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7.1不等关系与不等式2014高考会这样考1.考查有关不等式的命题真假及数式的大小比较；2.考查和函数、数列等知识的综合应用复习备考要这样做1.熟练掌握不等式的性质，并会正确理解和应用；2.对含参数的不等式，要把握分类讨论的标准和技巧1不等式在现实世界和日常生活中，存在着大量的不等关系，不等式是刻画不等关系的数学模型2两个实数比较大小的方法(1)作差法 (a，bR)；(2)作商法 (aR，b0)3不等式的性质(1)对称性：abbb，bcac；(3)可加性：abacbc，ab，cdacbd；(4)可乘法：ab，c0acbc；ab0，cd0acbd；(5)可乘方：ab0anbn(nN，n1)；(6)可开方：ab0 (nN，n2)难点正本疑点清源1在学习不等式的性质时，要特别注意下面几点(1)不等式的性质是解、证不等式的基础，对任意两实数a、b有ab0ab，ab0ab，ab0ab，bc，则ac，这是放缩法的依据，在运用传递性时，要注意不等式的方向，否则易产生这样的错误：为证明ac，选择中间量b，在证出ab，cb后，就误认为能得到ac.(4)同向不等式可相加，但不能相减，即由ab，cd，可以得出acbd，但不能得出acbd.2理解不等式的思想和方法(1)作差法是证明不等式的最基本也是很重要的方法，应引起高度注意，要注意强化(2)加强化归意识，把比较大小问题转化为实数的运算(3)通过复习要强化不等式“运算”的条件如ab、cd在什么条件下才能推出acbd.(4)强化函数的性质在大小比较中的重要作用，加强知识间的联系1已知ab0，且cd0，则与的大小关系是_答案解析ab0，cd0，0， .2已知a0，1bab2a解析由1b0，可得bb21.又aab2a.3限速40 km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40 km/h，写成不等式就是_答案v40 km/h4若mn，pq且(pm)(pn)0，(qm)(qn)0，则m，n，p，q从小到大的顺序是_答案mpqn解析将p，q看成变量，则有mpn，mqn，mpqb1，c；acloga(bc)其中所有的正确结论的序号是_答案解析根据不等式的性质构造函数求解ab1，.又c，故正确构造函数yxc.cb1，acb1，c0，acbc1.ab1，logb(ac)loga(ac)loga(bc)，即logb(ac)loga(bc)，故正确.题型一不等式性质的应用例1已知，求，的取值范围思维启迪：不等式性质的应用是本题的突破点解因为，所以，.所以，.因为，所以0.故0.探究提高(1)利用不等式的性质求范围要充分利用题设中的条件，如本题中的条件；(2)注意“”形式，利用不等式要正确变形 已知1xy4且2xy3，则z2x3y的取值范围是_(答案用区间表示)答案(3,8)解析设2x3ym(xy)n(xy)，解得2x3y(xy)(xy)，1xy4,2xy3，2(xy)，5(xy)，3(xy)(xy)8，即32x3y8，所以z2x3y的取值范围为(3,8)题型二比较大小问题例2已知a1且aR，试比较与1a的大小思维启迪：要判断与1a的大小，只需研究它们差的符号解(1a)，当a0时，0，1a.当a0，1a.当a1时，0，1a.探究提高实数的大小比较常常转化为对它们差(简称作差法)的符号的判定，当解析式里面含有字母时常需分类讨论 (2012四川)设a，b为正实数现有下列命题：若a2b21，则ab1；若1，则ab1；若|1，则|ab|1；若|a3b3|1，则|ab|1，不合题意，故正确中，1，只需abab即可如取a2，b满足上式，但ab1，故错中，a，b为正实数，所以|1，且|ab|()()|1，故错中，|a3b3|(ab)(a2abb2)|ab|(a2abb2)1.若|ab|1，不妨取ab1，则必有a2abb21，不合题意，故正确题型三不等式与函数、方程的综合问题 例3已知f(x)是定义在(，4上的减函数，是否存在实数m，使得f(msin x)f对定义域内的一切实数x均成立？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由思维启迪：不等式和函数的结合，往往要利用函数的单调性和函数的值域解假设实数m存在，依题意，可得即因为sin x的最小值为1，且(sin x)2的最大值为0，要满足题意，必须有解得m或m3.所以实数m的取值范围是.探究提高不等式恒成立问题一般要利用函数的值域，mf(x)恒成立，只需mf(x)min. 已知a、b、c是实数，试比较a2b2c2与abbcca的大小解方法一(作差法)a2b2c2(abbcca)(ab)2(bc)2(ca)20，当且仅当abc时取等号，a2b2c2abbcca.方法二(函数法)记ta2b2c2(abbcca)a2(bc)ab2c2bc，(bc)24(b2c2bc)3b23c26bc3(bc)20，t0对aR恒成立，即a2b2c2abbcca.不等式变形中扩大范围致误典例：(14分)已知1lg 2,2lg 3，求lg 的取值范围易错分析根据不等式性质先解出lg x，lg y的范围，再求lg的范围，错误原因是lg x，lg y的最值不一定能同时取到，这种做法可能扩大所求范围审题视角(1)注意已知条件1lg 2,2lg 3.