2018年浙江省宁波市中考数学试卷及答案解析

第 1 页 共 31 页 2018 年浙江省宁波市中考数学试卷 一 选择题 每小题 4 分 共 48 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项符 合题目要求 1 4 分 在 3 1 0 1 这四个数中 最小的数是 A 3 B 1 C 0 D 1 2 4 分 2018 中国 宁波 特色文化产业博览会于 4 月 16 日在宁波国际会展 中心闭幕 本次博览会为期四天 参观总人数超 55 万人次 其中 55 万用科学 记数法表示为 A 0 55 106 B 5 5 10 5C 5 5 104 D 55 10 4 3 4 分 下列计算正确的是 A a 3 a3 2a3 B a 3 a2 a6 C a 6 a2 a3 D a 3 2 a5 4 4 分 有五张背面完全相同的卡片 正面分别写有数字 1 2 3 4 5 把 这些卡片背面朝上洗匀后 从中随机抽取一张 其正面的数字是偶数的概率为 A B C D 5 4 分 已知正多边形的一个外角等于 40 那么这个正多边形的边数为 A 6 B 7 C 8 D 9 6 4 分 如图是由 6 个大小相同的立方体组成的几何体 在这个几何体的三 视图中 是中心对称图形的是 A 主视图 B 左视图 C 俯视图 D 主视图和左视图 7 4 分 如图 在 ABCD 中 对角线 AC 与 BD 相交于点 O E 是边 CD 的中点 第 2 页 共 31 页 连结 OE 若 ABC 60 BAC 80 则 1 的度数为 A 50 B 40 C 30 D 20 8 4 分 若一组数据 4 1 7 x 5 的平均数为 4 则这组数据的中位数为 A 7 B 5 C 4 D 3 9 4 分 如图 在 ABC 中 ACB 90 A 30 AB 4 以点 B 为圆心 BC 长为半径画弧 交边 AB 于点 D 则 的长为 A B C D 10 4 分 如图 平行于 x 轴的直线与函数 y k 1 0 x 0 y k 2 0 x 0 的图象分别相交于 A B 两点 点 A 在点 B 的右侧 C 为 x 轴上的一个动点 若 ABC 的面积为 4 则 k1 k2 的值为 A 8 B 8 C 4 D 4 11 4 分 如图 二次函数 y ax2 bx 的图象开口向下 且经过第三象限的点 P 若点 P 的横坐标为 1 则一次函数 y a b x b 的图象大致是 第 3 页 共 31 页 A B C D 12 4 分 在矩形 ABCD 内 将两张边长分别为 a 和 b a b 的正方形纸片 按图 1 图 2 两种方式放置 图 1 图 2 中两张正方形纸片均有部分重叠 矩 形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示 设图 1 中阴影部分的面积 为 S1 图 2 中阴影部分的面积为 S2 当 AD AB 2 时 S 2 S1 的值为 A 2a B 2b C 2a 2b D 2b 二 填空题 每小题 4 分 共 24 分 13 4 分 计算 2018 14 4 分 要使分式 有意义 x 的取值应满足 15 4 分 已知 x y 满足方程组 则 x2 4y2 的值为 16 4 分 如图 某高速公路建设中需要测量某条江的宽度 AB 飞机上的测 量人员在 C 处测得 A B 两点的俯角分别为 45 和 30 若飞机离地面的高度 CH 第 4 页 共 31 页 为 1200 米 且点 H A B 在同一水平直线上 则这条江的宽度 AB 为 米 结果保留根号 17 4 分 如图 正方形 ABCD 的边长为 8 M 是 AB 的中点 P 是 BC 边上的 动点 连结 PM 以点 P 为圆心 PM 长为半径作 P 当 P 与正方形 ABCD 的 边相切时 BP 的长为 18 4 分 如图 在菱形 ABCD 中 AB 2 B 是锐角 AE BC 于点 E M 是 AB 的中点 连结 MD ME 若 EMD 90 则 cosB 的值为 三 