参数方程及其应用

1 极坐标与参数方程 一 极坐标与直角坐标之间的转换 cos in Arqrq cos inxyrqr 22xyr 表示半径为 圆心为原点的圆a a 表示顶点在原点 与 轴的正半轴夹角为 的射线r 表示圆心为 半径为 的圆 注意角的取值范围 范围不同表示曲线不2cos 2pq 0 aa 同 表示圆心为 半径为 的圆 注意角的取值范围 范围不同表示曲线不同 in 0 ar 二 常见的参数方程 1 直线的参数方程 形式一 倾斜角 为参数 0cosinxtyq t 形式二 向量式 为参数 0 xmtyl 过定点 直线斜率0 Psincolkmq 两种形式的转化方法 为参数 为参数 0 xtyl 02mxtlytl 2 圆的参数方程 为参数 为参数 cosinxryq cosinxarybq 3 椭圆的参数方程 为参数 为参数 csixaybq 0csixyq 4 双曲线的参数方程 为参数 为参数 sectanxy 0sectanxyb 5 抛物线的参数方程 2 为参数 为参数 2ypx 2tpy 2xpty 三 直线参数方程中 的几何意义的应用t 为参数 0cosinxytq t 表示直线上任意一点到定点 的距离 t 0 Pxy 直线参数方程 为参数 椭圆方程 相交于 两点 直线上定点0cosinxtyq t 2 1xyCab AB0 Pxy 将直线的参数方程带入椭圆方程 得到关于 的一元二次方程 则 t21211 4ABttt 21210Ptt 12t 若 为 的中点 则MAB12tPM 1 以直角坐标系的原点 为极点 轴的正半轴为极轴 建立极坐标系 且两个坐标系取相同的长度单位 已Ox 知直线 经过点 倾斜角 圆的极坐标方程为 l 6pa2cos6inrq 1 写出直线 的参数方程 并将圆的极坐标方程化成直角坐标方程 2 设 与圆相交于 两点 求弦 的长 lAB 答案 1 为参数 2 312xty 260 xy 7AB 3 同类型题 1 在平面直角坐标系 中 直线 的参数方程为 为参数 它与曲线xOyl234xty 交于 两点 2 1Cy AB 1 求 的长 AB 2 以 为极点 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 设点 的极坐标为 求点 到Ox P3 2 4pP 线段 中点 的距离 M 答案 1 2 107AB 30 同类型题 2 2010 福建 在直角坐标系 中 直线 的参数方程为 为参数 在极坐xOyl 235xty 标系 与直角坐标系 取相同的长度单位 且以原点 为极点 以 轴正半轴为极轴 中 圆 的方程为xy xC 25sinrq 1 求圆 的直角坐标方程 C 2 设圆 与直线 交于点 若点 的坐标为 求 l ABP 3 5 PAB 答案 1 2 22 5 xy 4 四 极坐标方程和参数方程的应用 1 已知曲线 为参数 为参数 1 4cos 3inxtCy 28cos 3inxCyq 1 化 的方程为普通方程 并说明它们分别表示什么曲线 2 2 若 上的点 对应的参数为 为 上的动点 求 中点 到直线 为1P2tp Q2PQM3 2 xtCy 参数 距离的最小值 答案 1 为圆心是 半径是 的圆 为中心是坐标原点 焦点在 轴上 长轴长为 短1C 4 3 12Cx16 轴长为 的椭圆 6 2 最小值为 85 同类型题 1 以直角坐标系的原点 为极点 轴的正半轴为极轴 建立极坐标系 且两个坐标系取相同的长Ox 度单位 已知直线 的参数方程为 为参数 曲线 的极坐标方程为l3 1cos 2intCya t0ap C 2cosinqr 1 求曲线 的直角坐标方程 C 2 设直线 与曲线 相交于 两点 当 变化时 求 的最小值 lAB aAB 答案 1 2 当 时 的最小值为 2yx p 2 5 同类型题 2 2013 新课标 2 已知动点 都在曲线 为参数 上 对应参数分别为PQ 2cos inxtCy 与 为 中点 ta 0 tap M 1 求 的轨迹的参数方程 2 将 到坐标原点的距离 表示为 的函数 并判断 的轨迹是否过坐标原点 daM 答案 1 为参数 2 时过原点 cos2inxya p 2 2013 新课标 1 已知曲线 的参数方程为 为参数 以坐标原点为极点 轴的正半1C 45cosinxty x 轴为极轴建立极坐标系 曲线 的极坐标方程为 22rq 1 把 的参数方程化为极坐标方程 1 2 求 与 交点的极坐标 C2 0 rqp 答案 1 2 8cos1in6r 24p 6 同类型题 1 2013 辽宁 在直角坐标系 中 以 为极点 轴正半轴为极轴建立直角坐标系 圆 和xOyx 1C 直线 的极坐标方程分别为 2C4sin co 24prqr 1 求 与 交点的极坐标 1 2 设 为 的圆心 为 与 交点连线的中点 已知直线 的参数方程为 P1Q1C2 PQ312xtaby 为参数 求 的值 tR ab 答案 1 2 2 4p1 2b 3 2010 新课标 已知直线 为参数 圆 为参数 1cos inxtCya t2cos inxCyq 1 当 时 求 与 的交点坐标 3pa 12 2 过坐标原点 作 的垂线 垂足为 为 的中点 当 变化时 求点 轨迹的参数方程 并指出OAPOaP 它是什么曲线 答案 1 2 圆心为 半径为的 圆13 0 1 0 414 7 同类型题 1 在极坐标系中 曲线 与 的极坐标方程依次为 1C2 2cos 13prqr 1 求曲线 和 的公共点的个数 12 2 过极点作动直线与曲线 相交于点 在 上取一点 使 求点 的轨迹 并2QOP2OQAP 指出轨迹是什么图形 答案 1 没有公共点 2 是以为 圆心 为半径的圆13 2 1