初中数学压轴题自编49题

一 2012 朝 阳 一 模 如 图 甲 在 ABC 中 E 是 AC 边 上 的 一 点 1 在 图 甲 中 作 出 以 BE 为 对 角 线 的 平 行 四 边 形 BDEF 使 D F 分 别 在 BC 和 AB 边 上 2 改 变 点 E 的 位 置 则 图 甲 中 所 作 的 平 行 四 边 形 BDEF 有 没 有 可 能 为 菱 形 若 有 请 在 图 乙 中 作 出 点 E 的 位 置 用 尺 规 作 图 并 保 留 作 图 痕 迹 若 没 有 请 说 明 理 由 解 1 过 点 E 分 别 作 ED AB 交 BC 于 点 D EF BC 交 AB 于 点 F 四 边 形 BDEF 即 为 所 求 2 先 作 ABC 的 平 分 线 BE 交 AC 于 点 E 再 过 点 E 分 别 作 ED AB 交 BC 于 点 D EF BC 交 AB 于 点 F 四 边 形 BDEF 即 为 所 求 二 三 四 五 六 七 八 九 十 如 图 ABC 是 边 长 为 3 的 等 边 三 角 形 BDC 是 等 腰 三 角 形 且 BDC 120 以 D 为 顶 点 作 一 个 60 角 使 其 两 边 分 别 交 AB 于 M 交 AC 于 点 N 连 接 MN 则 AMN 的 周 长 为 A 5 B 6 C 7 D 8 十一 十二 十三 十四 十五 十六 十七 十八 如图 在边长为 2 的菱形 ABCD 中 A 60 M 是 AD 边的中点 N 是 AB 边上的一动点 将 AMN 沿 MN 所在直线翻折得到 A MN 连接 A C 则 A C 长度的最小值是 1 解 如图所示 MN MA 是定值 A C 长度的最小值时 即 A 在 MC 上时 过点 M 作 M DC 于点 F 在边长为 2 的菱形 ABCD 中 A 60 CD 2 ADCB 120 FDM 60 FMD 30 FD MD FM DM cos30 MC A C MC MA 1 故答案为 1 二十 如图 已知抛物线 y x 2 x 4 k 为常数 且 k 0 与 x 轴从左至右依次交于 A B 两点 与 x 轴交于点 C 经过点 B 的直线 y x b 与抛物线的另一交点为 D 1 若点 D 的横坐标为 5 求抛物线的函数表达式 2 若在第一象限内的抛物线上有点 P 使得以 A B P 为顶点的三角形与 ABC 相似 求 k 的值 3 在 1 的条件下 设 F 为线段 BD 上一点 不含端点 连接 AF 一动点 M 从点 A 出发 沿线段 AF 以每秒 1 个单位的速度运动到 F 再沿线段 FD 以每秒 2 个单位的速度 运动到 D 后停止 当点 F 的坐标是多少时 点 M 在整个运动过程中用时最少 解答 解 1 抛物线 y x 2 x 4 令 y 0 解得 x 2 或 x 4 A 2 0 B 4 0 直线 y x b 经过点 B 4 0 4 b 0 解得 b 直线 BD 解析式为 y x 当 x 5 时 y 3 D 5 3 点 D 5 3 在抛物线 y x 2 x 4 上 5 2 5 4 3 k 2 由抛物线解析式 令 x 0 得 y k C 0 k OC k 因为点 P 在第一象限内的抛物线上 所以 ABP 为钝角 因此若两个三角形相似 只可能是 ABC APB 或 ABC ABP 若 ABC APB 则有 BAC PAB 如答图 2 1 所示 设 P x y 过点 P 作 PN x 轴于点 N 则 ON x PN y tan BAC tan PAB 即 y x k D x x k 代入抛物线解析式 y x 2 x 4 得 x 2 x 4 x k 整理得 x 2 6x 16 0 解得 x 8 或 x 2 与点 A 重合 舍去 P 8 5k ABC APB 即 解得 k 若 ABC ABP 则有 ABC PAB 如答图 2 2 所示 与 同理 可求得 k 综上所述 k 或 k 3 由 1 知 D 5 3 如答图 2 2 过点 D 作 DN