解答题 本大题有 8 小题 共 78 分 19 6 分 先化简 再求值 x 1 2 x 3 x 其中 x 20 8 分 在 5 3 的方格纸中 ABC 的三个顶点都在格点上 第 5 页 共 31 页 1 在图 1 中画出线段 BD 使 BD AC 其中 D 是格点 2 在图 2 中画出线段 BE 使 BE AC 其中 E 是格点 21 8 分 在第 23 个世界读书日前夕 我市某中学为了解本校学生的每周课 外阅读时间 用 t 表示 单位 小时 采用随机抽样的方法进行问卷调查 调 查结果按 0 t 2 2 t 3 3 t 4 t 4 分为四个等级 并依次用 A B C D 表示 根据调查结果统计的数据 绘制成了如图所示的两幅不完整 的统计图 由图中给出的信息解答下列问题 1 求本次调查的学生人数 2 求扇形统计图中等级 B 所在扇形的圆心角度数 并把条形统计图补充完整 3 若该校共有学生 1200 人 试估计每周课外阅读时间满足 3 t 4 的人 数 22 10 分 已知抛物线 y x2 bx c 经过点 1 0 0 1 求该抛物线的函数表达式 2 将抛物线 y x2 bx c 平移 使其顶点恰好落在原点 请写出一种平移的 方法及平移后的函数表达式 23 10 分 如图 在 ABC 中 ACB 90 AC BC D 是 AB 边上一点 点 D 与 A B 不重合 连结 CD 将线段 CD 绕点 C 按逆时针方向旋转 90 得到线段 CE 连结 DE 交 BC 于点 F 连接 BE 1 求证 ACD BCE 2 当 AD BF 时 求 BEF 的度数 第 6 页 共 31 页 24 10 分 某商场购进甲 乙两种商品 甲种商品共用了 2000 元 乙种商品 共用了 2400 元 已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多 8 元 且购进的 甲 乙两种商品件数相同 1 求甲 乙两种商品的每件进价 2 该商场将购进的甲 乙两种商品进行销售 甲种商品的销售单价为 60 元 乙种商品的销售单价为 88 元 销售过程中发现甲种商品销量不好 商场决定 甲种商品销售一定数量后 将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售 乙种 商品销售单价保持不变 要使两种商品全部售完后共获利不少于 2460 元 问甲 种商品按原销售单价至少销售多少件 25 12 分 若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积 我们把这个三 角形叫做比例三角形 1 已知 ABC 是比例三角形 AB 2 BC 3 请直接写出所有满足条件的 AC 的长 2 如图 1 在四边形 ABCD 中 AD BC 对角线 BD 平分 ABC BAC ADC 求证 ABC 是比例三角形 3 如图 2 在 2 的条件下 当 ADC 90 时 求 的值 26 14 分 如图 1 直线 l y x b 与 x 轴交于点 A 4 0 与 y 轴交于点 B 点 C 是线段 OA 上一动点 0 AC 以点 A 为圆心 AC 长为半径作 A 交 x 轴于另一点 D 交线段 AB 于点 E 连结 OE 并延长交 A 于点 F 第 7 页 共 31 页 1 求直线 l 的函数表达式和 tan BAO 的值 2 如图 2 连结 CE 当 CE EF 时 求证 OCE OEA 求点 E 的坐标 3 当点 C 在线段 OA 上运动时 求 OE EF 的最大值 第 8 页 共 31 页 2018 年浙江省宁波市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一 选择题 每小题 4 分 共 48 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项符 合题目要求 1 4 分 在 3 1 0 1 这四个数中 最小的数是 A 3 B 1 C 0 D 1 分析 根据正数大于零 