二次函数与一元二次方程关系解题技巧

一 一元二次方程及其解法解题技巧 类型一 巧用一元二次方程的定义解题 例 1 若关于 x 的方程 是一元二次方程 则 解析 一元二次方程的定义中包含三要素 1 只含有一个未知数 2 未知数的最高次数为 2 3 整式方程 依题意 得 解得 答案 小结 有关一元二次方程的概念 要把握住未知数的最高次数为 2 且二次项的系数不为 0 还要 是整式方程 类型二 巧用一元二次方程的根的意义解题 例 2 关于 的一元二次方程 的一个根是 0 则 的值是 解析 把 0 代入一元二次方程 即可得到关于 的一元二次方程 从而求得 但二次项的系数 即 所以 答案 小结 将已知的一元二次方程的根代入该方程中即可求出字母系数的值 但要注意二次项系数不 为零这一隐含条件 例 3 已知 是方程 的两根 且 则 的值等于 A 5 B 5 C 9 D 9 解析 由于 m n 是方程 的根 将 m n 代入该方程可得 m2 2m 1 0 n 2 2n 1 0 即 m2 2m 1 n 2 2n 1 变形 得 7m2 14m 7 3n 2 6n 3 因此 7 a 3 7 8 所以 a 9 答案 C 小结 从方程的根入手 将其根代入方程 进而构造出一个新的方程 在解本题的过程中 还应 用了整体的思想 同时要注意把握条件与结论之间的关系 即括号中的 7m2 14m 3n 2 6n 与已知方程之 间的关系 从而使问题得到快速求解 类型三 巧构一元二次方程的根 例 4 已知一元二次方程 为常数 满足 则该方程的一根必为 解析 结合一元二次方程根的定义 当 时 满足方程左 右两边都相等 由此判断方程的 一根必为 x 答案 x 小结 估算一元二次方程的根时 应结合根的意义 通过观察 比较得出 类型四 判断一元二次方程根的范围 例 5 根据下列表格中的对应值 判断方程 为常数 的一 个解 的范围是 6 17 6 18 6 19 6 20 A B C D 解析 由表格中的数据发现 当 x 6 18 时 代数式 的值为 0 01 当 x 6 19 时 代数式 的值为 0 02 要从表格中判断 0 的解 可发现未知数 x 的值应处于 6 18 到 6 19 之间 答案 C 小结 解决本题的关键在于理解根的意义 使方程左右两边相等的未知数的值就是该方程的解 类型五 与一元二次方程的根有关的开放题 例 6 已知关于 的一元二次方程的一个根是 1 写出一个符合条件的方程 解析 答案不唯一 可先写出二次项 再写出一次项 最后写能使该方程有一根为 1 的常数项 答案 答案不唯一 如 即 等 二 实际问题与一元二次方程解题技巧 近几年有关一元二次方程的应用题在中考中经常出现 此类题大多以现实生活中的热点新闻 热点 事件为背景 形式多变 主要是考查分析问题 解决问题能力 1 列一元二次方程解应用题的一般步骤 1 审 2 设 3 列 4 解 5 检验 6 答 2 一元二次方程的应用 常见问题 常用规律 技巧 方法 增长率 减少率 一元二次方程 的应用 几何问题 借助面积或体积 相关图形的性质及内在关系 倍数传播 市场经济 销售利润 每件的利润 件数 数字问题 用相关的代数式表示数 类型一 增长率 减少率问题 例 1 长沙市某楼盘准备以每平方米 5000 元的均价对外销售 由于国务院有关房地产的新政策出 台后 购房者持币观望 为了加快资金周转 房地产开发商对价格经过两次下调后 决定以每平方米 405 0 元的均价开盘销售 1 求平均每次下调的百分率 2 某人准备以开盘均价购买一套 100 平方米的房子 开发商还给予以下两种优惠方案以供选择 打 9 8 折销售 不打折 送两年物业管理费 物业管理费是每平方米每月 1 5 元 请问哪种方案更优 惠 分析 1 设平均每次下调的百分率为 x 根据第一次下调后为 第二次下调后为 列方程求解即可 2 从购房和物业费两方面 比较方案 方案 即可 解 1 设平均每次下调的百分率为 