初中数学考试中对规律题的分析.doc

初中数学考试中，经常出现数列的找规律题，本文就此类题的解题方法进行探索：一、基本方法看增幅（一）如增幅相等（此实为等差数列）：对每个数和它的前一个数进行比较，如增幅相等，则第n个数可以表示为：a+(n-1)b，其中a为数列的第一位数，b为增幅，(n-1)b为第一位数到第n位的总增幅。然后再简化代数式a+(n-1)b。例：4、10、16、22、28，求第n位数。分析：第二位数起，每位数都比前一位数增加6，增幅相都是6，所以，第n位数是：4+(n-1)&time 66n2（二）如增幅不相等，但是，增幅以同等幅度增加（即增幅的增幅相等，也即增幅为等差数列）。如增幅分别为3、5、7、9，说明增幅以同等幅度增加。此种数列第n位的数也有一种通用求法。基本思路是：1、求出数列的第n-1位到第n位的增幅；2、求出第1位到第第n位的总增幅；3、数列的第1位数加上总增幅即是第n位数。举例说明：2、5、10、17，求第n位数。分析：数列的增幅分别为：3、5、7，增幅以同等幅度增加。那么，数列的第n-1位到第n位的增幅是：3+2&time (n-2)=2n-1，总增幅为：3+（2n-1）&time (n-1)2（n+1）&time (n-1)n所以，第n位数是：2+ n此解法虽然较烦，但是此类题的通用解法，当然此题也可用其它技巧，或用分析观察凑的方法求出，方法就简单的多了。（三）增幅不相等，但是，增幅同比增加，即增幅为等比数列，如：2、3、5、9,17增幅为1、2、4、8.（三）增幅不相等，且增幅也不以同等幅度增加（即增幅的增幅也不相等）。此类题大概没有通用解法，只用分析观察的方法，但是，此类题包括第二类的题，如用分析观察法，也有一些技巧。二、基本技巧（一）标出序列号：找规律的题目，通常按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律。找出的规律，通常包序列号。所以，把变量和序列号放在一起加以比较，就比较容易发现其中的奥秘。例如，观察下列各式数：0，3，8，15，24，。试按此规律写出的第100个数是 。解答这一题，可以先找一般规律，然后使用这个规律，计算出第100个数。我们把有关的量放在一起加以比较：给出的数：0，3，8，15，24，。序列号： 1，2，3， 4， 5，。容易发现，已知数的每一项，都等于它的序列号的平方减1。因此，第n项是n-1，第100项是100（二）公因式法：每位数分成最小公因式相乘，然后再找规律，看是不是与n,或2n、3n有关。例如：1，9，25，49，（），（），的第n为（2n-1）（三）看例题：A： 2、9、28、65.增幅是7、19、37.，增幅的增幅是12、18答案与3有关且.即：nB：2、4、8、16.增幅是2、4、8. .答案与2的乘方有关即：2（四）有的可对每位数同时减去第一位数，成为第二位开始的新数列，然后用（一）、（二）、（三）技巧找出每位数与位置的关系。再在找出的规律上加上第一位数，恢复到原来。例：2、5、10、17、26，同时减去2后得到新数列： 0、3、8、15、24，序列号：1、2、3、4、5分析观察可得，新数列的第n项为：n-1，所以题中数列的第n项为：（n-1）+2n（五）有的可对每位数同时加上，或乘以，或除以第一位数，成为新数列，然后，在再找出规律，并恢复到原来。例 ： 4，16，36，64，？，144，196， ？（第一百个数）同除以4后可得新数列：1、4、9、16，很显然是位置数的平方。（六）同技巧（四）、（五）一样，有的可对每位数同加、或减、或乘、或除同一数（一般为1、2、3）。当然，同时加、或减的可能性大一些，同时乘、或除的不太常见。（七）观察一下，能否把一个数列的奇数位置与偶数位置分开成为两个数列，再分别找规律。三、基本步骤1、 先看增幅是否相等，如相等，用基本方法（一）解题。