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第一章 集合与函数概念一、集合有关概念集合的中元素的三个特性：元素的确定性，互异性、无序性非负整数集（即自然数集） 记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R集合的分类：有限集 含有有限个元素的集合；无限集 含有无限个元素的集合；空集 不含任何元素的集合。二、集合间的基本关系1.“包含”关系子集注意：有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA2“相等”关系：A=B (55，且55，则5=5)实例：设 A=x|x-1=0 B=-1,1 “元素相同则两集合相等”即： 任何一个集合是它本身的子集。AA真子集:如果AB,且A B那就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)如果 AB, BC ,那么 AC 如果AB 同时 BA 那么A=B3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。有n个元素的集合，含有个子集，-1个真子集，-1个非空子集，-2个非空真子集数形结合利用图形求解集合问题主要有两种，即韦恩图法和数轴法韦恩图主要用来解决有限散点集合的关系问题数轴则可以用来解决无限集合的关系问题注：解决集合关系中的参量求取一类的问题，需要进行多个验证，以使得最后所求结果没有错误， 1）验证集合是否可能是空集，以及如果是空集是否满足题目的要求2）验证集合中的元素是否满足互异性3）验证题目条件中给出的集合关系是否符合，如AB这样的条件是否符合题目条件中的要求4）验证集合的端点的选取是否符合题目要求5）如果有分类讨论的情况，验证是否将可能的分类都已经讨论完全三、集合的运算注意：集合运算中的一些特殊的例子要学会反向使用，如集合那么说明2和4就是方程的两个根，由韦达定理可以求解a和b的值。如果一个二次方程的根构成的集合对应一个单元素集合，那么切记不需要把这个根代入方程，只需要让，而后用韦达定理解决就可以。一些特殊的条件的使用： 等各自说明什么条件需要十分清晰。判断过程可借助韦恩图。其中要注意以及中，不仅仅有他们无公共部分这一个情况，还有可能A或者B或者CuB中一个或多个是空集的情况。讨论需要完全。题目中经常会出现诸如定轴动区间或者定轴动区间等这样的问题，则只需要按照画定判动找节点分类讨论综合作答（检验各种条件是否满足）来做运算类型交 集并 集补 集定 义由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集记作AB（读作A交B），即AB=x|xA，且xB由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集记作：AB（读作A并B），即AB =x|xA，或xB)设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）记作，即CSA=韦恩图示SA性 质AA=A A=AB=BAABA ABBAA=AA=AAB=BAABABB(CuA) (CuB)= Cu (AB)(CuA) (CuB)= Cu(AB)A (CuA)=UA (CuA)= 四、函数的有关概念函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数记作： y=f(x)，xA其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)| xA 叫做函数的值域一定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。求取函数的定义域，主要分成三个问题：一 已知函数解析式，求取函数的定义域需要注意以下几个方面：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；指数、对数式的底必须大于零且不等于1.(4) y=tan中的满足(5) 零次幂的底数不等于零PS: 如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.二，实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.三，复合函数的定义域求取： 类型一 已知f（x）定义域，求取f（g（x）的定义域 此类型的题目采用使g（x）的值域为f（x）的定义域，从而求解相应x的范围，得到f（g（x）的定义域的方法。即求取使得g（x）的值域为f（x）定义域的x 的范围充当f（g（x）定义域如 已知f（x）定义域为1,4，则f（3x-2）的定义域为多少？ 类型二，已知f（g（x）的定义域，求取f（x）的定义域 此类型的题目，利用已知的定义域，这个定义域是g（x）中x的范围，可以利用它求出g（x）相应的值域，以此作为f（x）的定义域，即求取g（x）值域，充当f（x）定义域。如 已知f（x）定义域为1,4，则f（3x-2）的定义域为多少？