题考查了解直角三角形的应用 矩形面积的计算 由三角函数表示出 BC 是解决 问题的关键 7 2016 长沙 如图 热气球的探测器显示 从热气球 A 处看一栋楼顶部 B 处的仰角为 30 看这栋楼底部 C 处的俯角为 60 热气球 A 处与楼的水平距离为 120m 则这栋楼的 高度为 A 160 m B 120 m C 300m D 160 m 分析 首先过点 A 作 AD BC 于点 D 根据题意得 BAD 30 CAD 60 AD 120m 然后利用三角函数求解即可求得答案 解答 解 过点 A 作 AD BC 于点 D 则 BAD 30 CAD 60 AD 120m 第 14 页 共 26 页 在 Rt ABD 中 BD AD tan30 120 40 m 在 Rt ACD 中 CD AD tan60 120 120 m BC BD CD 160 m 故选 A 点评 此题考查了仰角俯角问题 注意准确构造直角三角形是解此题的关键 8 2016 南通 如图 为了测量某建筑物 MN 的高度 在平地上 A 处测得建筑物顶端 M 的 仰角为 30 向 N 点方向前进 16m 到达 B 处 在 B 处测得建筑物顶端 M 的仰角为 45 则 建筑物 MN 的高度等于 A 8 m B 8 m C 16 m D 16 m 分析 设 MN xm 由题意可知 BMN 是等腰直角三角形 所以 BN MN x 则 AN 16 x 在 Rt AMN 中 利用 30 角的正切列式求出 x 的值 解答 解 设 MN xm 在 Rt BMN 中 MBN 45 BN MN x 在 Rt AMN 中 tan MAN tan30 解得 x 8 1 则建筑物 MN 的高度等于 8 1 m 故选 A 第 15 页 共 26 页 点评 本题是解直角三角形的应用 考查了仰角和俯角的问题 要明确哪个角是仰角或 俯角 知道仰角是向上看的视线与水平线的夹角 俯角是向下看的视线与水平线的夹角 并与三角函数相结合求边的长 9 2016 重庆 某数学兴趣小组同学进行测量大树 CD 高度的综合实践活动 如图 在点 A 处测得直立于地面的大树顶端 C 的仰角为 36 然后沿在同一剖面的斜坡 AB 行走 13 米 至坡顶 B 处 然后再沿水平方向行走 6 米至大树脚底点 D 处 斜面 AB 的坡度 或坡比 i 1 2 4 那么大树 CD 的高度约为 参考数据 sin36 0 59 cos36 0 81 tan36 0 73 A 8 1 米 B 17 2 米 C 19 7 米 D 25 5 米 分析 作 BF AE 于 F 则 FE BD 6 米 DE BF 设 BF x 米 则 AF 2 4 米 在 Rt ABF 中 由勾股定理得出方程 解方程求出 DE BF 5 米 AF 12 米 得出 AE 的长度 在 Rt ACE 中 由三角函数求出 CE 即可得出结果 解答 解 作 BF AE 于 F 如图所示 则 FE BD 6 米 DE BF 斜面 AB 的坡度 i 1 2 4 AF 2 4BF 设 BF x 米 则 AF 2 4x 米 在 Rt ABF 中 由勾股定理得 x 2 2 4x 2 132 解得 x 5 DE BF 5 米 AF 12 米 AE AF FE 18 米 在 Rt ACE 中 CE AE tan36 18 0 73 13 14 米 CD CE DE 13 14 米 5 米 8 1 米 故选 A 第 16 页 共 26 页 点评 本题考查了解直角三角形的应用 勾股定理 三角函数 由勾股定理得出方程是 解决问题的关键 10 2016 广东模拟 如图是一个 3 2 的长方形网格 组成网格的小长方形长为宽的 2 倍 ABC 的顶点都是网格中的格点 则 cos ABC 的值是 A B C D 分析 根据题意可得 D 90 AD 3 1 3 BD 2 2 4 然后由勾股定理求得 AB 的长 又由余弦的定义 即可求得答案 解答 解 如图 由 6 块长为 2 宽为 1 的长方形 D 90 AD 3 1 3 BD 2 2 4 在 Rt ABD 中 AB 5 cos ABC 故选 D 点评 此题考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理 此题比较简单 注意数形结合思 想的应用 二 解答题 共 13 小题 11 2016 成都模拟 计算 0 1 tan45 第 17 页 共 26 页 分析 本题涉及零指数幂 负整数指数幂 特殊角的三角函数值 二次根式化简四个考 点 在计算时 需要针对每个考点分别进行计算 然后根据实数的运算法则求得计算结 果 解答 解 原式 1 3 1 1 2 1 点评 本题考查实数的综合运算能力 是各地中考题中常见的计算题型 解决此类题目 的关键是熟记特殊角的三角函数值 熟练掌握负整数指数幂 零指数幂 二次根式 绝对 值等考点的运算 12 2016 顺义区二模 计算 分析 要根据负指数 绝对值的性质和三角函数值进行计算 注意 1 3 1 1 cos45 解答 解 原式 2 点评 本题考查实数的运算能力 