《小学数学教学论》教案.doc

绪论 作为课程的小学数学教学论 一、教学内容l 本课程的性质、地位与作用l 数学教学论的产生与发展l 小学数学教学论的研究对象l 小学数学教学论的理论基础二、教学过程0.1 本课程的性质、地位与作用小学数学教学论是高等师范院校小学数学教育专业及其它相关专业的一门专业必修课程。小学数学教学论是研究数学教学过程中教和学的联系、相互作用及其统一的科学。具体地说，小学数学教学论是以一般教学论和教育学的基本理论为基础，从小学数学教育的实际出发，分析小学数学教学过程的特点，总结长期以来小学数学教学的历史经验，揭示小学数学教学过程的规律，研究小学数学教学过程中的诸要素（教学方法、教学组织形式、教学的物质条件等）及其相互间的关系，帮助教师端正教学思想和形成教学技能，并对小学数学教学的效果开展科学的评价。本课程是为适应培养高学历、专业化、学者型小学数学教师的需要，适应新一轮基础教育数学课程改革的需要而开设的专业基础课程。因此，它在培养学生将来从事小学数学教学与研究的能力、提高学生从事小学数学教师职业所必备的综合素质与专业化水平等方面具有其他课程所不能替代的重要作用。通过本课程的学习，使学生获得系统的小学数学教学论知识和小学数学教学基本技能与教学方法，提高学生对小学数学教育的整体认识水平，提高小学数学教学水平和教育研究能力，并能运用所学的理论和方法解决实际问题。0.2 数学教学论的产生与发展 人类对于教育理论的研究已有相当长的历史了，世界各国都有关于教学方面的理论。我国伟大教育家孔子（公元前551前479年）就从事过大量的教学活动，并且对于教学现象作过许多非常精辟的论述。他的关于学与思关系的言论、他所用的启发式的教学方法以及因材施教的教学实践，至今还有着重要的现实意义。战国末年的学记一书，对于教学现象又作了全面的总结。书中所提出的教学相长的思想以及所论述的几个教学原则，至今仍闪烁着智慧的光辉。此后历代教育家对于教学现象也都有过相当深刻的论述，其中朱熹（11301200）提出的六条“读书法”，即循序渐进、熟读深思、虚心涵咏、切己体察、着紧用力、居敬持志，又从学习者的角度总结出较深刻的体会。唐代的教育论著师说是中华民族的宝贵遗产，也是世界人类文明史上的宝贵财富。 在西方教育史上，有古希腊的著名教育家苏格拉底(Sokrates，公元前469前400年)他在教学理论上的主要贡献是：首次提出了归纳法教学和定义法教学，西方教育史上的启发式教学方法就由此引申而来，后人称苏格拉底的这种教学方法为“产婆术”(一种诘问性谈话法)，差不多与同一时期孔子所用的启发式方法媲美。到了中世纪，由于神学在封建社会占据统治地位，西方各国的学术研究基本上处于停滞状态。到了17世纪，捷克教育家夸美纽斯（J.A.Comenius，15921670）写出了举世闻名的大教学论一书，全面论述了当时他所接触的教育现象，提出了至今仍有借鉴意义的许多教学原则，如直观性、系统性、量力性、巩固性教学原则，达到了前所未有的水平，可以说为教学论这一学科的建立奠定了基础。其后，法国的卢梭(J.J.Rousseau，17121778)、瑞士的裴斯泰洛齐（J.H.Pestalozzi ，17461827）、德国的赫尔巴特（J.F.Herbart，17761841）都努力从心理学方面为教学理论寻找依据，并探讨合理的教学方法，为教学论的发展做出了突出贡献。 从社会发展和历史发展的阶段看，西方现代教育教学理论的大发展应该从赫尔巴特将心理学引入教学论的范畴开始。赫尔巴特曾著有普通教育学、教育学讲授纲要等教育理论著作。他提出并由他的学生发展了的五段教学法，曾经统治欧美教育界达半个世纪之久，甚至影响到东方的中国和日本。在20世纪初，美国的杜威(J.Dewey，18591952年)提出了“儿童中心主义”、“新教育运动”，成为美国代表的实用主义进步教学论学派的代表人物，与赫尔巴特的传统派形成了鲜明的对比。此后，传统派与革新派继续斗争，一直延续到现代，这两个学派也都给我国各级学校的教育以极为深刻的影响。20世纪中叶以来，现代教学论发展迅速，在世界范围内形成不同派别。如50至70年代，产生了以现代认知发展教学观取代传统和知识教学观的教学论，代表人物是美国教育学家、心理学家布鲁纳，其代表作是教学过程。与其同时，前苏联著名教育学家、心理学家赞柯夫也提出了反对“学科中心论”的发展教学论，60年代末，原苏联还出现了巴班斯基（19271987，原苏联教育科学院院士）的“教学过程最优化”的教学论。