类型三，已知f（g（x）的定义域，求取f（h（x）的定义域 此类型题目，采用先求取f（x）定义域的方法，利用f（g（x）的定义域求取f（x）的定义域，再利用f（x）的定义域，求取f（h（x）的定义域。如 已知f（2x+1）定义域为1,4，则f（3x-2）的定义域为多少？注意： 1 在求取定义域的过程中，不能简单的认为端点值就是最大或者最小值，要根据函数的不同求取相应范围，在二次函数，三角函数等不是在整个定义域上单调的函数中尤其要注意此点。2 如果需要用到取倒数的范围时，要记得取倒数的过程要保证符号不发生改变，如 t1,5,则；但如果 t-1,5，则不能简单的取倒数换位置，而应该分成-1,0和0,5两个部分分别取倒数，即3 要注意范围中括号的选取，即开闭区间的区别，尤其在二次函数和三角函数中，这样的注意非常重要，如x（0,5）则x-2x+3的对称轴为x=1，在（0,5）内部，故这个函数在（0,5）内的最小值在x=1处取得，而最大值应为x=5时的函数值，但由于是开区间，所以取不到，所以x-2x+32,18);切不可认为x的范围是一个什么样的区间，后面所求的范围就是形状相同的区间。另外，如已知x（-1,2,则-x-2,1）诸如此类，均需慎重考虑开闭区间的选择，不可想当然。最后还需注意一般，区间左边的数字要小于右边的，不要出现（3,2）这样的低级失误。如左右两边的数字大小不能确定，则应当分情况讨论之，如2a和3a-1相同函数的判断方法：表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；定义域一致 (两点必须同时具备)二值域 求取任何函数的值域，必须先考虑其定义域具体用来求取值域的方法(1)观察法 对一些范围显而易见的函数，可以采用观察法来求解，利用观察法求取值域是使用最多的方法，即函数的某个部分可以观察出相应的取值范围，之后利用这个范围通过一些变换即可得到最终函数的值域，如 y= y= +1 y=等均可以使用观察法。利用观察法需要注意范围求取中的一些注意，见定义域的注意中的第三条。(2)换元法 对于形式接近于我们所熟知的函数的函数，可以利用换元法，最常用的换元法是二次型函数如 y= y=sinx-sinx+4等(3)分离常数法对形如这样的式子可以采用分离常数的方法，即此时即可利用观察法求取其相应范围（4）判别式法对于形如 这样的式子，只要其分母dx+ex+f满足相应的0，即使得这个函数的定义域为R，则可以利用判别式法求解，其方法是将分式的分母乘到函数的左面，构成一个关于x 的一元二次方程，令y为其中的参量，之后满足0即可如 得，此时切记要分情况讨论，当y=1时，x= -1，符合条件，当y1时，判别式0，求得y的范围，最后和y=1做并集即可判别式法求值域要记得两个要求，第一，定义域为R,第二，获得关于x的方程后，一定要记得讨论二次项系数是否为零。三 解析式（1）.函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.（2）求函数的解析式的主要方法有： 1 换元法换元法主要用来解决复合函数的解析式的求取，如已知f（2x+1）=x-x，求f（x）解析式这样的题目只需要令t=2x+1，之后得到一个用t表示x的式子，然后将用t表示的x带入原来的解析式中即可，但是一定要注意换定义域，如f（sinx）=sinx，还原后得到f（x）=x，但是我们知道，这里的t=sinx这一步中，t只能在-1,1之间，故而，这个函数需要标注定义域为x-1,12 凑配法凑配法也是用来求解复合函数的解析式，一般在一些复合函数中，不容易得到用t表示x的式子，则我们就去寻找括号内的部分与最终解析式之间的关系，从而完成解析式求取，如 ，求取时发现，即，于是令，就可以得到f（t）=t-2，即f（x）=x-2 换元法和凑配法都是用来求解复合函数解析式，换言之，求解复合函数解析式的题目，一般采用换元法和凑配法来解决。3 待定系数法 待定系数法主要用来求解已知函数类型的函数解析式的求取，在题目中，如果出现诸如一次函数f（x），二次函数f（x），指数函数f（x）等词，则是使用待定系数法的标志。另外，已知含参量的函数解析式，也经常使用待定系数法，如已知f（x）=是定义在R上的奇函数，求解析式。 待定系数法的大体思路是将已知的点的坐标带入函数中，得到一些关于参量的方程，之后求解方程组得到参量的值，进而继续求解相应问题。如已知二次函数过点（1,2）（0,0）（3,3）求解此函数的解析式等4 构造方程组法 有的题目中，解析式存在于一个关系式中，如，这样的式子中，我们采用令x=-x，然后得到又一个关于f（x）和f（-x）的式子，消去f（-x）即可得到所求解析式对等含倒数的同样适用。一般，在一个关系式中，存在两个或两个以上的f，且自变量之间存在诸如倒数相反数这样易于互化的关系时，我们采用构造方程组的方法。5.分段函数解析式的求取 分段函数满足：(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。(2)各部分的自变量的取值情况不同(3)分段函数值域是各段值域的并集求取分段函数的解析式，一般会给出一个部分的解析式，之后给出二者之间的关系，然后求取一个未知部分的函数的解析式一般的方法是： 设未知，转已知，利用关系化为方程如已知奇函数f（x）在x0时的解析式y=x+x+1，则求这个函数的解析式采用设出x0的部分的x之后发现-x就在已知的范围内了，带入后利用奇函数的性质可以求取得到相应的结果。