金融工程期末总复习.doc

金融工程期末复习资料一、选择题：全在BB平台上的在线测试，考14章，每章10个选择题，一共140道题目，全部看完，选择题满分。二、名词解释估计要背12个左右，考4个。三、简答题：6个，再附加一个欧式看涨期权、看跌期权平价公式的证明。四、计算题有五种题型：1、第一章的无风险套利法和风险中性，状态定价不太可能或者CRR 模型的双期计算；2、远期和期货的远期价格、远期价值的计算（无受益、固定收益、已知收益率）；3、欧式看跌期权、看涨期权的无风险套利的运用；4、BSM模型计算欧式看涨期权和看跌期权的价值（无收益、有收益）； 注：有收益（S-I）的很容易就算错了5、交换合约的价值（利率交换、货币交换）。五、作图分析题过程：列表、作图、分析。（牛市看涨、看跌、熊市看涨、看跌、条式、带式、跨市）第3章 远期与期货概述习题：1. 某交易商拥有1亿日元远期空头，远期汇率为0.008美元/日元。如果合约到期时汇率分别为0.0074美元/日元和0.0090美元/日元，那么该交易商的盈亏如何？2. 目前黄金价格为500美元/盎司，1年远期价格为700美元/盎司。市场借贷年利率为10%，假设黄金的储藏成本为0，请问有无套利机会？3. 一交易商买入两份橙汁期货，每份含15000磅，目前的期货价格为每磅1.60元，初始保证金为每份6000元，维持保证金为每份4500元。请问在什么情况下该交易商将收到追缴保证金通知？在什么情况下，他可以从保证金账户中提走2000元？4. 一个航空公司的高级主管说：“我们没有理由使用石油期货，因为将来油价上升和下降的机会是均等的。”请对此说法加以评论。5. 每季度计一次复利的年利率为14%，请计算与之等价的每年计一次复利的年利率和连续复利年利率。6. 每月计一次复利的年利率为15%，请计算与之等价的连续复利年利率。7. 某笔存款的连续复利年利率为12%，但实际上利息是每季度支付一次。请问1万元存款每季度能得到多少利息？8. 假设连续复利的零息票利率如下： 期限（年）年利率（%）112.0213.0313.7414.2514.5 请计算第2、3、4、5年的连续复利远期利率。9. 假设连续复利的零息票利率分别为： 期限（月）年利率380682984128515861887 请计算第2、3、4、5、6季度的连续复利远期利率。10假设一种无红利支付的股票目前的市价为20元，无风险连续复利年利率为10%，求该股票3个月期远期价格。11假设恒生指数目前为10000点，香港无风险连续复利年利率为10%，恒生指数股息收益率为每年3%，求该指数4个月期的期货价格。12某股票预计在2个月和5个月后每股分别派发1元股息，该股票目前市价等于30，所有期限的无风险连续复利年利率均为6%，某投资者刚取得该股票6个月期的远期合约空头，请问：该远期价格等于多少？若交割价格等于远期价格，则远期合约的初始值等于多少？3个月后，该股票价格涨到35元，无风险利率仍为6%，此时远期价格和该合约空头价值等于多少？13假设目前白银价格为每盎司80元，储存成本为每盎司每年2元，每3个月初预付一次，所有期限的无风险连续复利率均为5%，求9个月后交割的白银期货的价格。14. 有些公司并不能确切知道支付外币的确切日期，这样它就希望与银行签订一种在一段时期中都可交割的远期合同。公司希望拥有选择确切的交割日期的权力以匹配它的现金流。如果把你自己放在银行经理的位置上，你会如何对客户想要的这个产品进行定价?15有些学者认为，远期汇率是对未来汇率的无偏预测。请问在什么情况下这种观点是正确的？16一家银行为其客户提供了两种贷款选择，一是按年利率11%（一年计一次复利）贷出现金，一是按年利率2%（一年计一次复利）货出黄金。黄金贷款用黄金计算，并需用黄金归还本息。假设市场无风险连续复利年利率为9.25%。储存成本为每年0.5%（连续复利）。请问哪种贷款利率较低？17瑞士和美国两个月连续复利率分别为2%和7%，瑞士法郎的现货汇率为0.6500美元，2个月期的瑞士法郎期货价格为0.6600美元，请问有无套利机会？18一个存款账户按连续复利年利率计算为12%，但实际上是每个季度支付利息的，请问10万元存款每个季度能得到多少利息？