山东烟台2018年中考数学试卷及答案解析(Word版)

2018 年山东烟台中考数学试卷 一 选择题 本题共 12 个小题 每小题 3 分 满分 36 分 每小题都给出标号为 A B C D 四个备选答案 其中有且只有一个是正确的 1 3 分 的倒数是 A 3 B 3 C D 2 3 分 在学习 图形变化的简单应用 这一节时 老师要求同学们利用图 形变化设计图案 下列设计的图案中 是中心对称图形但不是轴对称图形的是 A B C D 3 3 分 2018 年政府工作报告指出 过去五年来 我国经济实力跃上新台 阶 国内生产总值从 54 万亿元增加到 82 7 万亿元 稳居世界第二 82 7 万亿 用科学记数法表示为 A 0 827 1014 B 82 7 10 12 C 8 27 1013 D 8 27 10 14 4 3 分 由 5 个棱长为 1 的小正方体组成的几何体如图放置 一面着地 两 面靠墙 如果要将露出来的部分涂色 则涂色部分的面积为 A 9 B 11 C 14 D 18 5 3 分 甲 乙 丙 丁 4 支仪仗队队员身高的平均数及方差如下表所示 甲 乙 丙 丁 平均数 cm 177 178 178 179 方差 0 9 1 6 1 1 0 6 哪支仪仗队的身高更为整齐 A 甲 B 乙 C 丙 D 丁 6 3 分 下列说法正确的是 A 367 人中至少有 2 人生日相同 B 任意掷一枚均匀的骰子 掷出的点数是偶数的概率是 C 天气预报说明天的降水概率为 90 则明天一定会下雨 D 某种彩票中奖的概率是 1 则买 100 张彩票一定有 1 张中奖 7 3 分 利用计算器求值时 小明将按键顺序为 显示结果记为 a 的显示结果记为 b 则 a b 的大小关系为 A a b B a b C a b D 不能比较 8 3 分 如图所示 下列图形都是由相同的玫瑰花按照一定的规律摆成的 按此规律摆下去 第 n 个图形中有 120 朵玫瑰花 则 n 的值为 A 28 B 29 C 30 D 31 9 3 分 对角线长分别为 6 和 8 的菱形 ABCD 如图所示 点 O 为对角线的交 点 过点 O 折叠菱形 使 B B 两点重合 MN 是折痕 若 B M 1 则 CN 的长 为 A 7 B 6 C 5 D 4 10 3 分 如图 四边形 ABCD 内接于 O 点 I 是 ABC 的内心 AIC 124 点 E 在 AD 的延长线上 则 CDE 的度数为 A 56 B 62 C 68 D 78 11 3 分 如图 二次函数 y ax2 bx c 的图象与 x 轴交于点 A 1 0 B 3 0 下列结论 2a b 0 a c 2 b 2 当 1 x 3 时 y 0 当 a 1 时 将抛物线先向上平移 2 个单位 再向右平移 1 个单位 得到抛物线 y x 2 2 2 其中正确的是 A B C D 12 3 分 如图 矩形 ABCD 中 AB 8cm BC 6cm 点 P 从点 A 出发 以 lcm s 的速度沿 A D C 方向匀速运动 同时点 Q 从点 A 出发 以 2cm s 的速 度沿 A B C 方向匀速运动 当一个点到达点 C 时 另一个点也随之停止 设 运动时间为 t s APQ 的面积为 S cm 2 下列能大致反映 S 与 t 之间函数 关系的图象是 A B C D 二 填空题 本大题共 6 个小题 每小题 3 分 满分 18 分 13 3 分 3 14 0 tan60 14 3 分 与最简二次根式 5 是同类二次根式 则 a 15 3 分 如图 反比例函数 y 的图象经过 ABCD 对角线的交点 P 已知点 A C D 在坐标轴上 BD DC ABCD 的面积为 6 则 k 16 3 分 如图 方格纸上每个小正方形的边长均为 1 个单位长度 点 O A B C 在格点 两条网格线的交点叫格点 上 以点 O 为原点建立直角 坐标系 则过 A B C 三点的圆的圆心坐标为 17 3 分 已知关于 x 的一元二次方程 x2 4x m 1 0 的实数根 x1 x 2 满足 3x1x2 x1 x2 2 则 m 的取值范围是 18 3 分 如图 点 O 为正六边形 ABCDEF 的中心 点 M 为 AF 中点 以点 O 为圆心 以 OM 的长为半径画弧得到扇形 MON 点 N 在 BC 上 以点 E 为圆心 以 DE 的长为半径画弧得到扇形 DEF 把扇形 MON 的两条半径 OM