四映射对于映射f：AB来说，则应满足：(1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；(2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。五函数的性质1.函数的单调性(局部性质)（1）增函数设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间.如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2 时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.注意：函数的单调性是函数的局部性质； (2).函数单调区间与单调性的判定方法(A) 定义法： 任取x1，x2D，且x11，且*负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作。当是奇数时，当是偶数时，2分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定：，0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义3实数指数幂的运算性质（1）； （2）；（3）（二）指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地，函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和12、指数函数的图象和性质利用函数的单调性，结合图象还可以看出：（1）在a，b上，值域是或；（2）对R中的任何数x，若，则； （3）对于指数函数，总有；指数式比较大小的时候通常有三种情况，即两个指数式底数相同时，根据指数函数单调性解决之。如两个指数式指数相同时，则根据幂函数单调性解决之，如如果两个指数式的底数和真数都不相同，则通常以1作为中间值来解决，如指数型函数过得定点，如这个函数过得定点就是（4,4），计算过程只需要让指数式的指数等于0，求得x，进而计算得到y即可。a10a10a1定义域x0定义域x0值域为R值域为R在R上递增在R上递减函数图象都过定点（1，0）函数图象都过定点（1，0）对数式比较大小的时候通常有三种情况，即两个对数式底数相同时，根据指数函数单调性解决之。如两个对数式指数相同时，则有多种方法，可根据图像，也可换底解决之，如如果两个对数式的底数和真数都不相同，则通常以0作为中间值来解决，如对数型函数过得定点，如这个函数过得定点就是（2,1），计算过程只需要让对数式的真数等于0，求得x，进而计算得到y即可。（三）幂函数1、幂函数定义：一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数2、幂函数性质归纳（1）所有的幂函数在（0，+）都有定义并且图象都过点（1，1）；（2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；（3）时，幂函数的图象在区间上是减函数在第一象限内，当从右边趋向原点时幂函数部分要求能画出简单的一二三次函数的图像以及反比例函数的图像。并且在基本初等函数章节，要求能画出双钩函数的图像，并且会加以利用第三章 函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。2、函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。注意：零点不是点即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点3、函数零点的求法： （代数法）求方程的实数根； （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点5，零点的存在性定理对于连续不断的函数f（x）如果在区间（a，b）上，有f（a）f（b）0，则存在c（a，b），使得f（c）=0这个定理经常用来求取零点的存在区间，或者比较两个函数的大小，如，在哪个区间上存在一个x使得f（x）=g（x）这样的问题，就可以使用构造h（x）=f（x）-g（x），判断h（x）的零点未知即可在做应用题的时候，记得一定要明确每一个未知量的意义，如果题目中没有给出就一定要用设说明，并且解答应用题的过程要尽可能详细，不能跨越太大。求解应用题的关键点在于找到应用题中所蕴涵的函数关系，而这个关系通常是一个等式，所以应当在题目中注意寻找谁谁谁等于谁谁谁这样的句子，或者某个量和某个量之间成倍数或比例关系等，找到函数关系后马上要明确自变量的取值范围。最后，要格外注意单位的选择和统一，以及选取未知量的可行范围，不能出现诸如价格是负数等笑话型错误。
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