19股价指数期货价格大于还是小于指数预期未来的点数？请解释原因。习题答案：1 若合约到期时汇率为0.0075美元/日元，则他赢利1亿（0.008-0.0075）=5万美元。 若合约到期时汇率为0.0090美元/日元，则他赢利1亿（0.008-0.009）=-10万美元。2 套利者可以借钱买入100盎司黄金，并卖空1年期的100盎司黄金期货，并等到1年后交割，再将得到的钱用于还本付息，这样就可获得无风险利润。3 如果每份合约损失超过1500元他就会收到追缴保证金通知。此时期货价格低于1.50元/磅。当每份合约的价值上升超过1000元，即期货价格超过1.667元/磅时，他就可以从其保证金账户提取2000元了。4 他的说法是不对的。因为油价的高低是影响航空公司成本的重要因素之一，通过购买石油期货，航空公司就可以消除因油价波动而带来的风险。5 每年计一次复利的年利率= （1+0.14/4）4-1=14.75% 连续复利年利率= 4ln(1+0.14/4)=13.76%。6 连续复利年利率= 12ln(1+0.15/12)=14.91%。7 与12%连续复利利率等价的每季度支付一次利息的年利率= 4（e0.03-1）=12.18%。 因此每个季度可得的利息=1000012.8%/4=304.55元。8 第2、3、4、5年的连续复利远期利率分别为： 第2年：14.0% 第3年：15.1%第4年：15.7%第5年：15.7%9 第2、3、4、5、6季度的连续复利远期利率分别为： 第2季度：8.4%第3季度：8.8%第4季度：8.8%第5季度：9.0%第6季度：9.2%10.期货价格=20e0.10.25=20.51元。11.指数期货价格=10000e(0.1-0.05)4/12=10125.78点。12.（1）2个月和5个月后派发的1元股息的现值=e-0.062/12+e-0.065/12=1.96元。远期价格=(30-1.96)e0.060.5=28.89元。若交割价格等于远期价格，则远期合约的初始价格为0。（2）3个月后的2个月派发的1元股息的现值= e-0.062/12=0.99元。 远期价格=（35-0.99）e0.063/12=34.52元。此时空头远期合约价值=（28.89-34.52）e-0.063/12=-5.55元。13. 9个月储藏成本的现值=0.5+0.5e-0.053/12+0.5e-0.056/12=1.48元。白银远期价格=(80+1.48)e0.059/12=84.59元。14. 银行在定价时可假定客户会选择对银行最不利的交割日期。我们可以很容易证明，如果外币利率高于本币利率，则拥有远期外币多头的客户会选择最早的交割日期，而拥有远期外币空头的客户则会选择最迟的交割日期。相反，如果外币利率低于本币利率，则拥有远期外币多头的客户会选择最迟的交割日期，而拥有远期外币空头的客户则会选择最早的交割日期。只要在合约有效期中，外币利率和本币利率的高低次序不变，上述分析就没问题，银行可按这个原则定价。但是当外币利率和本币利率较为接近时，两者的高低次序就有可能发生变化。因此，客户选择交割日期的权力就有特别的价值。银行应考虑这个价值。 如果合约签订后，客户不会选择最有利的交割日期，则银行可以另赚一笔。15. 只有当外币的系统性风险等于0时，上述说法才能成立。16. 将上述贷款利率转换成连续复利年利率，则正常贷款为10.44%,黄金贷款为1.98。假设银行按S元/盎司买了1盎司黄金，按1.98的黄金利率贷给客户1年，同时卖出e0.0198盎司1年远期黄金，根据黄金的储存成本和市场的无风险利率，我们可以算出黄金的1年远期价格为Se0.0975元/盎司。也就是说银行1年后可以收到Se0.0198+0.0975=Se0.1173元现金。可见黄金贷款的连续复利收益率为11.73%。显然黄金贷款利率高于正常贷款。17. 瑞士法郎期货的理论价格为： 0.65e0.1667(0.07-0.02)=0.06554 可见，实际的期货价格太高了。投资者可以通过借美元，买瑞士法郎，再卖瑞士法郎期货来套利。18. 