ON 重合 围成圆锥 将此圆锥的底面半径记为 r1 将扇形 DEF 以同样方法围成的圆锥的 底面半径记为 r2 则 r1 r 2 三 解答题 本大题共 7 个小题 满分 66 分 19 6 分 先化简 再求值 1 其中 x 满足 x2 2x 5 0 20 8 分 随着信息技术的迅猛发展 人们去商场购物的支付方式更加多样 便捷 某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷 要求每人选且只选一种你最喜 欢的支付方式 现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图 请 结合图中所给的信息解答下列问题 1 这次活动共调查了 人 在扇形统计图中 表示 支付宝 支付的扇 形圆心角的度数为 2 将条形统计图补充完整 观察此图 支付方式的 众数 是 3 在一次购物中 小明和小亮都想从 微信 支付宝 银行卡 三种支付方 式中选一种方式进行支付 请用画树状图或列表格的方法 求出两人恰好选择 同一种支付方式的概率 21 8 分 汽车超速行驶是交通安全的重大隐患 为了有效降低交通事故的发 生 许多道路在事故易发路段设置了区间测速如图 学校附近有一条笔直的公 路 l 其间设有区间测速 所有车辆限速 40 千米 小时数学实践活动小组设计了 如下活动 在 l 上确定 A B 两点 并在 AB 路段进行区间测速 在 l 外取一点 P 作 PC l 垂足为点 C 测得 PC 30 米 APC 71 BPC 35 上午 9 时 测得一汽车从点 A 到点 B 用时 6 秒 请你用所学的数学知识说明该车是否超 速 参考数据 sin35 0 57 cos35 0 82 tan35 0 70 sin71 0 95 cos71 0 33 tan71 2 90 22 9 分 为提高市民的环保意识 倡导 节能减排 绿色出行 某市计划在 城区投放一批 共享单车 这批单车分为 A B 两种不同款型 其中 A 型车单价 400 元 B 型车单价 320 元 1 今年年初 共享单车 试点投放在某市中心城区正式启动 投放 A B 两种 款型的单车共 100 辆 总价值 36800 元 试问本次试点投放的 A 型车与 B 型车 各多少辆 2 试点投放活动得到了广大市民的认可 该市决定将此项公益活动在整个城 区全面铺开 按照试点投放中 A B 两车型的数量比进行投放 且投资总价值 不低于 184 万元 请问城区 10 万人口平均每 100 人至少享有 A 型车与 B 型车 各多少辆 23 10 分 如图 已知 D E 分别为 ABC 的边 AB BC 上两点 点 A C E 在 D 上 点 B D 在 E 上 F 为 上一点 连接 FE 并延长交 AC 的延长线于 点 N 交 AB 于点 M 1 若 EBD 为 请将 CAD 用含 的代数式表示 2 若 EM MB 请说明当 CAD 为多少度时 直线 EF 为 D 的切线 3 在 2 的条件下 若 AD 求 的值 24 11 分 问题解决 一节数学课上 老师提出了这样一个问题 如图 1 点 P 是正方形 ABCD 内一点 PA 1 PB 2 PC 3 你能求出 APB 的度数吗 小明通过观察 分析 思考 形成了如下思路 思路一 将 BPC 绕点 B 逆时针旋转 90 得到 BP A 连接 PP 求出 APB 的度数 思路二 将 APB 绕点 B 顺时针旋转 90 得到 CP B 连接 PP 求出 APB 的度数 请参考小明的思路 任选一种写出完整的解答过程 类比探究 如图 2 若点 P 是正方形 ABCD 外一点 PA 3 PB 1 PC 求 APB 的度 数 25 14 分 如图 1 抛物线 y ax2 2x c 与 x 轴交于 A 4 0 B 1 0 两 点 过点 B 的直线 y kx 分别与 y 轴及抛物线交于点 C D 1 求直线和抛物线的表达式 2 动点 P 从点 O 出发 在 x 轴的负半轴上以每秒 1 个单位长度的速度向左 匀速运动 设运动时间为 t 秒 当 t 为何值时 PDC 为直角三角形 请直接写 出所有满足条件的 t 的值 3 如图 2 将直线 BD 沿 y 轴向下平移 4 个单位后 与 x 轴 y 轴分别交于 E F 两点 在抛物线的对称轴上是否存在点 M 在直线 EF 上是否存在点 N 使 DM MN 的值最小 若存在 求出其最小值及点 