2、 如不相等，综合运用技巧（一）、（二）、（三）找规律3、 如不行，就运用技巧（四）、（五）、（六），变换成新数列，然后运用技巧（一）、（二）、（三）找出新数列的规律4、 最后，如增幅以同等幅度增加，则用用基本方法（二）解题四、练习题例1：一道初中数学找规律题0，3，8，15，24， 2，5，10，17，26， 0，6，16，30，48（1）第一组有什么规律？（2）第二、三组分别跟第一组有什么关系？（3）取每组的第7个数，求这三个数的和？2、观察下面两行数2，4，8，16，32，64， （1）5，7，11，19，35，67（2）根据你发现的规律，取每行第十个数，求得他们的和。（要求写出最后的计算结果和详细解题过程。）3、白黑白黑黑白黑黑黑白黑黑黑黑白黑黑黑黑黑 排列的珠子，前2002个中有几个是黑的？4、 32-12=8&time 1 52-32=8&time 2 72-52=8&time 3 用含有N的代数式表示规律写出两个连续技术的平方差为888的等式五、对于数表1、先看行的规律，然后，以列为单位用数列找规律方法找规律2、看看有没有一个数是上面两数或下面两数的和或差李博士17年来专注中考,培养出一批批高分人才,汇集名师所创立的精品辅导班是成功的保障!考取重点高中的保证!李博士五一特训和一摸后冲刺班招生本班仅献给准备2010年考取重点中学的学生,李博士科学时间管理和卓越培养体系是完成超越的保证。我们的提高班具有以下标准：1，精品班：10人内2，教师优：一线经验丰富教师3，对中考了如指掌4，成功经验丰富5，资料权威领先,09作文,数学题型等等全部命中历年来中考成绩优异. 学习内容：巩固提高重点内容,突破难点。注意方法研究,个性指导，提供针对性方案！ 师资：名校名师。 电话号码：13426319538 报名开始,历年成绩：培养出多名状元,众多名校前几名学生。中考成绩历年云集540分以上。数学满分二十几人 2,李博士2010中考保证班新报名启动招收条件:初三新生 培养方式:周末和节假日 人数安排： 每班8-12人 新生录取情况:测试录取,根据分数评定保证人大附、四中、实验或其它市重点和区重点. 本班仅献给准备2010年考取重点中学的学生,李博士科学时间管理和卓越培养体系是完成超越的保证。我们的保证班具有以下标准：1，精品班：分层教育，个性培养。2，教师优：一线经验丰富教师和教研员结合。3，对中考了如指掌，重点、难点、考点胜劵在握。4，成功经验丰富，教学能力水平高。5，资料权威领先,09作文,数学题型等等全部命中历年来中考成绩优异. 学习内容：巩固提高中考大纲重点内容,突破难点，解决考点。个人化学习方法研究,提供个性针对方案！ 电话号码：13426319538 3月20日报名开始,2010年3月底陆续开始测试分全日制班和周末班两种学习形式! 3,2010中考全日制冲刺班: 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)127，112，97，82，( )3，4，7，12，( )，28 .五、数字推理基本类型按数字之间的关系，可将数字推理题分为以下几种类型：1.和差关系。又分为等差、移动求和或差两种。(1)等差关系。12，20，30，42，( )127，112，97，82，( )3，4，7，12，( )，28(2)移动求和或差。从第三项起，每一项都是前两项之和或差。1，2，3，5，( )，13A.9B.11C.8D.7选C。1 2=3，2 3=5，3 5=8，5 8=130，1，1，2，4，7，13，( )A.22B.23C.24D.25选C。注意此题为前三项之和等于下一项。一般考试中不会变态到要你求前四项之和，所以个人感觉这属于移动求和或差中最难的。5，3，2，1，1，( )A.-3B.-2 C.0D.2选C。2.乘除关系。又分为等比、移动求积或商两种(1)等比 从第二项起，每一项与它前一项的比等于一个常数或一个等差数列。8，12，18，27，(40.5)后项与前项之比为1.5。6，6，9，18，45，(135)后项与前项之比为等差数列，分别为1，1.5，2，2.5，3(2)移动求积或商关系。