零大于负数 可得答案 解答 解 由正数大于零 零大于负数 得 3 1 0 1 最小的数是 3 故选 A 点评 本题考查了有理数比较大小 利用正数大于零 零大于负数是解题关 键 2 4 分 2018 中国 宁波 特色文化产业博览会于 4 月 16 日在宁波国际会展 中心闭幕 本次博览会为期四天 参观总人数超 55 万人次 其中 55 万用科学 记数法表示为 A 0 55 106 B 5 5 10 5C 5 5 104 D 55 10 4 分析 科学记数法的表示形式为 a 10n 的形式 其中 1 a 10 n 为整 数 确定 n 的值时 要看把原数变成 a 时 小数点移动了多少位 n 的绝对值 与小数点移动的位数相同 当原数绝对值 1 时 n 是正数 当原数的绝对值 1 时 n 是负数 解答 解 550000 5 5 10 5 故选 B 点评 此题考查科学记数法的表示方法 科学记数法的表示形式为 a 10n 的 形式 其中 1 a 10 n 为整数 表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的 值 第 9 页 共 31 页 3 4 分 下列计算正确的是 A a 3 a3 2a3 B a 3 a2 a6 C a 6 a2 a3 D a 3 2 a5 分析 根据同底数幂的除法法则 同底数幂的乘法的运算方法 合并同类项 的方法 以及幂的乘方与积的乘方的运算方法 逐项判定即可 解答 解 a 3 a3 2a3 选项 A 符合题意 a 3 a2 a5 选项 B 不符合题意 a 6 a2 a4 选项 C 不符合题意 a 3 2 a6 选项 D 不符合题意 故选 A 点评 此题主要考查了同底数幂的除法法则 同底数幂的乘法的运算方法 合并同类项的方法 以及幂的乘方与积的乘方的运算方法 解答此题的关键是 要明确 底数 a 0 因为 0 不能做除数 单独的一个字母 其指数是 1 而不是 0 应用同底数幂除法的法则时 底数 a 可是单项式 也可以是多项 式 但必须明确底数是什么 指数是什么 4 4 分 有五张背面完全相同的卡片 正面分别写有数字 1 2 3 4 5 把 这些卡片背面朝上洗匀后 从中随机抽取一张 其正面的数字是偶数的概率为 A B C D 分析 让正面的数字是偶数的情况数除以总情况数 5 即为所求的概率 第 10 页 共 31 页 解答 解 从写有数字 1 2 3 4 5 这 5 张纸牌中抽取一张 其中正面 数字是偶数的有 2 4 这 2 种结果 正面的数字是偶数的概率为 故选 C 点评 此题主要考查了概率公式的应用 明确概率的意义是解答的关键 用 到的知识点为 概率等于所求情况数与总情况数之比 5 4 分 已知正多边形的一个外角等于 40 那么这个正多边形的边数为 A 6 B 7 C 8 D 9 分析 根据正多边形的外角和以及一个外角的度数 求得边数 解答 解 正多边形的一个外角等于 40 且外角和为 360 则这个正多边形的边数是 360 40 9 故选 D 点评 本题主要考查了多边形的外角和定理 解决问题的关键是掌握多边形 的外角和等于 360 度 6 4 分 如图是由 6 个大小相同的立方体组成的几何体 在这个几何体的三 视图中 是中心对称图形的是 A 主视图 B 左视图 C 俯视图 D 主视图和左视图 分析 根据从上边看得到的图形是俯视图 可得答案 解答 解 从上边看是一个田字 田 字是中心对称图形 故选 C 第 11 页 共 31 页 点评 本题考查了简单组合体的三视图 从上边看得到的图形是俯视图 又 利用了中心对称图形 7 4 分 如图 在 ABCD 中 对角线 AC 与 BD 相交于点 O E 是边 CD 的中点 连结 OE 若 ABC 60 BAC 80 则 1 的度数为 A 50 B 40 C 30 D 20 分析 直接利用三角形内角和定理得出 BCA 的度数 再利用三角形中位线 定理结合平行线的性质得出答案 解答 解 ABC 60 BAC 80 BCA 180 60 80 40 对角线 AC 与 BD 