与12连续复利年利率等价的3个月计一次复利的年利率为： 4（e0.03-1）=12.18% 因此，每个月应得的利息为： 10万0.1218/43045.5元。19.由于股价指数的系统性风险为正，因此股价指数期货价格总是低于预期未来的指数值。第六章 互换概述习题：1.A公司和B公司如果要在金融市场上借入5年期本金为2000万美元的贷款，需支付的年利率分别为：固定利率浮动利率A公司12.0LIBOR+0.1%B公司13.4LIBOR+0.6%A公司需要的是浮动利率贷款，B公司需要的是固定利率贷款。请设计一个利率互换，其中银行作为中介获得的报酬是0.1的利差，而且要求互换对双方具有同样的吸引力。2.X公司希望以固定利率借入美元，而Y公司希望以固定利率借入日元，而且本金用即期汇率计算价值很接近。市场对这两个公司的报价如下：日元美元X公司5.09.6%Y公司6.510.0%请设计一个货币互换，银行作为中介获得的报酬是50个基点，而且要求互换对双方具有同样的吸引力，汇率风险由银行承担。3. 一份本金为10亿美元的利率互换还有10月的期限。这笔互换规定以6个月的LIBOR利率交换12的年利率（每半年计一次复利）。市场上对交换6个月的LIBOR利率的所有期限的利率的平均报价为10（连续复利）。两个月前6个月的LIBOR利率为9.6。请问上述互换对支付浮动利率的那一方价值为多少？对支付固定利率的那一方价值为多少？4. 一份货币还有15月的期限。这笔互换规定每年交换利率为14、本金为2000万英镑和利率为10、本金为3000万美元两笔借款的现金流。英国和美国现在的利率期限结构都是平的。如果这笔互换是今天签订的，那将是用8的美元利率交换11的英镑利率。上述利率是连续复利。即期汇率为1英镑1.6500美元。请问上述互换对支付英镑的那一方价值为多少？对支付美元的那一方价值为多少？5. 解释互换的市场风险和信用风险的区别。6. X公司和Y公司的各自在市场上的10年期500万美元的投资可以获得的收益率为：固定利率浮动利率X公司8.0LIBORY公司8.8LIBORX公司希望以固定利率进行投资，而Y公司希望以浮动利率进行投资。请设计一个利率互换，其中银行作为中介获得的报酬是0.2的利差，而且要求互换对双方具有同样的吸引力。7. A公司和B公司如果要在金融市场上借款需支付的利率分别为：A公司B公司美元浮动利率LIBOR0.5LIBOR+1.0%加元固定利率5.06.5%假设A公司需要的是美元浮动利率贷款，B公司需要的是加元固定利率贷款。一家银行想设计一个互换，并从希望中获得的0.5的利差如果互换对双方具有同样的吸引力，A公司和B公司的利率支付是怎么安排的？8.为什么说货币互换可以分解为一系列远期外汇协议？习题答案:1. A公司在固定利率贷款市场上有明显的比较优势，但A公司想借的是浮动利率贷款。而B公司在浮动利率贷款市场上有明显的比较优势，但A公司想借的是固定利率贷款。这为互换交易发挥作用提供了基础。两个公司在固定利率贷款上的年利差是1.4%，在浮动利率贷款上的年利差是0.5。如果双方合作，互换交易每年的总收益将是1.4%0.5%=0.9%。因为银行要获得0.1%的报酬，所以A公司和B公司每人将获得0.4%的收益。这意味着A公司和B公司将分别以LIBOR0.3%和13%的利率借入贷款。合适的协议安排如图所示。 12.3% 12.4% 12% A 金融中介 B LIBOR+0.6% LIBOR LIBOR2. X公司在日元市场上有比较优势但想借入美元，Y公司在美元市场上有比较优势但想借入日元。这为互换交易发挥作用提供了基础。两个公司在日元贷款上的利差为1.5%，在美元贷款上的利差为0.4%，因此双方在互换合作中的年总收益为1.5%0.4%=1.1%。因为银行要求收取0.5%的中介费，这样X公司和Y公司将分别获得0.3%的合作收益。互换后X公司实际上以9.6%0.3%=9.3%的利率借入美元，而Y实际上以6.5%0.3%=6.2%借入日元。合适的协议安排如图所示。所有的汇率风险由银行承担。 日元5% 日元6.2% 日元5% A 金融中介 B 美元10% 美元9.3% 美元10%3. 