从第三项起，每一项都是前两项之积或商。2，5，10，50，(500)100，50，2，25，(2/25)3，4，6，12，36，(216) 从第三项起，第项为前两项之积除以21，7，8，57，(457)后项为前两项之积 13.平方关系1，4，9，16，25，(36)，4966，83，102，123，(146) 8，9，10，11，12的平方后 24.立方关系1，8，27，(81)，1253，10，29，(83)，127立方后 20，1，2，9，(730)后项为前项的立方 15.分数数列。关键是把分子和分母看作两个不同的数列，有的还需进行简单的通分，则可得出答案1/24/39/416/525/6(36/7)分子为等比，分母为等差2/31/22/51/3(1/4)将1/2化为2/4，1/3化为2/6，可知下一个为2/86.质数数列2，3，5，(7)，114，6，10，14，22，(26)质数数列除以220，22，25，30，37，(48) 后项与前项相减得质数数列。7.双重数列。又分为三种：(1)每两项为一组，如1，3，3，9，5，15，7，(21)第一与第二，第三与第四等每两项后项与前项之比为32，5，7，10，9，12，10，(13)每两项之差为31/7，14，1/21，42，1/36，72，1/52，( )两项为一组，每组的后项等于前项倒数*2(2)两个数列相隔，其中一个数列可能无任何规律，但只要把握有规律变化的数列就可得出结果。22，39，25，38，31，37，40，36，(52) 由两个数列，22，25，31，40，( )和39，38，37，36组成，相互隔开，均为等差。34，36，35，35，(36)，34，37，(33) 由两个数列相隔而成，一个递增，一个递减(3)数列中的数字带小数，其中整数部分为一个数列，小数部分为另一个数列。2.01，4.03， 8.04， 16.07，(32.11)整数部分为等比，小数部分为移动求和数列。双重数列难题也较少。能看出是双重数列，题目一般已经解出。特别是前两种，当数字的个数超过7个时，为双重数列的可能性相当大。8.组合数列。最常见的是和差关系与乘除关系组合、和差关系与平方立方关系组合。需要熟悉前面的几种关系后，才能较好较快地解决这类题。1，1，3，7，17，41( )A.89B.99 C.109D.119选B。此为移动求和与乘除关系组合。第三项为第二项*2 第一项65，35，17，3，( )A.1B.2C.0D.4选A。平方关系与和差关系组合，分别为8的平方 1，6的平方-1，4的平方 1，2的平方-1，下一个应为0的平方 1=14，6，10，18，34，( )A.50B.64C.66D.68选C。各差关系与等比关系组合。依次相减，得2，4，8，16( )，可推知下一个为32，32 34=666，15，35，77，( )A.106B.117C.136D.163选D。等差与等比组合。前项*2 3，5，7依次得后项，得出下一个应为77*2 9=1632，8，24，64，( )A.160B.512C.124D.164选A。此题较复杂，幂数列与等差数列组合。2=1*2的1次方，8=2*2的平方，24=3*2的3次方，64=4*2的4次方，下一个则为5*2的5次方=1600，6，24，60，120，( )A.186B.210C.220D.226选B。和差与立方关系组合。0=1的3次方-1，6=2的3次方-2，24=3的3次方-3，60=4的3次方-4，120=5的3次方-5。1，4，8，14，24，42，( )A.76B .66C.64D.68选A。两个等差与一个等比数列组合依次相减，得3，4，6，10，18，()再相减，得1，2，4，8，()，此为等比数列，下一个为16，倒推可知选A。9.其他数列。2，6，12，20，( )A.40B.32C.30D.28选C。2=1*2，6=2*3，12=3*4，20=4*5，下一个为5*6=301，1，2，6，24，( )A.48B.96C.120D.144选C。