M N 的坐标 若不存在 请说明理由 2018 年山东省烟台市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一 选择题 本题共 12 个小题 每小题 3 分 满分 36 分 每小题都给出标号为 A B C D 四个备选答案 其中有且只有一个是正确的 1 3 分 的倒数是 A 3 B 3 C D 分析 根据乘积为 1 的两个数互为倒数 可得一个数的倒数 解答 解 的倒数是 3 故选 B 点评 本题考查了倒数 分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键 2 3 分 在学习 图形变化的简单应用 这一节时 老师要求同学们利用图 形变化设计图案 下列设计的图案中 是中心对称图形但不是轴对称图形的是 A B C D 分析 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解 解答 解 A 是轴对称图形 不是中心对称图形 故此选项错误 B 是轴对称图形 也是中心对称图形 故此选项错误 C 不是轴对称图形 是中心对称图形 故此选项正确 D 是轴对称图形 也是中心对称图形 故此选项错误 故选 C 点评 本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念 轴对称图形的关键是 寻找对称轴 图形两部分沿对称轴折叠后可重合 中心对称图形是要寻找对称 中心 旋转 180 度后与原图重合 3 3 分 2018 年政府工作报告指出 过去五年来 我国经济实力跃上新台 阶 国内生产总值从 54 万亿元增加到 82 7 万亿元 稳居世界第二 82 7 万亿 用科学记数法表示为 A 0 827 1014 B 82 7 10 12 C 8 27 1013 D 8 27 10 14 分析 科学记数法的表示形式为 a 10n 的形式 其中 1 a 10 n 为整 数 确定 n 的值时 要看把原数变成 a 时 小数点移动了多少位 n 的绝对值 与小数点移动的位数相同 当原数绝对值 1 时 n 是正数 当原数的绝对值 1 时 n 是负数 解答 解 82 7 万亿 8 27 1013 故选 C 点评 此题考查科学记数法的表示方法 科学记数法的表示形式为 a 10n 的 形式 其中 1 a 10 n 为整数 表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的 值 4 3 分 由 5 个棱长为 1 的小正方体组成的几何体如图放置 一面着地 两 面靠墙 如果要将露出来的部分涂色 则涂色部分的面积为 A 9 B 11 C 14 D 18 分析 由涂色部分面积是从上 前 右三个方向所涂面积相加 据此可得 解答 解 由图可知涂色部分是从上 前 右三个方向所涂面积相加 即涂 色部分面积为 4 4 3 11 故选 B 点评 本题主要考查几何体的表面积 解题的关键是掌握涂色部分是从上 前 右三个方向所涂面积相加的结果 5 3 分 甲 乙 丙 丁 4 支仪仗队队员身高的平均数及方差如下表所示 甲 乙 丙 丁 平均数 cm 177 178 178 179 方差 0 9 1 6 1 1 0 6 哪支仪仗队的身高更为整齐 A 甲 B 乙 C 丙 D 丁 分析 方差小的比较整齐 据此可得 解答 解 甲 乙 丙 丁 4 支仪仗队队员身高的方差中丁的方差最小 丁仪仗队的身高更为整齐 故选 D 点评 本题考查了方差的意义 方差是用来衡量一组数据波动大小的量 方 差越大 表明这组数据偏离平均数越大 即波动越大 数据越不稳定 反之 方差越小 表明这组数据分布比较集中 各数据偏离平均数越小 即波动越小 数据越稳定 6 3 分 下列说法正确的是 A 367 人中至少有 2 人生日相同 B 任意掷一枚均匀的骰子 掷出的点数是偶数的概率是 C 天气预报说明天的降水概率为 90 则明天一定会下雨 D 某种彩票中奖的概率是 1 则买 100 张彩票一定有 1 张中奖 分析 利用概率的意义和必然事件的概念的概念进行分析 解答 解 A 367 人中至少有 2 人生日相同 正确 B 任意掷一枚均匀的骰子 掷出的点数是偶数的概率是 错误 C 天气预报说明天的降水概率为 90 则明天不一定会下雨 错误 D 某种彩票中奖的概率是 1 则买 100 张彩票不一定有 1 张中奖 错误 故选 