x 轴于点 N 则 DN 3 ON 5 BN 4 5 9 tan DBA DBA 30 过点 D 作 DK x 轴 则 KDF DBA 30 过点 F 作 FG DK 于点 G 则 FG DF 由题意 动点 M 运动的路径为折线 AF DF 运动时间 t AF DF t AF FG 即运动时间等于折线 AF FG 的长度 由垂线段最短可知 折线 AF FG 的长度的最小值为 DK 与 x 轴之间的垂线段 过点 A 作 AH DK 于点 H 则 t 最小 AH AH 与直线 BD 的交点 即为所求之 F 点 A 点横坐标为 2 直线 BD 解析式为 y x y 2 2 F 2 2 综上所述 当点 F 坐标为 2 2 时 点 M 在整个运动过程中用时最少 二十一 二十二 二十三 二十四 二十五 二十六 二十七 二十八 二十九 三十 三十一 三十二 三十三 3 三十四 三十五 三十六 三十七 三十八 三十九 第 25 题 O FEDCAB 图O FEDC AB 四十 如图 已知 AB 是 O 的直径 AB 8 点 C 在半径 OA 上 点 C 与点 O A 不重合 过 点 C 作 AB 的垂线交 O 于点 D 联结 OD 过点 B 作 OD 的平行线交 O 于点 E 交射线 CD 于点 F 1 若 求 F 的度数 2 设 写出 与 之间 yFx x 的函数解析式 并写出定义域 3 设点 C 关于直线 OD 的对称点为 P 若 PBE 为等 腰三角形 求 OC 的长 BE 1 联结 OE BOE EOD EDB OD BF DOE BEO OB OE OBE OEB OBE OEB BOE 60 FCB 90 F 30 2 作 OH BE 垂足为 H DCO OHB 90 OB OD OBE COD HBO COD 2 xBECO OD BF COFD xyx 42 40 2164 xxy 3 COD OBE OBE OEB DOE OEB COD DOE C 关于直线 OD 的对称点为 P 在线段 OE 上 若 PBE 为等腰三角形 当 PB PE 不合题意舍去 当 EB EP 当 BE BP 34 2 x 作 BM OE 垂足为 M 易证 BEM DOC OCEDB x2 4 整理得 负数舍去 17 02 x 综上所述 当 OC 的长为 或 时 PBE 为等腰三角形 342 四十一 已知双曲线 与直线 相交于 A B 两点 第一象限上的点 M m n 在 A 点左kyx 14yx 侧 是双曲线 上的动点 过点 B 作 BD y 轴于点 D 过 N 0 n 作 NC x 轴交双曲 线 于点 E 交 BD 于点 C kyx 1 若点 D 坐标是 8 0 求 A B 两点坐标及 k 的值 2 若 B 是 CD 的中点 四边形 OBCE 的面积为 4 求直线 CM 的解析式 3 设直线 AM BM 分别与 y 轴相交于 P Q 两点 且 MA pMP MB qMQ 求 p q 的值 解 1 D 8 0 B 点的横坐标为 8 代入 中 得 y 2 1yx B 点坐标为 8 2 而 A B 两点关于原点对称 A 8 2 从而 k 8 2 16 2 N 0 n B 是 CD 的中点 A B M E 四点均在双曲线上 mn k B 2m C 2m n E m n 2 2mn 2k mn k mn k DCNOS矩 形 DBOS 12ONS 12 k k 4 BE矩 形 CN矩 形 E 由直线 及双曲线 得 A 4 1 B 4 1 14yx yx C 4 2 M 2 2 设直线 CM 的解析式是 由 C M 两点在这条直线上 得ab 解得 a b 2ab 3 直线 CM 的解析式是 y x 2 3 如图 分别作 AA1 x 轴 MM 1 x 轴 垂足分别为 A1 M 1 DBCENOAMyxQ1 设 A 点的横坐标为 a 则 B 点的横坐标为 a 于是 1ampPO 同理 MmqQ p q 2a 四十二 四十三 四十四 四十五 四十六 四十七 四十八 四十九 五十