后项=前项*递增数列。1=1*1，2=1*2，6=2*3，24=6*4，下一个为120=24*51，4，8，13，16，20，( )A.20B.25C.27D.28选B。每三项为一重复，依次相减得3，4，5。下个重复也为3，4，5，推知得25。27，16，5，( )，1/7A.16B.1C.0D.2选B。依次为3的3次方，4的2次方，5的1次方，6的0次方，7的-1次方。四、解题方法数字推理题难度较大，但并非无规律可循，了解和掌握一定的方法和技巧对解答数字推理问题大有帮助。1.快速扫描已给出的几个数字，仔细观察和分析各数之间的关系，尤其是前三个数之间的关系，大胆提出假设，并迅速将这种假设延伸到下面的数，如果能得到验证，即说明找出规律，问题即迎刃而解；如果假设被否定，立即改变思考角度，提出另外一种假设，直到找出规律为止。2.推导规律时往往需要简单计算，为节省时间，要尽量多用心算，少用笔算或不用笔算。3.空缺项在最后的，从前往后推导规律；空缺项在最前面的，则从后往前寻找规律；空缺项在中间的可以两边同时推导。(一)等差数列相邻数之间的差值相等，整个数字序列依次递增或递减。等差数列是数字推理测验中排列数字的常见规律之一。它还包括了几种最基本、最常见的数字排列方式：自然数数列：1，2，3，4，5，6偶数数列：2，4，6，8，10，12奇数数列：1，3，5，7，9，11，13例题1 ：103，81，59，( )，15。A.68 B.42 C.37 D.39解析：答案为C。这显然是一个等差数列，前后项的差为22。例题2：2，5，8，( )。A.10 B.11 C.12 D.13解析：从题中的前3个数字可以看出这是一个典型的等差数列，即后面的数字与前面数字之间的差等于一个常数。题中第二个数字为5，第一个数字为2，两者的差为3，由观察得知第三个、第二个数字也满足此规律，那么在此基础上对未知的一项进行推理，即8 3=11，第四项应该是11，即答案为B。例题3：123，456，789，( )。A.1122 B.101112 C.11112 D.100112解析：答案为A。这题的第一项为123，第二项为456，第三项为789，三项中相邻两项的差都是333，所以是一个等差数列，未知项应该是789 333=1122。注意，解答数字推理题时，应着眼于探寻数列中各数字间的内在规律，而不能从数字表面上去找规律，比如本题从123，456，789这一排列，便选择101112，肯定不对。例题4： 11，17，23，( )，35。A.25 B.27 C.29 D.31解析：答案为C。这同样是一个等差数列，前项与后项相差6。例题5： 12，15，18，( )，24，27。A.20 B.21 C.22 D.23解析：答案为B。这是一个典型的等差数列，题中相邻两数之差均为3，未知项即18 3=21，或24-3=21，由此可知第四项应该是21。(二)等比数列相邻数之间的比值相等，整个数字序列依次递增或递减。等比数列在数字推理测验中，也是排列数字的常见规律之一。例题1： 2，1，1/2，( )。A.0 B.1/4 C.1/8 D.-1解析：从题中的前3个数字可以看出这是一个典型的等比数列，即后面的数字与前面数字之间的比值等于一个常数。题中第二个数字为1，第一个数字为2，两者的比值为1/2，由观察得知第三个、第二个数字也满足此规律，那么在此基础上对未知的一项进行推理，即(1/2)/2，第四项应该是1/4，即答案为B。例题2： 2，8，32，128，( )。A.256 B.342 C.512 D.1024解析：答案为C。这是一个等比数列，后一项与前一项的比值为4。例题3： 2，-4，8，-16，( )。A.32 B.64 C.-32 D.-64解析：答案为C。这仍然是一个等比数列，前后项的比值为-2。(三)平方数列1、完全平方数列：正序：1，4，9，16，25逆序：100，81，64，49，362、一个数的平方是第二个数。