24.1垂径定理教学设计(定稿)

1 24 1 2 垂直于弦的直径 授课题目 垂直于弦的直径 一 教材分析 1 作为 圆 这章的第一个重要性质 它研究的是垂直于弦的直 径和这弦的关系 2 该性质是圆的轴对称性的演绎 也是今后证明圆中线段相等 角相等 弧相等 垂直关系的重要依据 同时为后面圆的计算和作图提 供了方法和依据 所以它在教材中处于非常重要的作用 二 教学目标 1 知识目标 1 充 分 认 识 圆 的 轴 对 称 性 2 利 用 轴 对 称 探 索 垂 直 于 弦 的 直 径 的 有 关 性 质 掌 握 垂 径 定 理 3 运 用 垂 径 定 理 进 行 简 单 的 证 明 计 算 和 作 图 2 能力目标 1 让学生经历 实验 观察 猜想 验证 归纳 的研究过程 培养学生 动手实践 观察分析 归纳问题和解决问题的能力 2 让每个学生动手 动口 动眼 动脑 培养学生直觉思维能 力 3 情感目标 通 过 实 验 操 作 探 索 数 学 规 律 激 发 学 生 的 好 奇 心 和 求 知 欲 同 时 培 养 学 生 勇 于 探 索 的 精 神 三 教学关键 圆的轴对称性的理解 四 教学重点 垂直于弦的直径的性质及其应用 五 教学难点 1 垂径定理的证明 2 垂径定理的题设与结论的区分 六 教学辅助 多媒体 可折叠的圆形纸板 七 教学方法 本节课采用的教学方法是 主体探究式 整堂课充分发挥教师的 主导作用和学生的主体作用 注重学生探究能力的培养 鼓励学生认真 2 观察 大胆猜想 小心求证 令学生参与到 实验 观察 猜想 验证 归纳 的活动中 与教师共同探究新知识最后得出定理 学生不再是 知识的接受者 而是知识的发现者 是学习的主人 八 教学过程 1 情景创设 1 分钟 情景问题 赵州桥主桥拱的跨度 弧所对的弦的长 为 37 4m 拱高 弧的中点到弦的距离 为 7 2m 你能求出赵州桥主桥拱的半径吗 ppt 把 一 些 实 际 问 题 转 化 为 数 学 问 题 2 回顾旧识 2 分钟 我们已经学习过对称的有关概念 下面复习两道问题 1 什么是轴对称图形 2 我们学习过的轴对称图形有哪些 电脑上直观的动画演示 运用几何画板演示沿上述图形对称轴对折图 形的动画 3 引入新课 4 分钟 问 1 我们所学的圆是不是轴对称图形 2 如果是 它的对 称轴是什么 拿出一张圆形纸片 沿着圆的任意一条直径对折 重复做几次 你 3 发现了什么 由此你能得到什么结论 1 圆是轴对称图形 2 对称轴是过圆点的直线 或任何一条直径所在的直线 3 圆的对称轴 有无穷多条 4 揭示课题 1 分钟 电脑上用几何画板上作图 1 做一圆 2 在圆上任意作一条弦 AB 3 过圆心作 AB 的垂线的直径 CD 且交 AB 于 E 板书课题 垂直于弦的直径 5 师生互动 4 分钟 运 用 几 何 画 板 展 示 直 径 与 弦 垂 直 相 交 时 圆 的 翻 折 动 画 让 学 生 观 察 讨 论 1 图 中 圆 可 能 会 有 哪 些 等 量 关 系 2 弦 AB 与 直 径 CD 除 垂 直 外 还 有 什 么 性 质 O E D C BA 4 5 探求新知 5 分钟 提 问 这个结论是同学们通过演示观察猜想出来的 结论是否正确 还要从理论上证明它 下面我们试着来证明它 已 知 CD 是 O 的 直 径 AB 是 弦 AB CD 证 明 AE EB 弧 AC 弧 CB 弧 AD 弧 DB 垂径定理 垂直于弦的直径平分弦 并且平分弦所对的两条弧 垂径定理的逆定理 平分弦的直径垂直于弦 并且垂 直于弦所对的两条弧 6 概念辨析 2 分钟 电脑显示 练习 1 AE EB 吗 注意 直径 垂直于弦 缺一不可 7 运用新知 18 分钟 练习 1 