x 根据题意 得 解得 10 不合题意舍去 所以平均每次下调的百分率为 10 2 方案 的房款是 4050 100 0 98 396900 元 方案 的房款是 4050 100 1 5 100 12 2 401400 元 396900 401400 选方案 更优惠 小结 增长 降低 率是列方程解实际问题最常见的题型之一 对于平均增长率问题 正确理解 有关 增长 问题的一些词语的含义是解答这类问题的关键 常见的词语有 增加 增加到 增加 了几倍 增长到几倍 增长率 等等 弄清基数 增长 减少 后的量及增长 减少 次数 平均 增长率公式为 为基数 为平均增长率 为增长次数 为增长后的量 同时解出 未知数的值是否符合题意一定要考虑清楚 类型二 病毒倍数传播问题 例 2 某种电脑病毒传播非常快 如果一台电脑被感染 经过两轮感染后就会有 81 台电脑被感染 请你用学过的知识分析 每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑 若病毒得不到有效控制 3 轮感染 后 被感染的电脑会不会超过 700 台 分析 设一台每轮感染给 x 台电脑 则第一轮后有 1 x 台 经过第二轮感染后 共有 解 设每轮感染中平均一台电脑会感染 x 台电脑 依题意 得 解得 x 8 或 10 负值不合题意 舍去 700 若病毒得不到有效控制 3 轮感染后 被感染的电脑会超过 700 台 小结 传播与裂变 问题在现实生活中是广泛存在的 常见的类型包括细胞分裂 信息传播 传染扩散 单循环赛等 是近年中考的热点与亮点 尤其是病毒传播速度成几何级数增长 随着传播轮数 的增加 数量是十分惊人的 一定要画好分析图 尤其是要弄清每轮传播的源头与传播后的总和 解这类 问题的关键是理解题意 设出适当的未知数列方程求解 类型三 几何图形问题 例 3 在一块长 16 m 宽 12 m 的矩形荒地上 要建造一个花园 要求花园面积是荒地面积的一 半 下面分别是小华与小芳的设计方案 同学们都认为小华的方案是正确的 但对小芳的方案是否符合条件有不同意见 你认为小芳的方案 符合条件吗 若不符合 请用方程的方法说明理由 分析 设小路宽度为 m 则花园的长为 花园的宽为 根据面积可得方 程 解 1 不符合 设小路宽度均为 m 根据题意得 解这个方程得 但 不符合题意 应舍去 小芳的方案不符合条件 小路的宽度应均为 2 m 小结 几何图形问题一般是只给出一个几何图形 常见的有三角形 特殊四边形 要求在其四 周设计边衬或对其进行分割 裁剪 设计一个新的图形或图案 在有关几何图形的面积表示中 通常有三 种处理办法 直接表示 间接表示与变换表示 解决有关面积问题时 要注意将不规则图形分割成或组合 成规则图形 找出各部分面积之间的关系 再利用规则图形的面积公式列出方程求解 进而对方程的根进 行取舍 类型四 市场经济与其它问题 例 4 某批发商以每件 50 元的价格购进 800 件 T 恤 第一个月以单价 80 元销售 售出了 200 件 第二个月如果单价不变 预计仍可售出 200 件 批发商为增加销售量 决定降价销售 根据市场调查 单价每降低 1 元 可多售出 10 件 但最低单价应高于购进的价格 第二个月结束后 批发商将对剩余的 T 恤一次性清仓销售 清仓时单价为 40 元 设第二个月单价降低 x 元 1 填表 不需要化简 时间 第一个月 第二个月 清仓时 单价 元 80 40 销售量 件 200 2 如果批发商希望通过销售这批 T 恤获利 9000 元 那么第二个月的单价应是多少元 分析 1 由 第二个月单价降低 x 元 知第二个月的单价为 80 x 销售量为 200 10 x 件 清仓时为总数量分别减去前面两个月的剩余量 即 800 200 200 10 x 2 销售额 成本 利润 由 获利 9000 元 建立方程进行求解 解 1 80 x 200 10 x 800 200 200 