相交于点 O E 是边 CD 的中点 EO 是 DBC 的中位线 EO BC 1 ACB 40 故选 B 点评 此题主要考查了三角形内角和定理 三角形中位线定理等知识 得出 EO 是 DBC 的中位线是解题关键 8 4 分 若一组数据 4 1 7 x 5 的平均数为 4 则这组数据的中位数为 A 7 B 5 C 4 D 3 分析 先根据平均数为 4 求出 x 的值 然后根据中位数的概念求解 解答 解 数据 4 1 7 x 5 的平均数为 4 4 第 12 页 共 31 页 解得 x 3 则将数据重新排列为 1 3 4 5 7 所以这组数据的中位数为 4 故选 C 点评 本题考查了中位数的概念 将一组数据按照从小到大 或从大到小 的顺序排列 如果数据的个数是奇数 则处于中间位置的数就是这组数据的中 位数 如果这组数据的个数是偶数 则中间两个数据的平均数就是这组数据的 中位数 9 4 分 如图 在 ABC 中 ACB 90 A 30 AB 4 以点 B 为圆心 BC 长为半径画弧 交边 AB 于点 D 则 的长为 A B C D 分析 先根据 ACB 90 AB 4 A 30 得圆心角和半径的长 再根据弧长 公式可得到弧 CD 的长 解答 解 ACB 90 AB 4 A 30 B 60 BC 2 的长为 故选 C 点评 本题主要考查了弧长公式的运用和直角三角形 30 度角的性质 解题时 注意弧长公式为 l 弧长为 l 圆心角度数为 n 圆的半径为 R 10 4 分 如图 平行于 x 轴的直线与函数 y k 1 0 x 0 y k 2 0 x 0 的图象分别相交于 A B 两点 点 A 在点 B 的右侧 C 为 x 轴上的一个动点 若 ABC 的面积为 4 则 k1 k2 的值为 第 13 页 共 31 页 A 8 B 8 C 4 D 4 分析 设 A a h B b h 根据反比例函数图象上点的坐标特征得出 ah k1 bh k 2 根据三角形的面积公式得到 S ABC AB yA a b h ah bh k 1 k2 4 求出 k1 k2 8 解答 解 AB x 轴 A B 两点纵坐标相同 设 A a h B b h 则 ah k1 bh k 2 S ABC AB yA a b h ah bh k 1 k2 4 k 1 k2 8 故选 A 点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征 点在函数的图象上 则 点的坐标满足函数的解析式 也考查了三角形的面积 11 4 分 如图 二次函数 y ax2 bx 的图象开口向下 且经过第三象限的点 P 若点 P 的横坐标为 1 则一次函数 y a b x b 的图象大致是 第 14 页 共 31 页 A B C D 分析 根据二次函数的图象可以判断 a b a b 的正负情况 从而可以得到 一次函数经过哪几个象限 本题得以解决 解答 解 由二次函数的图象可知 a 0 b 0 当 x 1 时 y a b 0 y a b x b 的图象在第二 三 四象限 故选 D 点评 本题考查二次函数的性质 一次函数的性质 解答本题的关键是明确 题意 利用函数的思想解答 12 4 分 在矩形 ABCD 内 将两张边长分别为 a 和 b a b 的正方形纸片 按图 1 图 2 两种方式放置 图 1 图 2 中两张正方形纸片均有部分重叠 矩 形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示 设图 1 中阴影部分的面积 为 S1 图 2 中阴影部分的面积为 S2 当 AD AB 2 时 S 2 S1 的值为 A 2a B 2b C 2a 2b D 2b 分析 利用面积的和差分别表示出 S1 和 S2 然后利用整式的混合运算计算它 第 15 页 共 31 页 们的差 解答 解 S 1 AB a a CD b AD a AB a a AB b AD a S2 AB AD a a b AB a S 2 S1 AB AD a a b AB a AB a a