A 点评 此题主要考查了概率的意义 解决的关键是理解概率的意义以及必然 事件的概念 7 3 分 利用计算器求值时 小明将按键顺序为 显示结果记为 a 的显示结果记为 b 则 a b 的大小关系为 A a b B a b C a b D 不能比较 分析 由计算器的使用得出 a b 的值即可 解答 解 由计算器知 a sin30 4 16 b 12 a b 故选 B 点评 本题主要考查计算器 基础知识 解题的关键是掌握计算器的使用 8 3 分 如图所示 下列图形都是由相同的玫瑰花按照一定的规律摆成的 按此规律摆下去 第 n 个图形中有 120 朵玫瑰花 则 n 的值为 A 28 B 29 C 30 D 31 分析 根据题目中的图形变化规律 可以求得第个图形中玫瑰花的数量 然 后令玫瑰花的数量为 120 即可求得相应的 n 的值 从而可以解答本题 解答 解 由图可得 第 n 个图形有玫瑰花 4n 令 4n 120 得 n 30 故选 C 点评 本题考查图形的变化类 解答本题的关键是明确题意 找出题目中图 形的变化规律 9 3 分 对角线长分别为 6 和 8 的菱形 ABCD 如图所示 点 O 为对角线的交 点 过点 O 折叠菱形 使 B B 两点重合 MN 是折痕 若 B M 1 则 CN 的长 为 A 7 B 6 C 5 D 4 分析 连接 AC BD 如图 利用菱形的性质得 OC AC 3 OD BD 4 COD 90 再利用勾股定理计算出 CD 5 接着证明 OBM ODN 得到 DN BM 然后根据折叠的性质得 BM B M 1 从而有 DN 1 于是计算 CD DN 即可 解答 解 连接 AC BD 如图 点 O 为菱形 ABCD 的对角线的交点 OC AC 3 OD BD 4 COD 90 在 Rt COD 中 CD 5 AB CD MBO NDO 在 OBM 和 ODN 中 OBM ODN DN BM 过点 O 折叠菱形 使 B B 两点重合 MN 是折痕 BM B M 1 DN 1 CN CD DN 5 1 4 故选 D 点评 本题考查了折叠的性质 折叠是一种对称变换 它属于轴对称 折叠 前后图形的形状和大小不变 位置变化 对应边和对应角相等 也考查了菱形 的性质 10 3 分 如图 四边形 ABCD 内接于 O 点 I 是 ABC 的内心 AIC 124 点 E 在 AD 的延长线上 则 CDE 的度数为 A 56 B 62 C 68 D 78 分析 由点 I 是 ABC 的内心知 BAC 2 IAC ACB 2 ICA 从而求得 B 180 BAC ACB 180 2 180 AIC 再利用圆内接四边形的外角 等于内对角可得答案 解答 解 点 I 是 ABC 的内心 BAC 2 IAC ACB 2 ICA AIC 124 B 180 BAC ACB 180 2 IAC ICA 180 2 180 AIC 68 又四边形 ABCD 内接于 O CDE B 68 故选 C 点评 本题主要考查三角形的内切圆与内心 解题的关键是掌握三角形的内 心的性质及圆内接四边形的性质 11 3 分 如图 二次函数 y ax2 bx c 的图象与 x 轴交于点 A 1 0 B 3 0 下列结论 2a b 0 a c 2 b 2 当 1 x 3 时 y 0 当 a 1 时 将抛物线先向上平移 2 个单位 再向右平移 1 个单位 得到抛物线 y x 2 2 2 其中正确的是 A B C D 分析 根据二次函数图象与系数之间的关系即可求出答案 解答 解 图象与 x 轴交于点 A 1 0 B 3 0 二次函数的图象的对称轴为 x 1 1 2a b 0 故 错误 令 x 1 y a b c 0 a c b a c 2 b2 故 错误 由图可知 当 1 x 3 时 y 0 故 正确 当 a 1 时 y x 1 x 3 x 1 2 4 将抛物线先向上平移 2 个单位 再向右平移 1 个单位 得到抛物线 y x 1 1 2 4 2 x 2 2 2 故 正确 故选 D 点评 本题考查二次函数图象的性质 解题的关键是熟知二次函数的图象与 系数之间的关系 本题属于中等题型 12 3 分 如图 矩形 ABCD 中 AB 8cm BC 6cm 点 P 从点 A 出发 以 lcm s 的速度沿 A D C 方向匀速运动 同时点 Q 从点 A 出发 以 2cm s 的速 度沿 A B C 方向匀速运动 