10 x 2 根据题意 得 80 200 80 x 200 10 x 40 800 200 200 10 x 50 800 9000 整理 得 x2 20 x 100 0 解这个方程得 x1 x2 10 当 x 10 时 80 x 70 50 答 第二个月的单价应是 70 元 小结 市场经济问题 纳税 利息 分期付款 销售利润 匀变速运动 古诗词等问题都是值 得关注 解答这问题时 不论背景如何变化 一定要抓住 关键词语 寻找等量关系 并注意根据实际意 义对所列一元二次方程进行合理的取舍 例 5 百货大搂服装柜台在销售中发现 宝乐 牌童装平均每天可售出 20 件 每件盈利 40 元 为了迎接 十一 国庆节 商场决定采取适当的降价措施 扩大销售量 增加盈利 尽快减少库存 经市 场调查发现 如果每件童装降价 4 元 那么平均每天就可多售出 8 件 要想平均每天在销售这种童装上盈 利 1200 元 那么每件童装应降价多少 分析 每件的利润是 40 x 元 因每件童装降价 4 元 那么平均每天就可多售出 8 件 则件数为 件 抓住总利润列出方程进行求解 解 设每件童装应降价 x 元 则 解得 因为 要尽快减少库存 所以 x 20 答 每件童装应降价 20 元 小结 本题主要的数量关系是 销售利润 每件利润 件数 理解商品的销售的件数及商品价格的 关系是解答本题的关键 三 二次函数及其图象解题技巧 类型一 抛物线的平移问题 抛物线的平移问题 可以首先研究其顶点的平移问题 因此 一般要将其解析式转化为顶点式 例 1 把抛物线 y x 2 bx c 的图象向右平移 2 个单位再向下平移 3 个单位 所得图象的解析式为 y x 2 2x 3 则 b c 的值为 A b 2 c 2 B b 2 c 0 C b 2 c 1 D b 3 c 2 分析 y x 2 2x 3 x 2 2x 1 4 x 1 2 4 这个函数图象的顶点坐标为 1 4 故原 抛物线的顶点坐标为 1 1 验证 1 1 1 4 y x2 bx c 可化为 y x 1 2 1 即 y x2 2x b 2 c 0 答案 B 类型二 抛物线的旋转和轴对称变换 将抛物线绕顶点旋转 180 开口方向发生改变 顶点的坐标不变 抛物线的轴对称变换问题 也是 从顶点的轴对称变换开始切入 例 2 将抛物线 y 2x 2 12x 16 绕它的顶点旋转 180 所得抛物线的解析式是 A y 2x2 12 x 16 B y 2x 2 12x 16 C y 2x 2 12x 19 D y 2x 2 12x 20 分析 将 y 2 x2 12x 16 化为顶点式 得 y 2 x 3 2 2 该抛物线的顶点坐标为 3 2 将该抛物线绕顶点旋转 180 后 顶点仍然是 3 2 解析式中二次项的系数变为 2 所以所得抛 物线的解析式为 y 2 x 3 2 2 即 y 2x 2 12x 20 答案 D 类型三 抛物线的对称性 重点 例 3 如图 抛物线 y ax 2 bx c a 0 的对称轴是直线 x 1 且经过点 P 3 0 则 a b c 的值是 A 0 B 1 C 1 D 2 分析 该抛物线的对称轴为直线 x 1 又经过点 P 3 0 利用抛物线的对称性可知该抛 物线还要经过点 1 0 因此 a b c 0 答案 A 类型四 函数 y ax2 bx c a 0 的增减性 二次函数的增减性通常要结合其图象研究 明确开口方向及对称轴的位置 是研究的前提条件 例 4 已知二次函数 y ax 2 bx c a 0 中 其函数 y 与自变量 x 之间的部分对应值如下表所示 x 0 1 2 3 4 y 4 1 0 1 4 若点 A x 1 y 1 B x 2 y 2 在该函数的图象上 则当 1 x 1 2 3 x 2 4 时 y 1 与 y2 的大小关 系正确的是 A y 1 y2 B y 1 y 2 C y 1 y 2 D y 1 y 2 分析 从表中可以发现 