AB b AD a AD a AB AB b AB a a b a b AD ab b AB ab b AD AB 2b 故选 B 点评 本题考查了整式的混合运算 整体 思想在整式运算中较为常见 适时 采用整体思想可使问题简单化 并且迅速地解决相关问题 此时应注意被看做 整体的代数式通常要用括号括起来 也考查了正方形的性质 二 填空题 每小题 4 分 共 24 分 13 4 分 计算 2018 2018 分析 直接利用绝对值的性质得出答案 解答 解 2018 2018 故答案为 2018 点评 此题主要考查了绝对值 正确把握绝对值的定义是解题关键 14 4 分 要使分式 有意义 x 的取值应满足 x 1 分析 直接利用分式有意义则分母不能为零 进而得出答案 解答 解 要使分式 有意义 则 x 1 0 解得 x 1 故 x 的取值应满足 x 1 故答案为 x 1 点评 此题主要考查了分式有意义的条件 正确把握分式的定义是解题关 键 15 4 分 已知 x y 满足方程组 则 x2 4y2 的值为 8 第 16 页 共 31 页 分析 根据平方差公式即可求出答案 解答 解 原式 x 2y x 2y 3 5 15 故答案为 15 点评 本题考查因式分解 解题的关键是熟练运用平方差公式 本题属于基 础题型 16 4 分 如图 某高速公路建设中需要测量某条江的宽度 AB 飞机上的测 量人员在 C 处测得 A B 两点的俯角分别为 45 和 30 若飞机离地面的高度 CH 为 1200 米 且点 H A B 在同一水平直线上 则这条江的宽度 AB 为 1200 1 米 结果保留根号 分析 在 Rt ACH 和 Rt HCB 中 利用锐角三角函数 用 CH 表示出 AH BH 的长 然后计算出 AB 的长 解答 解 由于 CD HB CAH ACD 45 B BCD 30 在 Rt ACH 中 CAH 45 AH CH 1200 米 在 Rt HCB tan B HB 1200 米 第 17 页 共 31 页 AB HB HA 1200 1200 1200 1 米 故答案为 1200 1 点评 本题考查了锐角三角函数的仰角 俯角问题 题目难度不大 解决本 题的关键是用含 CH 的式子表示出 AH 和 BH 17 4 分 如图 正方形 ABCD 的边长为 8 M 是 AB 的中点 P 是 BC 边上的 动点 连结 PM 以点 P 为圆心 PM 长为半径作 P 当 P 与正方形 ABCD 的 边相切时 BP 的长为 3 或 4 分析 分两种情形分别求解 如图 1 中 当 P 与直线 CD 相切时 如图 2 中 当 P 与直线 AD 相切时 设切点为 K 连接 PK 则 PK AD 四边形 PKDC 是 矩形 解答 解 如图 1 中 当 P 与直线 CD 相切时 设 PC PM m 第 18 页 共 31 页 在 Rt PBM 中 PM 2 BM2 PB2 x 2 42 8 x 2 x 5 PC 5 BP BC PC 8 5 3 如图 2 中当 P 与直线 AD 相切时 设切点为 K 连接 PK 则 PK AD 四边形 PKDC 是矩形 PM PK CD 2BM BM 4 PM 8 在 Rt PBM 中 PB 4 综上所述 BP 的长为 3 或 4 点评 本题考查切线的性质 正方形的性质 勾股定理等知识 解题的关键 是学会用分类讨论的思想思考问题 学会利用参数构建方程解决问题 第 19 页 共 31 页 18 4 分 如图 在菱形 ABCD 中 AB 2 B 是锐角 AE BC 于点 E M 是 AB 的中点 连结 MD ME 若 EMD 90 则 cosB 的值为 分析 延长 DM 交 CB 的延长线于点 H 首先证明 DE EH 设 BE x 利用勾股 定理构建方程求出 x 即可解决问题 解答 解 延长 DM 交 CB 的延长线于点 H 四边形 ABCD 是菱形 AB BC AD 2 AD CH ADM H AM BM AMD HMB ADM BHM AD HB 2 EM DH EH ED 设 BE