5 分钟 一条排水管的截面如图所示 已知排水管的半径 OB 10 水面宽 AB 16 求截面圆心 O 到水面的距离 在学生发表见解的情况下总结归纳 1 圆中有关弦 半径的计 算问题通常利用垂径定理来解决 2 重要的辅助线 过圆心做弦的 垂线构造直角三角形 结合垂径定理与解直角三角形的有关知识解题 总结口诀 半径半弦弦心距 化为勾股最容易 另外加上弓形高 三角形少不了 EOC EA C D 5 练习 2 5 分钟 情景问题 赵州桥主桥拱的跨度 弧所对的弦的长 为 37 4m 拱 高 弧的中点到弦的距离 为 7 2m 你能求出赵州桥主桥拱的半径吗 练习 3 3 分钟 已知 如图 在以 O 为圆心的两个同心圆中 大圆的弦 AB 交小圆 于 C D 两点 求证 AC BD 8 拓展升华 3 分钟 如果把垂径定理 垂直于弦的直径平分弦 并且平分弦所对的两条弧 结论与题设交换或交换一条 命题是真命题吗 1 过圆心 2 垂直于弦 3 平分弦 4 平分弦所对的优弧 5 平分弦所对的劣弧 上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论 9 归纳小结 3 分钟 OA BC D 6 知识总结 这节课我们主要学习了两个问题 一是圆的轴对称性 学生 回答 它是理解和证明定理的关键 二是垂径定理 学生回答 它是 这节课的重点要求大家分清楚定理的条件和结论 并熟练掌握定理的简 单应用 还推知它的里定理 讲评总结 1 学习垂径定理后 你认为应该注意哪些问题 2 应用垂径定理如何添辅助线 垂径定理有哪些应用 3 这节课的学习你有什么疑问 4 这节课的学习方式拟喜欢吗 你有什么好的建议 10 分层作业 1 必做题 习题 24 1 1 7 8 2 选做题 习题 24 1 13 课后反思 24 1 3 弧 弦 圆心角 教学目标 1 知识与技能 了解圆心角的概念 掌握在同圆或等圆中 圆心 角 弦 弧中有一个量的两个相等就可以推出其它两个量的相对应的两 个值就相等 及其它们在解题中的应用 2 过程与方法 通过复习旋转的知识 产生圆心角的概念 然后用 圆心角和旋转的知识探索在同圆或等圆中 如果两个圆心角 两条弧 两条弦中有一组量相等 那么它们所对应的其余各组量都分别相等 最 后应用它解决一些具体问题 3 情感态度价值观 发展学生勇于探索的良好习惯 指导学生欣赏几 7 何图形的美 进一步认识数学知识与生活的密切联系 重难点 关键 1 重点 定理 在同圆或等圆中 相等的圆心角所对的弧相等 所对弦也相等及其两个推论和它们的应用 2 难点与关键 探索定理和推导及其应用 教学方法 合作探究 教学过程 一 复习引入 学生活动 请同学们完成下题 已知 OAB 如图所示 作出绕 O 点旋转 30 45 60 的图 形 B A O 老师点评 绕 O 点旋转 O 点就是固定点 旋转 30 就是旋转 角 BOB 30 二 探索新知 1 如图所示 AOB 的顶点在圆心 像这样顶点在圆心的角叫做 圆心角 8 B A O B B A A O 学生活动 请同学们按下列要求作图并回答问题 如图所示的 O 中 分别作相等的圆心角 AOB 和 A OB 将圆心角 AOB 绕圆心 O 旋转到 A OB 的位置 你能发现哪些等 量关系 为什么 理由 半径 OA 与 O A 重合 且 AOB A OB 半径 OB 与 OB 重合 点 A 与点 A 重合 点 B 与点 B 重合 B与 重合 弦 AB 与弦 A B 重合 AB A B 因此 在同一个圆中 相等的圆心角所对的弧相等 所对的弦相 等 在等圆中 相等的圆心角是否也有所对的弧相等 所对的弦相等呢 请同学们现在动手作一作 2 学生活动 老师点评 如图 1 在 O 和 