解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值 熟 练掌握负整数指数幂 二次根式 绝对值等考点的运算 注意 负指数为正指数的倒数 任何非 0 数的 0 次幂等于 1 二次根式的化简是根号下不能含有分母和能开方的数 13 2016 天门模拟 计算 sin45 cos230 2sin60 分析 先把各特殊角的三角函数值代入 再根据二次根式混合运算的法则进行计算即 可 解答 解 原式 2 2 1 点评 本题考查的是特殊角的三角函数值 熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的 关键 第 18 页 共 26 页 14 2016 黄浦区一模 计算 cos 245 cot230 分析 根据特殊角三角函数值 可得实数的运算 根据实数的运算 可得答案 解答 解 原式 2 2 3 点评 本题考查了特殊角三角函数值 熟记特殊角三角函数值是解题关键 15 2016 深圳校级模拟 计算 sin45 sin60 2tan45 分析 根据特殊角的三角函数值进行计算 解答 解 原式 2 2 1 3 2 点评 本题考查了特殊角的三角函数值 特指 30 45 60 角的各种三角函数值 sin30 cos30 tan30 sin45 cos45 tan45 1 sin60 cos60 tan60 16 2016 虹口区一模 计算 cos 245 tan60 cos30 3cot 260 分析 将特殊角的三角函数值代入求解 解答 解 原式 2 3 2 1 点评 本题考查了特殊角的三角函数值 解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数 值 第 19 页 共 26 页 17 2016 青海 如图 某办公楼 AB 的后面有一建筑物 CD 当光线与地面的夹角是 22 时 办公楼在建筑物的墙上留下高 2 米的影子 CE 而当光线与地面夹角是 45 时 办公楼 顶 A 在地面上的影子 F 与墙角 C 有 25 米的距离 B F C 在一条直线上 1 求办公楼 AB 的高度 2 若要在 A E 之间挂一些彩旗 请你求出 A E 之间的距离 参考数据 sin22 cos22 tan22 分析 1 首先构造直角三角形 AEM 利用 tan22 求出即可 2 利用 Rt AME 中 cos22 求出 AE 即可 解答 解 1 如图 过点 E 作 EM AB 垂足为 M 设 AB 为 x Rt ABF 中 AFB 45 BF AB x BC BF FC x 25 在 Rt AEM 中 AEM 22 AM AB BM AB CE x 2 tan22 则 解得 x 20 即教学楼的高 20m 第 20 页 共 26 页 2 由 1 可得 ME BC x 25 20 25 45 在 Rt AME 中 cos22 AE 即 A E 之间的距离约为 48m 点评 此题主要考查了解直角三角形的应用 根据已知得出 tan22 是解题关键 18 2016 自贡 某国发生 8 1 级强烈地震 我国积极组织抢险队赴地震灾区参与抢险工 作 如图 某探测对在地面 A B 两处均探测出建筑物下方 C 处有生命迹象 已知探测线与 地面的夹角分别是 25 和 60 且 AB 4 米 求该生命迹象所在位置 C 的深度 结果精确 到 1 米 参考数据 sin25 0 4 cos25 0 9 tan25 0 5 1 7 分析 过 C 点作 AB 的垂线交 AB 的延长线于点 D 通过解 Rt ADC 得到 AD 2CD 2x 在 Rt BDC 中利用锐角三角函数的定义即可求出 CD 的值 解答 解 作 CD AB 交 AB 延长线于 D 设 CD x 米 在 Rt ADC 中 DAC 25 所以 tan25 0 5 所以 AD 2x Rt BDC 中 DBC 60 由 tan 60 解得 x 3 即生命迹象所在位置 C 的深度约为 3 米 第 21 页 共 26 页 点评 本题考查的是解直角三角形的应用 根据题意作出辅助线 构造出直角三角形是 解答此题的关键 19 2016 黄石 如图 为测量一座山峰 CF 的高度 将此山的某侧山坡划分为 AB 和 BC 两 段 每一段山坡近似是 直 的 测得坡长 AB 800 米 BC 200 米 坡角 BAF 30 CBE 45 1 求 AB 段山坡的高度 EF 2 求山峰的高度 CF 1 414 CF 结果精确到米 分析 1 作 BH AF 于 H 如图 在 Rt ABF 中根据正弦的定义可计算出 BH 的长 从 而得到 EF 的长 2 先在 Rt CBE 中利用 CBE 的正弦计算出 CE 然后计算 CE 和 EF 的和即可 解答 解 1 作 BH AF 于 H 如图 在 Rt ABF 中 sin BAH BH 800 sin30 400 EF BH 400m 2 在 Rt CBE 中 sin CBE CE 200 sin45 100 141 4 CF CE EF 141 4 400 541 m 