x 1 和 x 3 时 y 的值都是 1 说明函数图象的对称轴为直线 x 2 顶点 坐标为 2 0 这时函数值最小 故该抛物线的开口向上 又因为 1 x 1 2 3 x 2 4 所以点 A x 1 y 1 和点 B x 2 y 2 分别位于对称轴的左右两侧 且点 A x 1 y1 比点 B x 2 y 2 到对称轴的距离近 因此 y1 y 2 答案 B 类型五 根据条件确定最大值和最小值 例 5 当 2 x 3 时 二次函数 y x 2 2x 3 的最大值为 最小值为 分析 y x 2 2x 3 x 1 2 2 该函数图象的顶点为 1 2 画出满足条件 2 x 3 的图象 如图所示 当 x 1 时 y 有最小值 其最小值为 2 当 x 2 时 y 有最大值 其最大值为 11 答案 11 2 类型六 利用 配方法 求特殊函数的最大 小 值 例 6 1 求函数 y x x 0 的最小值 2 已知矩形的面积为 a 一条边的长为 x 当 x 为何值时 矩形的周长 y 最小 这个最小值是多 少 分析 可设法将 x 配方 解 1 y x x 0 2 当 即 x 1 时 y 有最小值 最小值为 2 2 y 2 x x 0 当 即 x 时 y 有最小值 其最小值为 4 当 x 时 矩形的周长 y 最小 最小值为 4 四 二次函数与一元二次方程关系解 题技巧 类型一 抛物线的交点式 重点 一般地 若二次函数的图象与 x 轴交于 A x 1 0 B x 2 0 两点 则其解析式可设为 交点式 即 y a x x 1 x x 2 例 1 已知抛物线 y ax 2 bx c a 0 与 x 轴交于 A x1 0 B x 2 0 两点 与 y 轴交于点 C 0 4 其中 x1 x 2 是方程 x2 4x 12 0 的两根 且 x1 x 2 求抛物线的解析式 分析 已知抛物线与 x 轴的交点为 x 1 0 x 2 0 故可设其解析式为 y a x x 1 x x 2 解 方程 x2 4x 12 0 的解为 2 x 2 6 故可设已知的抛物线的解析式为 y a x 2 x 6 由 x 0 时 y 4 得 4 a 2 6 a 该抛物线的解析式为 y x 2 x 6 即 y x2 x 4 名师点睛 虽然本题也可以利用给出的 一般式 来确定抛物线的解析式 但是没有设成 交点 式 简单 例 2 如图 二次函数 y ax 2 bx c a 0 的图象与 x 轴交于 A B 两点 与 y 轴交于 C 点 如果 O B OC OA 那么 b 的值是 A 2 B 1 C D 分析 设 OB OC OA c 则 A B 两点的坐标分别为 A 2c 0 B c 0 故可设抛物线的解析式为 y a x 2c x c 即 y ax 2 acx 2ac 2 又 OC c 点 C 的坐标为 0 c 代入解析式 得 2ac 2 c ac c 0 b ac 答案 D 类型二 根据图象观察方程的解 通过二次函数 y ax2 bx c a 0 的图象 不仅可以观察一元二次方程 ax2 bx c 0 的解的情况 还可 以发现与之相关的一些方程的解的情况 例 3 如图所示 已知二次函数 y ax 2 bx c a 0 的图象的顶点坐标为 1 8 则一元二次方 程 ax2 bx c 8 0 的根的情况是 A 有两个不相等的实根 B 有两个异号实根 C 有两个相等实根 D 没有实根 分析 二次函数 y ax 2 bx c 的最大值是 8 因此 ax2 bx c 8 只有当 x 1 时等号成立 因此方 程 ax2 bx c 8 即 ax2 bx c 8 0 有两个相等实根 即 x1 x 2 1 答案 C 方法归纳 观察本题的图象 研究一元二次方程 ax2 bx c k 的解的情况 可以发现 当 k 8 时 方程有两个不相等的实根 当 k 8 时 方程有两个相等的实根 当 k 8 时 方程没有实根 类型三 根据图象观察不等式的解集 利用二次函数的图象 