当一个点到达点 C 时 另一个点也随之停止 设 运动时间为 t s APQ 的面积为 S cm 2 下列能大致反映 S 与 t 之间函数 关系的图象是 A B C D 分析 先根据动点 P 和 Q 的运动时间和速度表示 AP t AQ 2t 当 0 t 4 时 Q 在边 AB 上 P 在边 AD 上 如图 1 计算 S 与 t 的关系式 发现是开口向上的抛物线 可知 选项 C D 不正确 当 4 t 6 时 Q 在边 BC 上 P 在边 AD 上 如图 2 计算 S 与 t 的关系式 发现是一次函数 是一条直线 可知 选项 B 不正确 从而得结论 解答 解 由题意得 AP t AQ 2t 当 0 t 4 时 Q 在边 AB 上 P 在边 AD 上 如图 1 S APQ AP AQ t2 故选项 C D 不正确 当 4 t 6 时 Q 在边 BC 上 P 在边 AD 上 如图 2 S APQ AP AB 4t 故选项 B 不正确 故选 A 点评 本题考查了动点问题的函数图象 根据动点 P 和 Q 的位置的不同确定 三角形面积的不同 解决本题的关键是利用分类讨论的思想求出 S 与 t 的函数 关系式 二 填空题 本大题共 6 个小题 每小题 3 分 满分 18 分 13 3 分 3 14 0 tan60 1 分析 直接利用零指数幂的性质和特殊角的三角函数值分别化简得出答案 解答 解 原式 1 故答案为 1 点评 此题主要考查了实数运算 正确化简各数是解题关键 14 3 分 与最简二次根式 5 是同类二次根式 则 a 2 分析 先将 化成最简二次根式 然后根据同类二次根式得到被开方数相 同可得出关于 a 的方程 解出即可 解答 解 与最简二次根式 是同类二次根式 且 a 1 3 解得 a 2 故答案为 2 点评 本题考查了同类二次根式的定义 化成最简二次根式后 被开方数相 同 这样的二次根式叫做同类二次根式 15 3 分 如图 反比例函数 y 的图象经过 ABCD 对角线的交点 P 已知点 A C D 在坐标轴上 BD DC ABCD 的面积为 6 则 k 3 分析 由平行四边形面积转化为矩形 BDOA 面积 在得到矩形 PDOE 面积 应用反比例函数比例系数 k 的意义即可 解答 解 过点 P 做 PE y 轴于点 E 四边形 ABCD 为平行四边形 AB CD 又 BD x 轴 ABDO 为矩形 AB DO S 矩形 ABDO S ABCD 6 P 为对角线交点 PE y 轴 四边形 PDOE 为矩形面积为 3 即 DO EO 3 设 P 点坐标为 x y k xy 3 故答案为 3 点评 本题考查了反比例函数比例系数 k 的几何意义以及平行四边形的性 质 16 3 分 如图 方格纸上每个小正方形的边长均为 1 个单位长度 点 O A B C 在格点 两条网格线的交点叫格点 上 以点 O 为原点建立直角 坐标系 则过 A B C 三点的圆的圆心坐标为 1 2 分析 连接 CB 作 CB 的垂直平分线 根据勾股定理和半径相等得出点 O 的 坐标即可 解答 解 连接 CB 作 CB 的垂直平分线 如图所示 在 CB 的垂直平分线上找到一点 D CD DB DA 所以 D 是过 A B C 三点的圆的圆心 即 D 的坐标为 1 2 故答案为 1 2 点评 此题考查垂径定理 关键是根据垂径定理得出圆心位置 17 3 分 已知关于 x 的一元二次方程 x2 4x m 1 0 的实数根 x1 x 2 满足 3x1x2 x1 x2 2 则 m 的取值范围是 3 m 5 分析 根据根的判别式 0 根与系数的关系列出关于 m 的不等式组 通 过解该不等式组 求得 m 的取值范围 解答 解 依题意得 解得 3 m 5 故答案是 3 m 5 点评 本题考查了一元二次方程的根的判别式的应用 解此题的关键是得出 关于 m 的不等式 注意 一元二次方程 ax2 bx c 0 a b c 为常数 a 0 当 b2 4ac 0 时 一元二次方程有两个不相等的实数根 当 b2 4ac 0 时 一 元二次方程有两个相等的实数根 当 b2 4ac 0 时 一元二次方程没有实数 根 18 3 分 如图 点 O 为正六边形 ABCDEF 的中心 点 M 为 AF 中点 以点 O 为圆心 以 OM 的长为半径画弧得到扇形 MON 点 N 在 BC 上 以点 E 为圆心 以 DE 的长为半径画弧得到扇形 DEF 把扇形 MON 