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考纲导读推理与证明（一）合情推理与演绎推理1了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用。2了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理。3了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。（二）直接证明与间接证明1了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。2了解间接证明的一种基本方法反证法；了解反证法的思考过程、特点。（三）数学归纳法了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.高考导航1推理与证明的内容是高考的新增内容，主要以选择填空的形式出现。2推理与证明与数列、几何、等有关内容综合在一起的综合试题多。第1课时 合情推理与演绎推理基础过关1. 推理一般包括合情推理和演绎推理；2.合情推理包括 和 ； 归纳推理：从个别事实中推演出 ，这样的推理通常称为归纳推理；归纳推理的思维过程是： 、 、 .类比推理：根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其它方面也 或 ，这样的推理称为类比推理，类比推理的思维过程是： 、 、 .3.演绎推理：演绎推理是 ，按照严格的逻辑法则得到的 推理过程；三段论常用格式为：M是P， ，S是P；其中是 ，它提供了一个个一般性原理；是 ，它指出了一个个特殊对象；是 ，它根据一般原理，对特殊情况作出的判断.4.合情推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程，归纳和类比是合情推理常用的思维方法；在解决问题的过程中，合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，有得于创新意识的培养。演绎推理是根据已有的事实和正确的结论，按照严格的逻辑法则得到的新结论的推理过程典型例题例1. 已知：； 通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题：_=（ * ）并给出（ * ）式的证明.解：一般形式: 证明：左边 = = = = = （将一般形式写成 等均正确。）变式训练1：设，nN，则 解：，由归纳推理可知其周期是4例2. 在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有：设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥OLMN，如果用表示三个侧面面积，表示截面面积，那么你类比得到的结论是 .解：。变式训练2：在ABC中，若C=90，AC=b,BC=a，则ABC的外接圆的半径，把上面的结论推广到空间，写出相类似的结论。答案：本题是“由平面向空间类比”。考虑到平面中的图形是一个直角三角形，所以在空间中我们可以选取有3个面两两垂直的四面体来考虑。取空间中有三条侧棱两两垂直的四面体ABCD，且AB=a，AC=b，AD=c，则此三棱锥的外接球的半径是。例3. 请你把不等式“若是正实数，则有”推广到一般情形，并证明你的结论。答案： 推广的结论：若 都是正数， 证明： 都是正数 ，变式训练3：观察式子：，则可归纳出式子为（ ）A、 B、C、 D、答案：C。解析：用n=2代入选项判断。例4. 有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线平面，直线平面，直线平面，则直线直线”的结论显然是错误的，这是因为 （ ）A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误答案：A。解析：直线平行于平面,并不平行于平面内所有直线。变式训练4：“AC,BD是菱形ABCD的对角线，AC,BD互相垂直且平分。”补充以上推理的大前提是 。答案：菱形对角线互相垂直且平分基础过关第2课时 直接证明与间接证明1.直接证明：直接从原命题的条件逐步推得结论成立,这种证明方法叫直接证明；直接证明的两种基本方法分析法和综合法 综合法 ；分析法 ； 2. 间接证明：间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一种常用的间接证明方法；反证法即从 开始，经过正确的推理，说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法（归谬法）.典型例题例1若均为实数，且。求证：中至少有一个大于0。答案：（用反证法）假设都不大于0，即，则有，而 =均大于或等于0，这与假设矛盾，故中至少有一个大于0。变式训练1：用反证法证明命题“可以被5整除，那么中至少有一个能被5整除。”那么假设的内容是 答案：a,b中没有一个能被5整除。解析：“至少有n个”的否定是“最多有n-1个”。例2. ABC的三个内角A、B、C成等差数列，求证：。