1)直接得出：2，4，16，( )解析：前一个数的平方等于第二个数，答案为256。2)一个数的平方加减一个数等于第二个数：1，2，5，26，(677) 前一个数的平方加1等于第二个数，答案为677。3、隐含完全平方数列：1)通过加减一个常数归成完全平方数列：0，3，8，15，24，( )前一个数加1分别得到1，4，9，16，25，分别为1，2，3，4，5的平方，答案352)相隔加减，得到一个平方数列：例：65，35，17，( )，1A.15 B.13 C.9 D.3解析：不难感觉到隐含一个平方数列。进一步思考发现规律是：65等于8的平方加1，35等于6的平方减1，17等于4的平方加1，所以下一个数应该是2的平方减1等于3，答案是D。例：1，4，16，49，121，( )。(2005年考题)A.256 B.225 C.196 D.169解析：数列为12，22，42，72，112；1，2，4，7，11前后两项的差是：1，2，3，4因而下一个数应该是162所以答案是A.256。例：2，3，10，15，26，( )。(2005年考题)A.29 B.32 C.35 D.37解析：数列为12 1，22-1，32 1，42-1，52 1因而下一个数应该是62-1=35所以答案是C.35。(四)立方数列立方数列与平方数列类似。例题1： 1，8，27，64，( )解析：数列中前四项为1，2，3，4的立方，显然答案为5的立方，为125。例题2：0，7，26，63 ，( )解析：前四项分别为1，2，3，4的立方减1，答案为5的立方减1，为124。例3：-2，-8，0，64，( )。(2006年考题)A.64 B.128 C.156 D。250解析：Fn(n-3)n3 因此最后一项因该为(5-3)53250 选D例4：0，9，26，65，124，( )(2007年考题)解析：前五项分别为1，2，3，4，5的立方加1或者减1，规律为偶数相加1，奇数相减1。即：an=n3 (-1)n。答案为239。在近几年的考试中，也出现了n次幂的形式例5：1，32，81，64，25，( )，1。(2006年考题)A.5 B.6 C.10 D.12解析：逐项拆解容易发现 1，25，34，43，52，？，1。则答案已经很明显了6的1次幂，即6 选B(五)加法数列数列中前两个数的和等于后面第三个数：Fn 2=Fn 1 Fn例题1： 1，1，2，3，5，( )。A8 B7 C9 D10解析：第一项与第二项之和等于第三项，第二项与第三项之和等于第四项，第三项与第四项之和等于第五项，按此规律3 5=8答案为A。例题2： 4，5，( )，14，23，37A 6 B 7 C 8 D 9解析：与例一相同答案为D例题3： 22，35，56，90，( ) 99年考题A 162 B 156 C 148 D 145解析：22 35-1=56 35 56-1=90 56 90-1=145，答案为D(六)减法数列前两个数的差等于后面第三个数：Fn 2=Fn 1-Fn例题1：6，3，3，( )，3，-3A 0 B 1 C 2 D 3解析：6-3=3 3-3=0 3-0=3 0-3=-3答案是A。(提醒您别忘了：“空缺项在中间，从两边找规律”)(七)乘法数列1、前两个数的乘积等于第三个数例题1：1，2，2，4，8，32，( )前两个数的乘积等于第三个数，答案是256。例题2：2，12，36，80，() (2007年考题)A.100 B.125 C.150 D.175解析：21 34 49 516 自然下一项应该为625150 选C。2、两数相乘的积呈现规律：等差，等比，平方等数列。例题2：3/2， 2/3， 3/4，1/3，3/8 ( ) (99年海关考题)A 1/6 B 2/9 C 4/3 D 4/9解析：3/22/3=1 2/33/4=1/2 3/41/3=1/4 1/33/8=1/8 3/8?=1/16 答案是 A。(八)除法数列与乘法数列相类似，一般也分为如下两种形式：1、两数相除等于第三数。