O 中 分别作相 等的圆心角 AOB 和 A O B 得到如图 2 滚动一个圆 使 O 与 O 重合 固定圆心 将其中的一个圆旋转一个角度 使得 OA 与 O A 重合 9 O O O O B A BB O O O O B A AA 1 2 你能发现哪些等量关系 说一说你的理由 我能发现 AB AB A B 现在它的证明方法就转化为前面的说明了 这就是又回到了我们 的数学思想上去呢 化归思想 化未知为已知 因此 我们可以得到 下面的定理 在同圆或等圆中 相等的圆心角所对的弧相等 所对的弦也相等 同样 还可以得到 在同圆或等圆中 如果两条弧相等 那么它们所对的圆心角相等 所对的弦也相等 在同圆或等圆中 如果两条弦相等 那么它们所对的圆心角相等 所对的弧也相等 学生活动 请同学们现在给予说明一下 请三位同学到黑板板书 老师点评 3 例 1 如图 在 O 中 AB CD 是两条弦 OE AB OF CD 垂足分别为 EF 1 如果 AOB COD 那么 OE 与 OF 的大小有什么关系 为 什么 2 如果 OE OF 那么 AB与 CD的大小有什么关系 AB 与 CD 的 10 大小有什么关系 为什么 AOB 与 COD 呢 O B A C E DF 分析 1 要说明 OE OF 只要在直角三角形 AOE 和直角三角 形 COF 中说明 AE CF 即说明 AB CD 因此 只要运用前面所讲的 定理即可 2 OE OF 在 Rt AOE 和 Rt COF 中 又有 AO CO 是半径 Rt AOE Rt COF AE CF AB CD 又可运用上面的定理得到 AB CD 解 略 三 巩固练习 教材 P83 练习 1 2 四 应用拓展 例 2 如图 3 和图 4 MN 是 O 的直径 弦 AB CD 相交于 MN 上的一点 P APM CPM 1 由以上条件 你认为 AB 和 CD 大小关系是什么 请说明理 由 2 若交点 P 在 O 的外部 上述结论是否成立 若成立 加以证 明 若不成立 请说明理由 11 B A C E D P O N M F B A C E DP NM F 3 4 分析 1 要说明 AB CD 只要证明 AB CD 所对的圆心角相等 只要说明它们的一半相等 上述结论仍然成立 它的证明思路与上面的题目是一模一样的 解 略 五 归纳总结 学生归纳 老师点评 本节课应掌握 1 圆心角概念 2 在同圆或等圆中 如果两个圆心角 两条弧 两条弦中有一组 量相等 那么它们所对应的其余各组量都部分相等 及其它们的应 用 六 布置作业 1 教材 P87 复习巩固 2 3 2 选用课时作业设计 课后反思 12 24 1 4 圆周角 教学目标 1 知识与技能 1 了解圆周角的概念 2 理解圆周角的定理 在同圆或等圆中 同弧或等弧所对的圆周 角相等 都等于这条弧所对的圆心角的一半 3 理解圆周角定理的推论 半圆 或直径 所对的圆周角是直角 90 的圆周角所对的弦是直径 4 熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用 2 过程与方法 设置情景 给出圆周角概念 探究这些圆周角与圆 心角的关系 运用数学分类思想给予逻辑证明定理 得出推导 让学生 活动证明定理推论的正确性 最后运用定理及其推导解决一些实际问 题 3 情感态度价值观 在圆周角定理的证明探索过程中 注重推理的 严谨性 初步提高学生的逻辑思维能力 教学方法 合作探究 重难点 关键 1 重点 圆周角的定理 圆周角的定理的推导及运用它们解题 2 难点 运用数学分类思想证明圆周角的定理 3 关键 探究圆周角的定理的存在 教学过程 一 复习引入 13 学生活动 请同学们口答下面两个问题 1 什么叫圆心角 