x AE BC AE AD AEB EAD 90 AE 2 AB2 BE2 DE2 AD2 2 2 x2 2 x 2 22 第 20 页 共 31 页 x 1 或 1 舍弃 cosB 故答案为 点评 本题考查菱形的性质 勾股定理 线段的垂直平分线的性质 全等三 角形的判定和性质等知识 解题的关键是学会添加常用辅助线 构造全等三角 形解决问题 属于中考常考题型 三 解答题 本大题有 8 小题 共 78 分 19 6 分 先化简 再求值 x 1 2 x 3 x 其中 x 分析 首先计算完全平方 再计算单项式乘以多项式 再合并同类项 化简 后再把 x 的值代入即可 解答 解 原式 x 2 2x 1 3x x2 x 1 当 x 时 原式 1 点评 此题主要考查了整式的混合运算 化简求值 关键是先按运算顺序把整 式化简 再把对应字母的值代入求整式的值 20 8 分 在 5 3 的方格纸中 ABC 的三个顶点都在格点上 1 在图 1 中画出线段 BD 使 BD AC 其中 D 是格点 2 在图 2 中画出线段 BE 使 BE AC 其中 E 是格点 分析 1 将线段 AC 沿着 AB 方向平移 2 个单位 即可得到线段 BD 2 利用 2 3 的长方形的对角线 即可得到线段 BE AC 解答 解 1 如图所示 线段 BD 即为所求 第 21 页 共 31 页 2 如图所示 线段 BE 即为所求 点评 本题主要考查了作图以及平行四边形的性质 首先要理解题意 弄清 问题中对所作图形的要求 结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图 21 8 分 在第 23 个世界读书日前夕 我市某中学为了解本校学生的每周课 外阅读时间 用 t 表示 单位 小时 采用随机抽样的方法进行问卷调查 调 查结果按 0 t 2 2 t 3 3 t 4 t 4 分为四个等级 并依次用 A B C D 表示 根据调查结果统计的数据 绘制成了如图所示的两幅不完整 的统计图 由图中给出的信息解答下列问题 1 求本次调查的学生人数 2 求扇形统计图中等级 B 所在扇形的圆心角度数 并把条形统计图补充完整 3 若该校共有学生 1200 人 试估计每周课外阅读时间满足 3 t 4 的人 数 分析 1 由条形图 扇形图中给出的级别 A 的数字 可计算出调查学生人 数 2 先计算出 C 在扇形图中的百分比 用 1 A D C 在扇形图中的百分比 可计算出 B 在扇形图中的百分比 再计算出 B 在扇形的圆心角 第 22 页 共 31 页 3 总人数 课外阅读时间满足 3 t 4 的百分比即得所求 解答 解 1 由条形图知 A 级的人数为 20 人 由扇形图知 A 级人数占总调查人数的 10 所以 20 10 20 200 人 即本次调查的学生人数为 200 人 2 由条形图知 C 级的人数为 60 人 所以 C 级所占的百分比为 100 30 B 级所占的百分比为 1 10 30 45 15 B 级的人数为 200 15 30 人 D 级的人数为 200 45 90 人 B 所在扇形的圆心角为 360 15 54 3 因为 C 级所占的百分比为 30 所以全校每周课外阅读时间满足 3 t 4 的人数为 1200 30 360 人 答 全校每周课外阅读时间满足 3 t 4 的约有 360 人 点评 本题考查了扇形图和条形图的相关知识 题目难度不大 扇形图中某 项的百分比 100 扇形图中某项圆心角的度数 360 该项在扇形 图中的百分比 22 10 分 已知抛物线 y x2 bx c 经过点 1 0 0 1 求该抛物线的函数表达式 2 将抛物线 y x2 bx c 平移 使其顶点恰好落在原点 请写出一种平移的 第 23 页 共 31 页 方法及平移后的函数表达式 分析 1 把已知点的坐标代入抛物线解析式求出 b 与 c 的值即可 2 指出满足题意的平移方法 并写出平移后的解析式即可 解答 解 1 把 1 0 0 代入抛物线解析式得 解得 则抛物线解析式为 y x2 x 2 抛物线解析式为 