根据题目提供的条件可知，LIBOR的收益率曲线的期限结构是平的，都是10%（半年计一次复利）。互换合约中隐含的固定利率债券的价值为百万美元互换合约中隐含的浮动利率债券的价值为百万美元因此，互换对支付浮动利率的一方的价值为百万美元，对支付固定利率的一方的价值为1.97百万美元。4.我们可以用远期合约的组合来给互换定价。英镑和美元的连续复利年利率分别为10.43和7.70。3个月和15个月的远期汇率分别别和。对支付英镑的一方，远期合约的价值为百万美元百万美元本金交换对应的远期合约的价值为百万美元所以互换合约的价值为百万美元。5.信用风险源于交易对方违约的可能性，而市场风险源于利率、汇率等市场变量的波动。6.X公司在固定利率投资上的年利差为0.8，在浮动利率投资上的年利差为0。因此互换带来的总收益是0.8。其中有0.2要支付给银行，剩下的X和Y每人各得0.3。换句话说，X公司可以获得8.3的回报，Y公司可以获得LIBOR0.3的回报。互换流程如图所示。 8.3% 8.5% LIBOR X 金融中介 Y 8.8% LIBOR LIBOR7. A公司在加元固定利率市场上有比较优势，而B公司在美元浮动利率市场上有比较优势，但两个公司需要的借款都不是自己有比较优势的那一种，因此存在互换的机会。两个公司在美元浮动利率借款上的利差是0.5%，在加元固定利率借款上的利差是1.5%，两者的差额是1%，因此合作者潜在的收益是1%或100个基点，如果金融中介要了50个基点，A、B公司分别可得25个基点。因此可以设计一个互换，付给A公司LIBOR+0.25%的美元浮动利率，付给B公司6.25%的加元固定利率。 加元5% 加元6.25% 加元5% A 金融中介 B 美元LIBOR+1% 美元LIBOR+0.25% 美元LIBOR+1%本金的支付方向在互换开始时与箭头指示相反，在互换终止时与箭头指示相同。金融中介在此期间承担了外汇风险，但可以用外汇远期合约抵补。8.货币互换的每一项支付都可以看作一份远期合约，因此货币互换等价与于远期合约的组合。第九章 期权与期权市场习题：1某投资者买进一份看涨期权同时卖出一份相同标的资产、相同期限相同协议价格的看跌期权，请描述该投资者的状况。2. 甲卖出1份A股票的欧式看涨期权，9月份到期，协议价格为20元。现在是5月份，A股票价格为18元，期权价格为2元。如果期权到期时A股票价格为25元，请问甲在整个过程中的现金流状况如何？3. 为什么交易所向期权卖方收保证金而不向买方收保证金？4请解释为什么相同标的资产、相同期限、相同协议价格的美式期权的价值总是大于等于欧式期权。5设某一无红利支付股票的现货价格为30元，连续复利无风险年利率为6%，求该股息协议价格为27元，有效期3个月的看涨期权价格的下限。6某一协议价格为25元，有效期6个月的欧式看涨期权价格为2元，标的股票价格为24元，该股票预计在2个月和5个月后各支付0.50元股息，所有期限的无风险连续复利年利率均为8%，请问该股票协议价格为25元，有效期6个月的欧式看跌期权价格等于多少？7假设你是一家负债率很高的公司的唯一股东。该公司的所有债务在1年后到期。如果到时公司的价值高于债务，你将偿还债务。否则的话，你将宣布破产并让债权人接管公司。（1）请将你的股权表示为公司价值的期权；（2）请将债权人的债权表示为公司价值的期权；（3）你有什么办法来提高股权的价值？8设c1、c2和c3分别表示协议价格为X1、X2、X3的欧式看涨期权的价格，其中X3X2X1且X3X2=X2X1，所有期权的到期日相同，请证明：9、请用看涨期权看跌期权平价证明用欧式看跌期权创造蝶式差价组合的成本等于用欧式看涨期权创造蝶式差价组合的成本。10、箱型差价组合（Box Spread）由看涨期权的牛市差价组合和看跌期权的熊市差价组合组成。两个差价组合的协议价格都是X1和X2。所有期权的期限都一样。请分析该箱型差价组合的结果。习题答案：1、 该投资者最终的结果为： max(ST-X,0)+min(ST-X,0)=ST-X 可见，这相当于协议价格为X的远期合约多头。本习题说明了如下问题：（1） 欧式看涨期权多头和欧式看跌期权空头可以组成远期合约多头；欧式看涨期权空头和欧式看跌期权多头可以组成远期合约空头。