2 圆心角 弦 弧之间有什么内在联系呢 老师点评 1 我们把顶点在圆心的角叫圆心角 2 在同圆或等圆中 如果两个圆心角 两条弧 两条弦中有一 组量相等 那么它们所对的其余各组量都分别相等 刚才讲的 顶点在圆心上的角 有一组等量的关系 如果顶点不在 圆心上 它在其它的位置上 如在圆周上 是否还存在一些等量关系呢 这就是我们今天要探讨 要研究 要解决的问题 二 探索新知 问题 如图所示的 O 我们在射门游戏中 设 E F 是球门 设球 员们只能在 AEF所在的 O 其它位置射门 如图所示的 A B C 点 通过 观察 我们可以发现像 EAF EBF ECF 这样的角 它们的顶点在 圆上 并且两边都与圆相交的角叫做圆周角 现在通过圆周角的概念和度量的方法回答下面的问 题 1 一个弧上所对的圆周角的个数有多少个 2 同弧所对的圆周角的度数是否发生变化 3 同弧上的圆周角与圆心角有什么关系 学生分组讨论 提问二 三位同学代表发言 14 O B A C 老师点评 www 1230 org 初中数学资源网 1 一个弧上所对的圆周角的个数有无数多个 2 通过度量 我们可以发现 同弧所对的圆周角是没有变化的 3 通过度量 我们可以得出 同弧上的圆周角是圆心角的一半 下面 我们通过逻辑证明来说明 同弧所对的圆周角的度数没有变 化 并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半 1 设圆周角 ABC 的一边 BC 是 O 的直径 如图所示 AOC 是 ABO 的外角 AOC ABO BAO OA OB ABO BAO AOC ABO ABC 12 AOC 2 如图 圆周角 ABC 的两边 AB AC 在一条直径 OD 的两侧 那 么 ABC AOC 吗 请同学们独立完成这道题的说明过程 老师点评 连结 BO 交 O 于 D 同理 AOD 是 ABO 的外角 COD 是 BOC 的外角 那么就有 AOD 2 ABO DOC 2 CBO 因此 AOC 2 ABC O B A C D 15 3 如图 圆周角 ABC 的两边 AB AC 在一条直径 OD 的同侧 那 么 ABC 12 AOC 吗 请同学们独立完成证明 老师点评 连结 OA OC 连结 BO 并延长交 O 于 D 那么 AOD 2 ABD COD 2 CBO 而 ABC ABD CBO 12 AOD 12 COD AOC 现在 我如果在画一个任意的圆周角 AB C 同样可证得它等于 同弧上圆心角一半 因此 同弧上的圆周角是相等的 从 1 2 3 我们可以总结归纳出圆周角定理 在同圆或等圆中 同弧等弧所对的圆周角相等 都等于这条弧所对 的圆心角的一半 进一步 我们还可以得到下面的推导 半圆 或直径 所对的圆周角是直角 90 的圆周角所对的弦是直 径 下面 我们通过这个定理和推论来解一些题目 例 1 如图 AB 是 O 的直径 BD 是 O 的弦 延长 BD 到 C 使 AC AB BD 与 CD 的大小有什么关系 为什么 分析 BD CD 因为 AB AC 所以这个 ABC 是等腰 要证明 D 是 BC 的中点 只要连结 AD 证明 AD 是高或是 BAC 的平分线即可 解 略 16 三 巩固练习 1 教材 P92 思考题 2 教材 P93 练习 四 归纳小结 学生归纳 老师点评 本节课应掌握 1 圆周角的概念 2 圆周角的定理 在同圆或等圆中 同弧或等弧所对的圆周角相 等 都相等这条弧所对的圆心角的一半 3 半圆 或直径 所对的圆周角是直角 90 的圆周角所对的弦 是直径 4 应用圆周角的定理及其推导解决一些具体问题 六 布置作业 1 教材 P87 88 4 12 2 选用课时作业设计 课后反思