y x2 x x 1 2 2 将抛物线向右平移一个单位 向下平移 2 个单位 解析式变为 y x2 点评 此题考查了二次函数图象与几何变换 二次函数的性质 二次函数图 象上点的坐标特征 以及待定系数法求二次函数解析式 熟练掌握二次函数性 质是解本题的关键 23 10 分 如图 在 ABC 中 ACB 90 AC BC D 是 AB 边上一点 点 D 与 A B 不重合 连结 CD 将线段 CD 绕点 C 按逆时针方向旋转 90 得到线段 CE 连结 DE 交 BC 于点 F 连接 BE 1 求证 ACD BCE 2 当 AD BF 时 求 BEF 的度数 分析 1 由题意可知 CD CE DCE 90 由于 ACB 90 所以 ACD ACB DCB BCE DCE DCB 所以 ACD BCE 从而可证明 ACD BCE SAS 2 由 ACD BCE SAS 可知 A CBE 45 BE BF 从而可求出 BEF 的度数 第 24 页 共 31 页 解答 解 1 由题意可知 CD CE DCE 90 ACB 90 ACD ACB DCB BCE DCE DCB ACD BCE 在 ACD 与 BCE 中 ACD BCE SAS 2 ACB 90 AC BC A 45 由 1 可知 A CBE 45 AD BF BE BF BEF 67 5 点评 本题考查全等三角形的判定与性质 解题的关键是熟练运用旋转的性 质以及全等三角形的判定与性质 本题属于中等题型 24 10 分 某商场购进甲 乙两种商品 甲种商品共用了 2000 元 乙种商品 共用了 2400 元 已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多 8 元 且购进的 甲 乙两种商品件数相同 1 求甲 乙两种商品的每件进价 2 该商场将购进的甲 乙两种商品进行销售 甲种商品的销售单价为 60 元 乙种商品的销售单价为 88 元 销售过程中发现甲种商品销量不好 商场决定 甲种商品销售一定数量后 将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售 乙种 商品销售单价保持不变 要使两种商品全部售完后共获利不少于 2460 元 问甲 第 25 页 共 31 页 种商品按原销售单价至少销售多少件 分析 1 设甲种商品的每件进价为 x 元 乙种商品的每件进价为 y 元 根 据 某商场购进甲 乙两种商品 甲种商品共用了 2000 元 乙种商品共用了 2400 元 购进的甲 乙两种商品件数相同 列出方程 2 设甲种商品按原销售单价销售 a 件 则由 两种商品全部售完后共获利不 少于 2460 元 列出不等式 解答 解 1 设甲种商品的每件进价为 x 元 则乙种商品的每件进价为 x 8 元 根据题意 得 解得 x 40 经检验 x 40 是原方程的解 答 甲种商品的每件进价为 40 元 乙种商品的每件进价为 48 元 2 甲乙两种商品的销售量为 50 设甲种商品按原销售单价销售 a 件 则 60 40 a 60 0 7 40 50 a 88 48 50 2460 解得 a 20 答 甲种商品按原销售单价至少销售 20 件 点评 本题考查了分式方程的应用 一元一次不等式的应用 本题属于商品 销售中的利润问题 对于此类问题 隐含着一个等量关系 利润 售价 进价 25 12 分 若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积 我们把这个三 角形叫做比例三角形 1 已知 ABC 是比例三角形 AB 2 BC 3 请直接写出所有满足条件的 AC 的长 第 26 页 共 31 页 2 如图 1 在四边形 ABCD 中 AD BC 对角线 BD 平分 ABC BAC ADC 求证 ABC 是比例三角形 3 如图 2 在 2 的条件下 当 ADC 90 时 求 的值 分析 1 根据比例三角形的定义分 AB2 BC AC BC 2 AB AC AC 2 AB BC 三 