（2） 远期合约多头可以拆分成欧式看涨期权多头和欧式看跌期权空头；远期合约空头可以拆分成欧式看涨期权空头和欧式看跌期权多头。（3） 当X等于远期价格时，远期合约的价值为0。此时看涨期权和看跌期权的价值相等。2、 他在5月份收入2元，9月份付出5元（=25-20）。3、 期权买方在支付了期权费后，其最糟糕的结果是0，他永远不必再付出，因此他无需再缴保证金。4、 美式期权的持有者除了拥有欧式期权持有者的所有权力外，还有提前执行的权力，因此美式期权的价值至少应不低于欧式期权。5、 下限为： 3027e-0.060.25=3.40元。6、 看跌期权价格为： p=c+Xe-rT+D-S0 =2+25e-0.50.08+0.5e-0.16670.08+0.5e-0.41670.08-24 =3.00元。7、 （1）假设公司价值为V，到期债务总额为D，则股东在1年后的结果为： max(V-D,0) 这是协议价格为D，标的资产为V的欧式看涨期权的结果。 （2）债权人的结果为： min(V,D)=D-max(D-V,0) 由于max(D-V,0)是协议价格为D、标的资产为V的欧式看跌期权的结果。因此该债权可以分拆成期末值为D的无风险贷款，加上欧式看跌期权空头。 （3）股东可以通过提高V或V的波动率来提高股权的价值。第一种办法对股东和债权人都有利。第二种办法则有利于股东而不利于债权人。进行风险投资显然属于第二种办法。8、 考虑一个组合由一份协议价格为X1的欧式看涨期权多头、一份协议价格为X3的欧式看涨期权多头和2份协议价格为X2的欧式看涨期权空头组合。在4种不同的状态下，该组合的价值分别为： 当STX1时，组合价值0；当X10；当X2X3时，组合价值ST-X1-2(ST-X2)+ST-X3=X2-X1-(X3-X2)=0. 以上分析表明，在期权到期时，该组合价值一定大于等于0，那么在无套利条件下，该组合现在的价值也应大于等于0，这意味着： c1+c3-2c20, 或者说： c20.5(c1+c3).9、 令c1、c2、c3分别表示协议价格为X1、X2和X3的欧式看涨期权的价格，p1、p2、p3分别表示协议价格为X1、X2和X3的欧式看跌期权的价格。根据看涨期权看跌期权平价： c1+X1e-rT=p1+S c2+X2e-rT=p2+S c3+X3e-rT=p3+S 因此， c1+c3-2c2+(X1+X3-2X2)e-rT=p1+p3-2p2 由于X2-X1=X3-X2,因此，X1+X3-2X20。这样， c1+c3-2c2=p1+p3-2p2 证毕。10、 看涨期权的牛市差价组合由一份协议价格为X1的欧式看涨期权多头和一份协议价格为X2的欧式看涨期权空头组成。看跌期权的熊市差价组合由一份协议价格为X2的欧式看跌期权多头和一份协议价格为X1的欧式看跌期权空头组成。其结果为： 期末股价范围看涨期权的牛市差价组合看跌期权的熊市差价组合总结果STX2X2-X10X2-X1X1STX2STX1X2-STX2-X1STX10X2-X1X2-X1 从上表可以看出，在任何情况下，该箱型组合的结果都是X2-X1。在不存在套利机会的情况下，该组合目前的价值应该等于X2-X1的现值。第十一章 布莱克-舒尔斯-默顿期权等价模型习题：1假设某不付红利股票价格遵循几何布朗运动，其预期年收益率16%，年波动率30%，该股票当天收盘价为50元，求：第二天收盘时的预期价格，第二天收盘时股价的标准差，在量信度为95%情况下，该股票第二天收盘时的价格范围。2.变量X1和X2遵循普通布朗运动，漂移率分别为m1和m2，方差率分别为s12和s22。请问在下列两种情况下，X1+X2分别遵循什么样的过程？（1）在任何短时间间隔中X1和X2的变动都不相关；（2）在任何短时间间隔中X1和X2变动的相关系数为r。3假设某种不支付红利股票的市价为50元，风险利率为10%，该股票的年波动率为30%，求该股票协议价格为50元、期限3个月的欧式看跌期权价格。4请证明布莱克舒尔斯看涨期权和看跌期权定价公式符合看涨期权和看跌期权平价公式。