的两条半径 OM ON 重合 围成圆锥 将此圆锥的底面半径记为 r1 将扇形 DEF 以同样方法围成的圆锥的 底面半径记为 r2 则 r1 r 2 2 分析 根据题意正六边形中心角为 120 且其内角为 120 求出两个扇形圆心 角 表示出扇形半径即可 解答 解 连 OA 由已知 M 为 AF 中点 则 OM AF 六边形 ABCDEF 为正六边形 AOM 30 设 AM a AB AO 2a OM 正六边形中心角为 60 MON 120 扇形 MON 的弧长为 a 则 r1 a 同理 扇形 DEF 的弧长为 则 r2 r1 r 2 故答案为 2 点评 本题考查了正六边形的性质和扇形面积及圆锥计算 解答时注意表示 出两个扇形的半径 三 解答题 本大题共 7 个小题 满分 66 分 19 6 分 先化简 再求值 1 其中 x 满足 x2 2x 5 0 分析 原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算 同时利用除 法法则变形 约分得到最简结果 把已知等式变形后代入计算即可求出值 解答 解 原式 x x 2 x 2 2x 由 x2 2x 5 0 得到 x2 2x 5 则原式 5 点评 此题考查了分式的化简求值 熟练掌握运算法则是解本题的关键 20 8 分 随着信息技术的迅猛发展 人们去商场购物的支付方式更加多样 便捷 某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷 要求每人选且只选一种你最喜 欢的支付方式 现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图 请 结合图中所给的信息解答下列问题 1 这次活动共调查了 200 人 在扇形统计图中 表示 支付宝 支付的扇 形圆心角的度数为 81 2 将条形统计图补充完整 观察此图 支付方式的 众数 是 微信 3 在一次购物中 小明和小亮都想从 微信 支付宝 银行卡 三种支付方 式中选一种方式进行支付 请用画树状图或列表格的方法 求出两人恰好选择 同一种支付方式的概率 分析 1 用支付宝 现金及其他的人数和除以这三者的百分比之和可得总 人数 再用 360 乘以 支付宝 人数所占比例即可得 2 用总人数乘以对应百分比可得微信 银行卡的人数 从而补全图形 再根 据众数的定义求解可得 3 首先根据题意画出树状图 然后由树状图求得所有等可能的结果与两人恰 好选择同一种支付方式的情况 再利用概率公式即可求得答案 解答 解 1 本次活动调查的总人数为 45 50 15 1 15 30 200 人 则表示 支付宝 支付的扇形圆心角的度数为 360 81 故答案为 200 81 2 微信人数为 200 30 60 人 银行卡人数为 200 15 30 人 补全图形如下 由条形图知 支付方式的 众数 是 微信 故答案为 微信 3 将微信记为 A 支付宝记为 B 银行卡记为 C 画树状图如下 画树状图得 共有 9 种等可能的结果 其中两人恰好选择同一种支付方式的有 3 种 两人恰好选择同一种支付方式的概率为 点评 此题考查了树状图法与列表法求概率 用到的知识点为 概率 所求情 况数与总情况数之比 21 8 分 汽车超速行驶是交通安全的重大隐患 为了有效降低交通事故的发 生 许多道路在事故易发路段设置了区间测速如图 学校附近有一条笔直的公 路 l 其间设有区间测速 所有车辆限速 40 千米 小时数学实践活动小组设计了 如下活动 在 l 上确定 A B 两点 并在 AB 路段进行区间测速 在 l 外取一点 P 作 PC l 垂足为点 C 测得 PC 30 米 APC 71 BPC 35 上午 9 时 测得一汽车从点 A 到点 B 用时 6 秒 请你用所学的数学知识说明该车是否超 速 参考数据 sin35 0 57 cos35 0 82 tan35 0 70 sin71 0 95 cos71 0 33 tan71 2 90 分析 先求得 AC PCtan APC 87 BC PCtan BPC 21 据此得出 AB AC BC 87 21 66 从而求得该车通过 AB 段的车速 比较大小即可得 解答 解 在 Rt APC 中 AC PCtan APC 30tan71 30 2 90 87 在 Rt BPC 中 BC PCtan BPC 30tan35 30 0 70 21 则 