答 AB 段山坡高度为 400 米 山 CF 的高度约为 541 米 第 22 页 共 26 页 点评 本题考查了解直角三角形的应用 坡度与坡角问题 坡度是坡面的铅直高度 h 和 水平宽度 l 的比 又叫做坡比 它是一个比值 反映了斜坡的陡峭程度 一般用 i 表示 常写成 i 1 m 的形式 把坡面与水平面的夹角 叫做坡角 坡度 i 与坡角 之间的关系 为 i tan 20 2016 天水 如图所示 某人在山坡坡脚 A 处测得电视塔尖点 C 的仰角为 60 沿山 坡向上走到 P 处再测得 C 的仰角为 45 已知 OA 200 米 山坡坡度为 即 tan PAB 且 O A B 在同一条直线上 求电视塔 OC 的高度以及此人所在的位置点 P 的垂直高度 侧倾器的高度忽略不计 结果保留根号 分析 在直角 AOC 中 利用三角函数即可求解 在图中共有三个直角三角形 即 RT AOC RT PCF RT PAE 利用 60 45 以及坡度比 分别求出 CO CF PE 然后根据 三者之间的关系 列方程求解即可解决 解答 解 作 PE OB 于点 E PF CO 于点 F 在 Rt AOC 中 AO 200 米 CAO 60 CO AO tan60 200 米 2 设 PE x 米 tan PAB AE 3x 在 Rt PCF 中 CPF 45 CF 200 x PF OA AE 200 3x 第 23 页 共 26 页 PF CF 200 3x 200 x 解得 x 50 1 米 答 电视塔 OC 的高度是 200 米 所在位置点 P 的铅直高度是 50 1 米 点评 考查了解直角三角形的应用 仰角俯角问题以及坡度坡角问题 本题要求学生借 助仰角关系构造直角三角形 并结合图形利用三角函数解直角三角形 21 2016 泸州 如图 为了测量出楼房 AC 的高度 从距离楼底 C 处 60 米的点 D 点 D 与楼底 C 在同一水平面上 出发 沿斜面坡度为 i 1 的斜坡 DB 前进 30 米到达点 B 在点 B 处测得楼顶 A 的仰角为 53 求楼房 AC 的高度 参考数据 sin53 0 8 cos53 0 6 tan53 计算结果用根号表示 不取近似值 分析 如图作 BN CD 于 N BM AC 于 M 先在 RT BDN 中求出线段 BN 在 RT ABM 中求 出 AM 再证明四边形 CMBN 是矩形 得 CM BN 即可解决问题 解答 解 如图作 BN CD 于 N BM AC 于 M 在 RT BDN 中 BD 30 BN ND 1 BN 15 DN 15 C CMB CNB 90 四边形 CMBN 是矩形 CM BM 15 BM CN 60 15 45 在 RT ABM 中 tan ABM 第 24 页 共 26 页 AM 60 AC AM CM 15 60 点评 本题考查解直角三角形 仰角 坡度等概念 解题的关键是添加辅助线构造直角 三角形 记住坡度的定义 属于中考常考题型 22 2016 昆明 如图 大楼 AB 右侧有一障碍物 在障碍物的旁边有一幢小楼 DE 在小 楼的顶端 D 处测得障碍物边缘点 C 的俯角为 30 测得大楼顶端 A 的仰角为 45 点 B C E 在同一水平直线上 已知 AB 80m DE 10m 求障碍物 B C 两点间的距离 结果 精确到 0 1m 参考数据 1 414 1 732 分析 如图 过点 D 作 DF AB 于点 F 过点 C 作 CH DF 于点 H 通过解直角 AFD 得到 DF 的长度 通过解直角 DCE 得到 CE 的长度 则 BC BE CE 解答 解 如图 过点 D 作 DF AB 于点 F 过点 C 作 CH DF 于点 H 则 DE BF CH 10m 在直角 ADF 中 AF 80m 10m 70m ADF 45 DF AF 70m 在直角 CDE 中 DE 10m DCE 30 CE 10 m BC BE CE 70 10 70 17 32 52 7 m 第 25 页 共 26 页 答 障碍物 B C 两点间的距离约为 52 7m 点评 本题考查了解直角三角形 仰角俯角问题 要求学生能借助仰角构造直角三角形 并解直角三角形 23 2016 丹东模拟 某型号飞机的机翼形状如图 根据图示尺寸计算 AC 和 AB 的长度 精确到 0 1 米 1 41 1 73 分析 在 Rt CAE 中 ACE 45 则 ACE 是等腰直角三角形即可求得 AC 的长 在 Rt BFD 中已知 BDF 与 FB 的长 进而得出 AB 的长 解答 解 在 Rt CAE 中 ACE 45 AE CE 5 m AC CE 5 5 1 414 7 1 m 在 Rt BFD 中 BDF 30 BF FD tan30 5 5 2 89 m DC EF 3 4 m AF 1 6m 则 AB 2 89 1 6 1 29 1 3 m 答 AC 约为 7 1 米 BA 约为 1 3 米 第 26 页 共 26 页 点评 此题考查了三角函数的基本概念 主要是正切函数的概念及运算 关键把实际问 题转化为数学问题加以计算