2、两数相除的商呈现规律：顺序，等差，等比，平方等。(九)质数数列由质数从小到大的排列：2，3，5，7，11，13，17，19(十)循环数列几个数按一定的次序循环出现的数列。例：3，4，5，3，4，5，3，4，5，3，4以上数列只是一些常用的基本数列，考题中的数列是在以上数列基础之上构造而成的，下面我们主要分析以下近几年考题中经常出现的几种数列形式。1、二级数列这里所谓的二级数列是指数列中前后两个数的和、差、积或商构成一个我们熟悉的某种数列形式。例1：2 6 1 2 20 30 ( )(2002年考题)A.38 B.42 C.48 D.56解析：后一个数与前一个数的差分别为：4，6，8，10这显然是一个等差数列，因而要 选的答案与30的差应该是12，所以答案应该是B。例2：20 22 25 30 37 ( ) (2002年考题)A.39 B.45 C.48 D.51解析：后一个数与前一个数的差分别为：2，3，5，7这是一个质数数列，因而要选的答案与37的差应该是11，所以答案应该是C。例3：2 5 1 1 20 32 ( ) (2002年考题)A.43 B.45 C.47 D.49解析：后一个数与前一个数的差分别为：3，6，9，12这显然是一个等差数列，因而要 选的答案与32的差应该是15，所以答案应该是C。例4：4 5 7 1l 19 ( ) (2002年考题)A.27 B.31 C.35 D.41解析：后一个数与前一个数的差分别为：1，2，4，8这是一个等比数列，因而要 选的答案与19的差应该是16，所以答案应该是C。例5：3 4 7 16 ( ) (2002年考题)A.23 B.27 C.39 D.43解析：后一个数与前一个数的差分别为：1，3，9这显然也是一个等比数列，因而要 选的答案与16的差应该是27，所以答案应该是D。例6：32 27 23 20 18 ( ) (2002年考题)A.14 B.15 C.16 D.17解析：后一个数与前一个数的差分别为：-5，-4，-3，-2这显然是一个等差数列，因而要 选的答案与18的差应该是-1，所以答案应该是D。例7：1， 4， 8， 13， 16， 20， ( ) (2003年考题)A.20 B.25 C.27 D.28解析：后一个数与前一个数的差分别为：3，4，5，3，4这是一个循环数列，因而要 选的答案与20的差应该是5，所以答案应该是B。例8：1， 3， 7， 15， 31， ( ) (2003年考题)A.61 B.62 C.63 D.64解析：后一个数与前一个数的差分别为：2，4，8，16这显然是一个等比数列，因而要 选的答案与31的差应该是32，所以答案应该是C。例9：( )，36，19，10，5，2(2003年考题)A.77 B.69 C.54 D.48解析：前一个数与后一个数的差分别为：3，5，9，17这个数列中前一个数的2倍减1得后一个数，后面的数应该是17*2-1=33，因而33 36=69答案应该是 B。例10：1，2，6，15，31，( ) (2003年考题)A.53 B.56 C.62 D.87解析：后一个数与前一个数的差分别为：1，4，9，16这显然是一个完全平方数列，因而要 选的答案与31的差应该是25，所以答案应该是B。例11：1，3，18，216，( )A.1023 B.1892 C.243 D.5184解析：后一个数与前一个数的比值分别为：3，6，12这显然是一个等比数列，因而要 选的答案与216的比值应该是24，所以答案应该是D：216*24=5184。例12： -2 1 7 16 ( ) 43A.25 B.28 C.3l D.35解析：后一个数与前一个数的差值分别为：3，6，9这显然是一个等差数列，因而要 选的答案与16的差值应该是12，所以答案应该是B。例13：1 3 6 10 15 ( )A.20 B.21 C.30 D.25解析：相邻两个数的和构成一个完全平方数列，因而答案应该是B。例14：102，96，108，84，132，( ) (2006年考