AB AC BC 87 21 66 该汽车的实际速度为 11m s 又 40km h 11 1m s 该车没有超速 点评 此题考查了解直角三角形的应用 涉及的知识有 锐角三角函数定义 熟练掌握三角函数的定义是解本题的关键 22 9 分 为提高市民的环保意识 倡导 节能减排 绿色出行 某市计划在 城区投放一批 共享单车 这批单车分为 A B 两种不同款型 其中 A 型车单价 400 元 B 型车单价 320 元 1 今年年初 共享单车 试点投放在某市中心城区正式启动 投放 A B 两种 款型的单车共 100 辆 总价值 36800 元 试问本次试点投放的 A 型车与 B 型车 各多少辆 2 试点投放活动得到了广大市民的认可 该市决定将此项公益活动在整个城 区全面铺开 按照试点投放中 A B 两车型的数量比进行投放 且投资总价值 不低于 184 万元 请问城区 10 万人口平均每 100 人至少享有 A 型车与 B 型车 各多少辆 分析 1 设本次试点投放的 A 型车 x 辆 B 型车 y 辆 根据 两种款型的单 车共 100 辆 总价值 36800 元 列方程组求解可得 2 由 1 知 A B 型车辆的数量比为 3 2 据此设整个城区全面铺开时投 放的 A 型车 3a 辆 B 型车 2a 辆 根据 投资总价值不低于 184 万元 列出关于 a 的不等式 解之求得 a 的范围 进一步求解可得 解答 解 1 设本次试点投放的 A 型车 x 辆 B 型车 y 辆 根据题意 得 解得 答 本次试点投放的 A 型车 60 辆 B 型车 40 辆 2 由 1 知 A B 型车辆的数量比为 3 2 设整个城区全面铺开时投放的 A 型车 3a 辆 B 型车 2a 辆 根据题意 得 3a 400 2a 320 1840000 解得 a 1000 即整个城区全面铺开时投放的 A 型车至少 3000 辆 B 型车至少 2000 辆 则城区 10 万人口平均每 100 人至少享有 A 型车 3000 3 辆 至少享有 B 型车 2000 2 辆 点评 本题主要考查二元一次方程的应用 解题的关键是理解题意找到题目 蕴含的相等关系 并据此列出方程组 23 10 分 如图 已知 D E 分别为 ABC 的边 AB BC 上两点 点 A C E 在 D 上 点 B D 在 E 上 F 为 上一点 连接 FE 并延长交 AC 的延长线于 点 N 交 AB 于点 M 1 若 EBD 为 请将 CAD 用含 的代数式表示 2 若 EM MB 请说明当 CAD 为多少度时 直线 EF 为 D 的切线 3 在 2 的条件下 若 AD 求 的值 分析 1 根据同圆的半径相等和等边对等角得 EDB EBD CAD ACD DCE DEC 2 再根据三角形内角和定理 可得结论 2 设 MBE x 同理得 EMB MBE x 根据切线的性质知 DEF 90 所以 CED MEB 90 同理根据三角形内角和定理可得 CAD 45 3 由 2 得 CAD 45 根据 1 的结论计算 MBE 30 证明 CDE 是等边三角形 得 CD CE DE EF AD 求 EM 1 MF EF EM 1 根据三 角形内角和及等腰三角形的判定得 EN CE 代入化简可得结论 解答 解 1 连接 CD DE E 中 ED EB EDB EBD CED EDB EBD 2 D 中 DC DE AD CAD ACD DCE DEC 2 ACB 中 CAD ACD DCE EBD 180 CAD 2 设 MBE x EM MB EMB MBE x 当 EF 为 D 的切线时 DEF 90 CED MEB 90 CED DCE 90 x ACB 中 同理得 CAD ACD DCE EBD 180 2 CAD 180 90 90 CAD 45 3 由 2 得 CAD 45 由 1 得 CAD MBE 30 CED 2 MBE 60 CD DE CDE 是等边三角形 CD CE DE EF AD Rt DEM 中 EDM 30 DE EM 1 MF EF EM 1 ACB 中 NCB 45 30 75 CNE 中 CEN BEF 30 CNE 75 CNE NCB 75 EN CE 2 点评 本题考查三角形内角和定理 三角形的外角的性质 等腰三角形的性 质和判定等知识 解题的关键是学会利用三角形角之间的关系确定边的关系 学会构建方程解决问题 属于中考常考题型 