5某股票市价为70元，年波动率为32%，该股票预计3个月和6个月后将分别支付1元股息，市场无风险利率为10%。现考虑该股票的美式看涨期权，其协议价格为65元，有效期8个月。请证明在上述两个除息日提前执行该期权都不是最优的，并请计算该期权价格。6某股票目前价格为40元，假设该股票1个月后的价格要么为42元、要么38元。连续复利无风险年利率为8%。请问1个月期的协议价格等于39元欧式看涨期权价格等于多少？习题答案：11、 由于在本题中，S50，m0.16,s=0.30,Dt=1/365=0.00274.因此，DS/50f(0.160.00274,0.30.002740.5)=f(0.0004,0.0157)DSf(0.022,0.785)因此，第二天预期股价为50.022元，标准差为0.785元，在95的置信水平上第2天股价会落在50.022-1.960.785至50.022+1.960.785,即48.48元至51.56元之间。12、 （1）假设X1和X2的初始值分别为a1和a2。经过一段时间T后，X1的概率分布为： X2的概率分布为： 根据独立的正态分布变量之和的性质，可求X1和X2的概率分布为： 这表明，X1和X2遵循漂移率为，方差率为的普通布朗运动。 （2）在这种情况下，X1和X2在短时间间隔t之内的变化的概率分布为： 如果都是常数，则X1和X2在较长时间间隔T之内的变化的概率分布为： 这表明，X1和X2遵循漂移率为，方差率为+ 的普通布朗运动。13、 在本题中，S50，X50，r=0.1,=0.3,T=0.25, 这样，欧式看跌期权价格为，14、 根据布莱克舒尔斯看跌期权定价公式有： 由于N（-d1）=1-N(d1),上式变为： 同样，根据布莱克舒尔斯看涨期权定价公式有： 可见，看涨期权和看跌期权平价公式成立。15、 D1=D2=1,t1=0.25,T=0.6667,r=0.1,X=65 可见， 显然，该美式期权是不应提早执行的。 红利的现值为： 该期权可以用欧式期权定价公式定价：S701.926568.0735，X65，T=0.6667,r=0.1,0.32 N(d1)=0.7131,N(d2)=0.6184 因此，看涨期权价格为： 16、 构造一个组合，由一份该看涨期权空头和股股票构成。如果股票价格升到42元，该组合价值就是42-3。如果股票价格跌到38元，该组合价值就等于38。令：42-3=38 得：=0.75元。也就是说，如果该组合中股票得股数等于0.75，则无论1个月后股票价格是升到42元还是跌到38元，该组合的价值到时都等于28.5元。因此，该组合的现值应该等于：28.5e-0.080.08333=28.31元。 这意味着：-c+40=28.31c=400.75-28.31=1.69元。第十二章 期权定价的数值方法习题:1. 如何理解二叉树数值定价方法？2. 一个无红利股票的美式看跌期权，有效期为3个月，目前股票价格和执行价格均为50美元，无风险利率为每年10，波动率为每年30，请按时间间隔为一个月来构造二叉树模型，为期权定价。并应用控制方差技术对这一估计进行修正。3. 如何构造有红利情况下的二叉树图？4. 一个两个月期基于某股票指数的美式看涨期权，执行价格为500，目前指数为495，无风险利率为年率10，指数红利率为每年4，波动率为每年25。构造一个四步（每步为半个月）的二叉树图，为期权定价。5. 如何理解蒙特卡罗模拟方法？其主要优缺点是什么？6. 假设无红利股票价格运动服从对数正态分布，股票当前价格为100美元，执行价格为105美元，波动率为20，无风险利率为5，一年后到期。时间步长选择为0.01，运用Excel软件计算出股票价格的一条模拟路径。7. 假设用蒙特卡罗模拟方法为一个波动率是随机的无红利欧式看涨期权定价？这时如何用控制方差法和对偶变量技术提高蒙特卡罗方法的效率？8. 有限差分方法的主要特点是什么？9. 一个无红利股票的美式看涨期权还有四个月到期，执行价为21美元，股票现价为20美元，无风险利率为10，波动率为30。运用显性有限差分法为该期权定价。股票价格区间为4美元，时间区间为1个月。10. 有红利的情况下，如何应用有限差分法？习题答案：1. 