还可以观察一些不等式的解集 例 4 抛物线 y x 2 bx c 的部分图象如图所示 若 y 0 则 x 的取值范围是 分析 通过观察图象可以发现抛物线的对称轴为直线 x 1 与 x 轴的右交点的坐标为 1 0 利用对称性可以推断出抛物线与 x 轴的左交点的坐标为 3 0 要使 y 0 则 3 x 1 答案 3 x 1 例 5 已知函数 y1 x 2与函数 y2 x 3 的图象大致如图 若 y1 y 2 则自变量 x 的取值范围是 A x 2 B x 2 或 x C 2 x D x 2 或 x 点石成金 本题中 y1 y 2 时 取两边 y1 y 2 时 取中间 分析 观察图象可以发现 位于点 A B 之间的部分 有 y1 y 2 成立 而此时 x 的取值范围有选 项 A 选项 C 两种选择 进一步观察图象又可以发现 A 到 y 轴的距离大于 B 到 y 轴的距离 所以答案只 能是 2 x 此外本题也可以通过解方程组求出 A B 两点的坐标 然后再判断 答案 C 名师点睛 此题若改成 y1 y 2 则 x 的取值范围是 x 2 或 x 例 6 如图 抛物线 y2 x 2 1 与双曲线 y1 的交点 A 的横坐标是 1 则不等式 x2 1 0 的解集是 A x 1 B x 1 C 0 x 1 D 1 x 0 分析 先把 x2 1 0 化为 x 2 1 再讨论函数 y1 的图象与 y3 x 2 1 的图象之间的 关系 作抛物线 y2 x 2 1 关于原点成中心对称的抛物线 y3 x 2 1 可以发现抛物线 y3 x 2 1 与双曲 线 y1 的交点的横坐标为 1 观察图象可发现当 1 x 0 时 y 1 y 3 即 x 2 1 x2 1 0 答案 D 类型四 根据图象确定代数式的取值范围 根据二次函数 y ax2 bx c a 0 的图象可以发现一些含有 a b c 的代数式的取值范围 例 7 已知二次函数 y ax 2 bx c a 0 的图象如图所示 则下列结论中正确的个数有 abc 0 b 2 4ac 0 8 a c 0 9a 3 b c 0 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 分析 图象开口向上 a 0 对称轴在 y 轴的右侧 a b 异号 b 0 图象与 y 轴 的交点在 x 轴的下方 故 c 0 abc 0 正确 抛物线与 x 轴有两个交点 b 2 4ac 0 正确 令 x 2 则 y 2 2a 2 b c 4a 2b c 又 1 b 2a y 4a 2b c 8a c 又 x 2 时 y 0 8a c 0 正确 利用抛物线的对称性可知 x 3 和 x 1 时 y 的值相等 且都有 y 0 而 x 3 时 y 9a 3b c 9a 3b c 0 正确 综上所述正确结论的个数为 4 答案 D 方法归纳 设二次函数的解析式为 y ax 2 bx c a 0 代数式 确定符号 a b c 看 x 1 时 y 的值 4a 2b c 看 x 2 时 y 的值 2a b 看对称轴与直线 x 1 或 x 1 的位置关系 看顶点的纵坐标 例 8 如图 抛物线 y ax 2 bx c a 0 与 x 轴的一个交点 A 在 2 0 和 1 0 之间 包 括这两点 顶点 C 是矩形 DEFG 上 包括边界和内部 的一个动点 则 1 abc 0 2 a 的取值范围是 分析 1 因为图象开口向下 所以 a 0 对称轴在 y 轴右边 所以 b 0 与 y 轴的交点在 y 轴的正半轴上 所以 c 0 综合可得 abc 0 2 以 D 1 3 为顶点 经过点 1 0 的抛物线的 张口 最小 设这条抛物线为 y a 1 x 1 2 3 令 x 1 y 0 得 a1 以 F 为顶点经过点 2 0 的抛物线的 张口 最大 设这条抛物线为 y a 2 x 3 2 2 令 x 2 y 0 得 a2 a 的取值范围是 a 答案 1 2 a