24 11 分 问题解决 一节数学课上 老师提出了这样一个问题 如图 1 点 P 是正方形 ABCD 内一点 PA 1 PB 2 PC 3 你能求出 APB 的度数吗 小明通过观察 分析 思考 形成了如下思路 思路一 将 BPC 绕点 B 逆时针旋转 90 得到 BP A 连接 PP 求出 APB 的度数 思路二 将 APB 绕点 B 顺时针旋转 90 得到 CP B 连接 PP 求出 APB 的度数 请参考小明的思路 任选一种写出完整的解答过程 类比探究 如图 2 若点 P 是正方形 ABCD 外一点 PA 3 PB 1 PC 求 APB 的度 数 分析 1 思路一 先利用旋转求出 PBP 90 BP BP 2 AP CP 3 利用 勾股定理求出 PP 进而判断出 APP 是直角三角形 得出 APP 90 即可得 出结论 思路二 同思路一的方法即可得出结论 2 同 1 的思路一的方法即可得出结论 解答 解 1 思路一 如图 1 将 BPC 绕点 B 逆时针旋转 90 得到 BP A 连接 PP ABP CBP PBP 90 BP BP 2 AP CP 3 在 Rt PBP 中 BP BP 2 BPP 45 根据勾股定理得 PP BP 2 AP 1 AP 2 PP 2 1 8 9 AP 2 32 9 AP 2 PP 2 AP 2 APP 是直角三角形 且 APP 90 APB APP BPP 90 45 135 思路二 同思路一的方法 2 如图 2 将 BPC 绕点 B 逆时针旋转 90 得到 BP A 连接 PP ABP CBP PBP 90 BP BP 1 AP CP 在 Rt PBP 中 BP BP 1 BPP 45 根据勾股定理得 PP BP AP 3 AP 2 PP 2 9 2 11 AP 2 2 11 AP 2 PP 2 AP 2 APP 是直角三角形 且 APP 90 APB APP BPP 90 45 45 点评 此题是四边形综合题 主要考查了正方形的性质 旋转的性质 直角 三角形的性质和判定 勾股定理 正确作出辅助线是解本题的关键 25 14 分 如图 1 抛物线 y ax2 2x c 与 x 轴交于 A 4 0 B 1 0 两 点 过点 B 的直线 y kx 分别与 y 轴及抛物线交于点 C D 1 求直线和抛物线的表达式 2 动点 P 从点 O 出发 在 x 轴的负半轴上以每秒 1 个单位长度的速度向左 匀速运动 设运动时间为 t 秒 当 t 为何值时 PDC 为直角三角形 请直接写 出所有满足条件的 t 的值 3 如图 2 将直线 BD 沿 y 轴向下平移 4 个单位后 与 x 轴 y 轴分别交于 E F 两点 在抛物线的对称轴上是否存在点 M 在直线 EF 上是否存在点 N 使 DM MN 的值最小 若存在 求出其最小值及点 M N 的坐标 若不存在 请说明理由 分析 1 利用待定系数法求解可得 2 先求得点 D 的坐标 过点 D 分别作 DE x 轴 DF y 轴 分 P1D P 1C P 2D DC P 3C DC 三种情况 利用相似三角形的性质逐一求解可得 3 通过作对称点 将折线转化成两点间距离 应用两点之间线段最短 解答 解 1 把 A 4 0 B 1 0 代入 y ax2 2x c 得 解得 抛物线解析式为 y 过点 B 的直线 y kx 代入 1 0 得 k BD 解析式为 y 2 由 得交点坐标为 D 5 4 如图 1 过 D 作 DE x 轴于点 E 作 DF y 轴于点 F 当 P1D P 1C 时 P 1DC 为直角三角形 则 DEP 1 P 1OC 即 解得 t 当 P2D DC 于点 D 时 P 2DC 为直角三角形 由 P 2DB DEB 得 即 解得 t 当 P3C DC 时 DFC COP 3 即 解得 t t 的值为 3 由已知直线 EF 解析式为 y x 在抛物线上取点 D 的对称点 D 过点 D 作 D N EF 于点 N 交抛物线对称轴于 点 M 过点 N 作 NH DD 于点 H 此时 DM MN D N 最小 则 EOF NHD 设点 N 坐标为 a 即 解得 a 2 则 N 点坐标为 2 2 求得直线 ND 的解析式为 y x 1 当 x 时 y M 点坐标为 此时 DM MN 的值最小为 2 点评 本题是二次函数和几何问题综合题 应用了二次函数性质以及转化的 数学思想 分类讨论思想 解题时注意数形结合