(2)分析lg 与lg 、lg 的线性关系(3)先将它们表示成lg x、lg y的线性关系规范解答解由变形，得3分令解得5分lg3lg xlg y3ba.7分由得10分ba3，即lg3.12分lg的取值范围是.14分温馨提醒(1)此类问题的一般解法是：先建立待求整体与已知范围的整体的关系，最后通过”一次性“使用不等式的运算求得整体范围；(2)本题也可以利用线性规划思想求解；(3)求范围问题如果多次利用不等式有可能扩大变量取值范围方法与技巧1用同向不等式求差的范围adxybc这种方法在三角函数中求角的范围时经常用到2倒数关系在不等式中的作用.3比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一，比差法的主要步骤为：作差变形判断正负在所给不等式完全是积、商、幂的形式时，可考虑比商失误与防范1abacbc或abacb或a，当ab0时不成立3abanbn对于正数a、b才成立4.1ab，对于正数a、b才成立5注意不等式性质中“”与“”的区别，如：ab，bcac，其中ac不能推出.6求范围问题要整体代换，“一次性”使用不等式性质，注意不要扩大变量的取值范围A组专项基础训练(时间：35分钟，满分：62分)一、填空题(每小题5分，共35分)1下面四个条件中，使ab成立的充分不必要的条件是_(填序号)ab1; ab1； a2b2; a3b3.答案解析由ab1，得ab1b，即ab，而由ab不能得出ab1，因此，使ab成立的充分不必要条件是ab1.不等式是其充要条件，故错误2对于实数a，b，c有下列命题：若ab，则acbc2，则ab；若ab，则a0，b0，不成立；由ac2bc2知c20，则ab，正确；当ab时，0，则a0，bcb解析0lg elg e(lg e)2.acb.4已知pa，qx22，其中a2，xR，则p，q的大小关系是_答案pq解析paa22224，当且仅当a3时取等号因为x222，所以qx2224，当且仅当x0时取等号所以pq.5(2011天津改编)设x，yR，则“x2且y2”是“x2y24”的_条件答案充分不必要解析x2且y2，x2y24，“x2且y2”是“x2y24”的充分条件；而x2y24不一定得出x2且y2，例如当x2且y2时，x2y24亦成立，故“x2且y2”不是“x2y24”的必要条件“x2且y2”是“x2y24”的充分不必要条件6若角、满足，则2的取值范围是_答案解析，2，2，又2()，2a解析cb44aa2(2a)20，cb，已知两式作差得2b22a2，即b1a2，1a2a20，1a2a，b1a2a，cba.二、解答题(共27分)8(13分)已知a，b是正实数，求证：.证明方法一().0，0，()20，()0，.方法二11，a0，b0，0，0，.9(14分)设f(x)ax2bx,1f(1)2,2f(1)4，求f(2)的取值范围解方法一设f(2)mf(1)nf(1) (m，n为待定系数)，则4a2bm(ab)n(ab)，即4a2b(mn)a(nm)b.于是得，解得，f(2)3f(1)f(1)又1f(1)2,2f(1)4，53f(1)f(1)10，故5f(2)10.方法二由，得，f(2)4a2b3f(1)f(1)又1f(1)2,2f(1)4，53f(1)f(1)10，故5f(2)10.方法三由确定的平面区域如图阴影部分，当f(2)4a2b过点A时，取得最小值425，当f(2)4a2b过点B(3,1)时，取得最大值432110，5f(2)10.B组专项能力提升(时间：35分钟，满分：58分)一、填空题(每小题5分，共30分)1设0x，则“xsin2x1”是“xsin x1”的_条件答案必要不充分解析当0x时，0sin x1.由xsin2x1知xsin x，不一定得到xsin x1.反之，当xsin x1时，xsin2xsin x1.故xsin2x1是xsin x1的必要不充分条件2已知a2abac，解析b24ac4(a2abac)(2ab)2.4(a2abac)0，(2ab)20，b24ac，即b24ac0.3设a0，且a1，Ploga(a31)，Qloga(a21)，则P与Q的大小关系是_答案PQ解析Ploga(a31)，Qloga(a21)，a0，a310，a210，a1.又(a31)(a21)a2(a1)0，a31a21，loga(a31)loga(a21)即PQ.4已知f(n)n，g(n)n，(n)(nN*，n2)，则f(n)，g(n)，(n)的大小关系是_答案f(n)(n)g(n)解析f(n)n(n)，f(n)(n)bc0，x，y，z，则x，y，z的大小关系是_答案zyx解析方法一y2x22c(ab)0，yx.同理，zy，zyx.方法二令a3，b2，c1，则x，y，z，故zyx.二、解答题(共28分)7(14分)(1)设xy，xy，求证：.(1)解方法一(x2y2)(xy)(x2y2)(xy)(xy)x2y2(xy)22xy(xy)，xy0，xy0，(x2y2)(xy)(x2y2)(xy)方法二xy0，xyy2，xy0.(x2y2)(xy)0，(x2y2)(xy)0，0(x2y2)(xy)(2)证明.且a，b(0，)，ba0，又xy0，bxay0，0，.8(14分)某商店出售茶壶和茶杯，茶壶每个定价20元，茶杯每个定价5元，该店推出两种优惠方法：(1)买一个茶壶赠送一个茶杯；(2)按总价的92%付款某顾客需购茶壶4个，茶杯若干个(不少于4个)，若设购买茶杯数为x，付款数为y，试分别建立两种优惠方法下的y与x之间的函数关系式，并讨论该顾客买同样多的茶杯时，两种办法哪一种更省钱解由优惠方法(1)得y12045(x4)5x60 (x4)；由优惠方法(2)得y2(5x204)92%4.6x73.6 (x4)y1y20.4x13.6 (x4)，令y1y20，得x34.所以当购买34只茶杯时，两种优惠方法付款相同；当4x34时，y134时，y1y2，方法(2)省钱
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