二叉树图模型的基本出发点在于：假设资产价格的运动是由大量的小幅度二值运动构成，用离散的随机游走模型模拟资产价格的连续运动可能遵循的路径。同时运用风险中性定价原理获得每个结点的期权价值，从而为期权定价。其中，模型中的隐含概率是风险中性世界中的概率。当二叉树模型相继两步之间的时间长度趋于零的时候，该模型将会收敛到连续的对数正态分布模型，即布莱克舒尔斯定价偏微分方程。2. tuDp1-p看跌期权0.08331.09050.91700.52660.47342.71运用二叉树方法得到欧式看跌期权为2.62美元，由布莱克舒尔斯公式计算可得，因此美式看跌期权的更优估计值为美元。3.（1）连续红利率的情形：将风险中性概率修正为，其他条件不变，应用倒推法为期权定价。（2）已知红利率的情形：只要调整除权日之后各结点处的证券价格为： 其他条件不变。（3）确定数额红利的情形：假设有效期内只有一次红利，除权日为。把时刻证券价格分为两个部分：一部分是不确定的，而另一部分是期权有效期内所有未来红利的现值。用通常的方法构造出的二叉树（其中使用的波动率为的标准差），之后应用 当时 当时 把的二叉树图转化为的二叉树。tudp1-p期权价格0.04171.05240.95020.51180.488219.664. 5. 蒙特卡罗方法的实质是模拟标的资产价格的随机运动，预测期权的平均回报，并由此得到期权价格的一个概率解。蒙特卡罗模拟的主要优点包括：易于应用；适用广泛，尤其适用于复杂随机过程和复杂终值的计算，如路径依赖期权，多个标的变量的期权等。同时，在运算过程中蒙特卡罗模拟还能给出估计值的标准差。蒙特卡罗模拟的缺点主要是：只能为欧式期权定价，难以处理提前执行的情形；为了达到一定的精确度，一般需要大量的模拟运算。6. 使用的公式为，注意从Excel软件中可以得到取标准正态分布随机数的函数。7.在波动率是随机的情况下，一次模拟过程需要两组标准正态分布的随机数，一组用于模拟波动率的运动过程，一组则用于在波动率已知的条件下产生资产价格的运动过程。当使用控制方差法时，表示波动率随机情况下进行模拟得到的期权价值，表示波动率为常数时运用相同的随机数流获得的期权价格估计，用代表波动率为常数时的应用布莱克舒尔斯公式得到的期权价值，期权的较优估计值为：。当使用对偶变量技术时，每个波动率和资产价格还要分别采用两组对称的随机数。用和来表示用于估计波动率时的两组随机数，中的每个数正好与中的每个数关于零对称，同样关于零对称的和则表示估计股票价格时的随机数。这样需要平行地进行六次模拟：模拟1：波动率为常数条件下用进行；模拟2：波动率为常数条件下用进行；模拟3：用和进行模拟；模拟4：用和进行模拟；模拟5：用和进行模拟；模拟5：用和进行模拟；用表示第次模拟得到的价格，则得到一个条件下的期权价格，则得到条件下的期权价格，总的期权价格估计为。如果再结合控制方差技术，则期权价格估计为。8. 有限差分方法和树图方法是相当类似的。实际上很多人认为树图方法就是解出一个偏微分方程的一种数值方法，而有限差分方法其实是这个概念的一个扩展和一般化。这两种方法都用离散的模型模拟资产价格的连续运动，主要差异在于树图方法中包含了资产价格的扩散和波动率情形，而有限差分方法中的格点则是固定均匀的，相应地参数进行了相应的变化，以反映改变了的扩散情形。其中三叉树方法和显性有限差分法就非常类似。9.根据题意，股票价格（美元）43到期时间210400.000.000.000.000.00360.000.000.000.000.00320.010.000.000.000.00280.070.040.020.000.00240.380.300.210.110.00201.561.441.311.171.00165.005.005.005.005.00129.009.009.009.009.00813.0013.0013.0013.0013.00417.0017.0017.0017.0017.00021.0021.0021.0021.0021.0010. 类似于有红利的二叉树模型。将股票价格减去未来股利的现值得到，为其建立格点，注意应使用的波动率。14