答案：证明：要证，即需证。即证。又需证，需证ABC三个内角A、B、C成等差数列。B=60。由余弦定理，有，即。成立，命题得证。变式训练2：用分析法证明：若a0，则。答案：证明：要证，只需证。a0，两边均大于零，因此只需证只需证，只需证，只需证，即证，它显然成立。原不等式成立。例3已知数列，记求证：当时，（1）；（2）；（3）。解：（1）证明：用数学归纳法证明当时，因为是方程的正根，所以假设当时，因为 ，所以即当时，也成立 根据和，可知对任何都成立（2）证明：由，（），得因为，所以由及得，所以（3）证明：由，得所以，于是，故当时，又因为， 所以推理与证明综合练习1.考察下列一组不等式： .将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式可以是 .2 已知数列满足，（），则的值为 ， 的值为 3. 已知 ，猜想的表达式为（ ）A.； B.； C.； D.4. 某纺织厂的一个车间有技术工人名（），编号分别为1、2、3、，有台（）织布机，编号分别为1、2、3、，定义记号：若第名工人操作了第号织布机，规定，否则，则等式的实际意义是（ ）A、第4名工人操作了3台织布机； B、第4名工人操作了台织布机；C、第3名工人操作了4台织布机； D、第3名工人操作了台织布机.5. 已知，计算得，由此推测：当时，有 6. 观察下图中各正方形图案，每条边上有个圆圈，每个图案中圆圈的总数是，按此规律推出：当时，与的关系式 7. 观察下式：1=12，2+3+4=32，3+4+5+6+7=52，4+5+6+7+8+9+10=72，则可得出一般结论： .8.函数由下表定义：若，则 9.在一次珠宝展览会上,某商家展出一套珠宝首饰,第一件首饰是1颗珠宝, 第二件首饰是由6颗珠宝构成如图1所示的正六边形, 第三件首饰是由15颗珠宝构成如图2所示的正六边形, 第四件首饰是由28颗珠宝构成如图3所示的正六边形, 第五件首饰是由45颗珠宝构成如图4所示的正六边形, 以后每件首饰都在前一件上,按照这种规律增加一定数量的珠宝,使它构成更大的正六边形,依此推断第6件首饰上应有_颗珠宝;则前件首饰所用珠宝总数为_ 颗.(结果用表示)图1图2图3图410.将正奇数按下表排成5列第1列第2列第3列第4列第5列第1行1357第2行1513119第3行171921232725那么2003应该在第 行，第 列。11 如右上图，一个小朋友按如图所示的规则练习数数，1大拇指，2食指，3中指，4无名指，5小指，6无名指，一直数到2008时，对应的指头是 (填指头的名称). 12.在数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，中，第25项为_13观察下列的图形中小正方形的个数，则第n个图中有 个小正方形.14同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第n个图案中需用黑色瓷砖_块（用含n的代数式表示）15.如图所示，面积为的平面凸四边形的第条边的边长记为，此四边形内任一点到第条边的距离记为，若，则.类比以上性质,体积为的三棱锥的第个面的面积记为, 此三棱锥内任一点到第个面的距离记为,若, 则 ( B ) A. B. C. D. 16.设O是内一点，三边上的高分别为，O到三边的距离依次为，则_ _，类比到空间，O是四面体ABCD内一点，四顶点到对面的距离分别为，O到这四个面的距离依次为，则有_ _ 17在中，两直角边分别为、，设为斜边上的高，则，由此类比：三棱锥中的三条侧棱、两两垂直，且长度分别为、，设棱锥底面上的高为，则 18、若数列是等差数列，对于，则数列也是等差数列。类比上述性质，若数列是各项都为正数的等比数列，对于，则= 时，数列也是等比数列。19已知ABC三边a，b，c的长都是整数，且，如果bm（mN*），则这样的三角形共有 个（用m表示）20如图的三角形数阵中，满足：（1）第1行的数为1；（2）第n（n2)行首尾两数均为n，其余的数都等于它肩上的两个数相加则第n行(n2)中第2个数是_（用n表示）.21在ABC中，判断ABC的形状并证明.22已知a、b、c是互不相等的非零实数.若用反证法证明三个方程ax2+2bx+c=0，bx2+2cx+a=0，cx2+2ax+b=0至少有一个方程有两个相异实根.应假设 23.中，已知，且，求证：为等边三角形。24如图，、 是曲线：上的个点，点（）在轴的正半轴上，且是正三角形（是坐标原点）（1）写出、；（2）求出点（）的横坐标关于的表达式并证明.推理与证明章节测试题答案1. 2. 3. B. 4. A 5. 6. 7. 8.4 9.10.251,3 11.食指 12.在数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，中，第25项为_7_13 14 15、B提示:平面面积法类比到空间体积法16 1. 提示：平面面积法类比到空间体积法 1718、提示：等差数列类比到等比数列，算术平均数类比到几何平均数19 2021解: 所以三角形ABC是直角三角形22 三个方程中都没有两个相异实根 证明：假设三个方程中都没有两个相异实根，则1=4b24ac0，2=4c24ab0，3=4a24bc0.