种情况分别代入计算可得 2 先证 ABC DCA 得 CA2 BC AD 再由 ADB CBD ABD 知 AB AD 即可得 3 作 AH BD 由 AB AD 知 BH BD 再证 ABH DBC 得 AB BC BH DB 即 AB BC BD2 结合 AB BC AC2 知 BD2 AC2 据此可得答 案 解答 解 1 ABC 是比例三角形 且 AB 2 AC 3 当 AB2 BC AC 时 得 4 3AC 解得 AC 当 BC2 AB AC 时 得 9 2AC 解得 AC 当 AC2 AB BC 时 得 AC 6 解得 AC 负值舍去 所以当 AC 或 或 时 ABC 是比例三角形 2 AD BC ACB CAD 又 BAC ADC ABC DCA 即 CA2 BC AD AD BC ADB CBD BD 平分 ABC ABD CBD 第 27 页 共 31 页 ADB ABD AB AD CA 2 BC AB ABC 是比例三角形 3 如图 过点 A 作 AH BD 于点 H AB AD BH BD AD BC ADC 90 BCD 90 BHA BCD 90 又 ABH DBC ABH DBC 即 AB BC BH DB AB BC BD2 又 AB BC AC 2 BD2 AC2 点评 本题主要考查相似三角形的综合问题 解题的关键是理解比例三角形 的定义 并熟练掌握相似三角形的判定与性质 第 28 页 共 31 页 26 14 分 如图 1 直线 l y x b 与 x 轴交于点 A 4 0 与 y 轴交于点 B 点 C 是线段 OA 上一动点 0 AC 以点 A 为圆心 AC 长为半径作 A 交 x 轴于另一点 D 交线段 AB 于点 E 连结 OE 并延长交 A 于点 F 1 求直线 l 的函数表达式和 tan BAO 的值 2 如图 2 连结 CE 当 CE EF 时 求证 OCE OEA 求点 E 的坐标 3 当点 C 在线段 OA 上运动时 求 OE EF 的最大值 分析 1 利用待定系数法求出 b 即可得出直线 l 表达式 即可求出 OA OB 即可得出结论 2 先判断出 CDF 2 CDE 进而得出 OAE ODF 即可得出结论 设出 EM 3m AM 4m 进而得出点 E 坐标 即可得出 OE 的平方 再根据 的相似得出比例式得出 OE 的平方 建立方程即可得出结论 3 利用面积法求出 OG 进而得出 AG HE 再构造相似三角形 即可得出 结论 解答 解 直线 l y x b 与 x 轴交于点 A 4 0 4 b 0 b 3 直线 l 的函数表达式 y x 3 B 0 3 OA 4 OB 3 第 29 页 共 31 页 在 Rt AOB 中 tan BAO 2 如图 2 连接 DF CE EF CDE FDE CDF 2 CDE OAE 2 CDE OAE ODF 四边形 CEFD 是 O 的圆内接四边形 OEC ODF OEC OAE COE EOA COE EOA 过点 E OA 于 M 由 知 tan OAB 设 EM 3m 则 AM 4m OM 4 4m AE 5m E 4 4m 3m AC 5m OC 4 5m 由 知 COE EOA OE 2 OA OC 4 4 5m 16 20m E 4 4m 3m 4 4m 2 9m2 25m2 32m 16 25m 2 32m 16 16 20m 第 30 页 共 31 页 m 0 舍 或 m 4 4m 3m 3 如图 设 O 的半径为 r 过点 O 作 OG AB 于 G A 4 0 B 0 3 OA 4 OB 3 AB 5 AB OG OA OB OG AG EG AG AE r 连接 FH EH 是 O 直径 EH 2r EFH 90 EGO OEG HEF OEG HEF OE EF HE EG 2r r 2 r 2 r 时 OE EF 最大值为 第 31 页 共 31 页 点评 此题是圆的综合题 主要考查了待定系数法 相似三角形的判定和性 质 锐角三角函数 勾股定理 正确作出辅助线是解本题的关键