相加有a22ab+b2+b22bc+c2+c22ac+a20，（ab）2+（bc）2+（ca）20. 由题意a、b、c互不相等，式不能成立.假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根.方法总结：反证法步骤假设结论不成立推出矛盾假设不成立.凡是“至少”、“唯一”或含有否定词的命题适宜用反证法.23.解: 分析：由 由 所以为等边三角形24.如图，、 是曲线：上的个点，点（）在轴的正半轴上，且是正三角形（是坐标原点）（1）写出、；（2）求出点（）的横坐标关于的表达式并证明.解:（）.6分（2）依题意，得，由此及得，即由（）可猜想：下面用数学归纳法予以证明：（1）当时，命题显然成立；（2）假定当时命题成立，即有，则当时，由归纳假设及得，即，解之得（不合题意，舍去），即当时，命题成立 由（1）、（2）知：命题成立.10分第二章 推理与证明综合检测时间120分钟，满分150分。一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)2数列1,3,6,10,15，的递推公式可能是()A. B.C. D.答案B解析记数列为an，由已知观察规律：a2比a1多2，a3比a2多3，a4比a3多4，可知当n2时，an比an1多n，可得递推关系(n2，nN*)4用数学归纳法证明等式123(n3)(nN*)时，验证n1，左边应取的项是()A1 B12 C123 D1234答案D解析当n1时，左12(13)124，故应选D.6已知f(n)，则()Af(n)中共有n项，当n2时，f(2)Bf(n)中共有n1项，当n2时，f(2)Cf(n)中共有n2n项，当n2时，f(2)Df(n)中共有n2n1项，当n2时，f(2)答案D解析项数为n2(n1)n2n1，故应选D.7已知abc0，则abbcca的值()A大于0 B小于0 C不小于0 D不大于0答案D解析解法1：abc0，a2b2c22ab2ac2bc0，abacbc0.解法2：令c0，若b0，则abbcac0，否则a、b异号，abbcacab0，排除A、B、C，选D.8已知c1，a，b，则正确的结论是()Aab Bab Cab Da、b大小不定答案B解析a，b，因为0，0，所以0，所以a1)(1)证明：函数f(x)在(1，)上为增函数；(2)用反证法证明方程f(x)0没有负根解析(1)证法1：任取x1，x2(1，)，不妨设x10，且ax10，又x110，x210，f(x2)f(x1)0，于是f(x2)f(x1)ax2ax10，故函数f(x)在(1，)上为增函数证法2：f(x)axlnaaxlnaa1，lna0，axlna0，f(x)0在(1，)上恒成立，即f(x)在(1，)上为增函数(2)解法1：设存在x00(x01)满足f(x0)0则ax0，且0ax01.01，即x02，与假设x00矛盾故方程f(x)0没有负数根解法2：设x00(x01)若1x00，则2，ax01，f(x0)1.若x00，ax00，f(x0)0.综上，x0(x1)时，f(x)0，即方程f(x)0无负根21(本题满分12分)我们知道，在ABC中，若c2a2b2，则ABC是直角三角形现在请你研究：若cnanbn(n2)，问ABC为何种三角形？为什么？解析锐角三角形cnanbn (n2)，ca, cb，由c是ABC的最大边，所以要证ABC是锐角三角形，只需证角C为锐角，即证cosC0.cosC，要证cosC0，只要证a2b2c2，注意到条件：anbncn，于是将等价变形为：(a2b2)cn2cn.ca，cb，n2，cn2an2，cn2bn2，即cn2an20，cn2bn20，从而(a2b2)cn2cn(a2b2)cn2anbna2(cn2an2)b2(cn2bn2)0，这说明式成立，从而式也成立故cosC0，C是锐角，ABC为锐角三角形22(本题满分14分)(2010安徽理，20)设数列a1，a2，an，中的每一项都不为0.证明an为等差数列的充分必要条件是：对任何nN，都有.分析本题考查等差数列、数学归纳法与充要条件等有关知识，考查推理论证、运算求解能力解题思路是利用裂项求和法证必要性，再用数学归纳法或综合法证明充分性证明先证必要性设数列an的公差为d.若d0，则所述等式显然成立若d0，则.再证充分性证法1：(数学归纳法)设所述的等式对一切nN都成立首先，在等式两端同乘a1a2a3，即得a1a32a2，所以a1，a2，a3成等差数列，记公差为d，则a2a1d.假设aka1(k1)d，当nk1时，观察如下两个等式，将代入，得，在该式两端同乘a1akak1，得(k1)ak1a1kak.将aka1(k1)d代入其中，整理后，得ak1a1kd.由数学归纳法原理知，对一切nN，都有ana1(n1)d，所以an是公差为d的等差数列证法2：(直接证法)依题意有，.得，在上式两端同乘a1an1an2，得a1(n1)an1nan2.同理可得a1nan(n1)an1(n2)得2nan1n(an2an)即an2an1an1an，由证法1知a3a2a2a1，故上式对任意nN*均成立所以an是等差数列
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