除此之外，还有维果斯基的“最近发展区”理论，德国瓦根舍因的“范例方式教学论”等等。自50年代末，在美国还产生了在世界上广泛影响的“人本主义”教学论，其代表人物有美国心理学家马斯洛、洛杰斯和阿尔伯特。现代最有影响的教学理论是前苏联著名教育学家苏霍姆林斯基的“和谐教学论”，他著有给教师的一百条建议一书（1969年），在世界范围内影响很大。而前苏联另一著名教育学家沙塔洛夫提出的“纲要信号”图示教学法，是现代积极化教学思想的体现，也有广泛的国际影响。 由上可知，过去的中外教育家们对于教学现象的探究是由来已久的。他们在这方面做出了卓越的贡献。且不说我国战国末期出现的学记，就凭树立了近代教学论的里程碑的大教学论而论，到现在也已有300多年了。在今天我们虽然把教学论作为教育学的一个组成部分，可是教学论思想的产生与发展并逐渐形成体系，却是早于把它包括在内的教育学的。教育学之成为一个学科体系应该说是稍后的事情。 数学教学论是数学教育领域中一门正处于发展中的新学科。它的产生，既是数学教育理论发展的必然，也是数学教育实践的呼唤。近年来，人们对数学教学的成效愈益关注，教学改革被作为提高数学教育质量的重要手段而升到了一个新的高度，广大的数学教学工作者越来越迫切地需要了解和掌握有关能够帮助他们切合实际地解决教学问题的理论。与此同时，普通教学论和作为数学教育的一般理论的数学教育学在现代教育科学之林中得到了极大的发展。数学教学论的丰富更为数学教育工作者所瞩目，其理论体系的日益完善和堪称丰富的实验成果使之有可能对所有数学教学活动发挥不容忽视的指导作用。正是在这种理论与实践的双重力量的推动之下，数学教学论开始发展成为学科教育学中的重要分支学科之一。数学教学论，揭示的是数学教育教学的基本原理、特有规律，而不是仅仅停留在若干教育学、心理学的一般规律上，更不能只满足于符合一些时髦的口号。在国外，弗赖登塔尔的“数学现实论”、“数学再创造论”、“数学形式化原则”；波利亚的“合情推理”学说、范希尔的“几何学习5水平”界说；杜宾斯基的APOS数学概念教学观等等，都具有浓厚的数学品味和理论价值。 在我国数学教学论这门学科的产生与发展大致经历了四个阶段：1、萌生期（1897年1921年）本学科随着师范教育的产生而产生，这时期学科附属于教育学，处于胚胎孕育阶段。1897年，清朝天津海关道盛宣怀创办南洋公学，内设师范院，开设“教授法”课，讲授教学的秩序和、法则。1904年1月清政府颁布了奏定学堂章程，确定了“癸卯学制”，是中国近代第一个由中央政府以法令形式公布并推行的学校教育制度，是仿日本学制而制定的，小学开设“算术”，中学开设“算学”（包括算术、几何、代数、三角），初级、优级师范学堂分别开设“教授法”、“各科教学法”。2、草创期（19221949）1922年政府颁布了一个正式文件“学校系统改革令”，提出师范开设“普通教授法”、“各科教学法”、“各科教材研究”。20世纪20年代前后，任职于南京高等师范学校的陶行知先生，提出改“教授法”为“教学法”的主张，虽被校方拒绝，但这一思想却逐渐深入人心，得到社会的承认。“数学教学法”，此名一直延续到20世纪50年代末。无论是“数学教授法”还是“数学教学法”，实际上只是讲授各学科通用的一般教学法，30年代至40年代，我国曾陆续出版了几本数学教学法的书，如1941年商务印书馆出版了余竹平先生编著的我国第一部教学法著作中学数学教学法；1949年商务印书馆又出版了刘开达编著的中学数学教学法。但这些书多半是对前人或外国关于教学法研究所得，并根据自己教学实践进行修补而总结的经验，但教育理论并未成熟。这时期“数学教学法”已从教育学脱胎出来。3、徘徊期（19491977）这期间学科名称几经变易，52年“数学教学法”，63年“数学教材教法”。文革期间停止开设。（1）文革前的17年（19491966）建国以后，在50年代，我国的数学教学法是从学习欧美转向学习苏联，教材用的是从前苏联翻译的伯拉基斯的数学教学法，其内容主要介绍中学数学教学大纲的内容和体系，以及中学数学中的主要课题的教学法，这些内容虽然仍停留在经验上，但比以往只学一般的教学方法有所进步，毕竟变成了专门的中学数学教学方法。课堂教学采用了凯洛夫教育学中所倡导的“五个环节”的教学模式。即组织教学、检查复习、新课教学、巩固新课、布置作业。（2）文革期间的10年（19661976）1966年9月5日，中共中央、国务院发出了关于组织外地革命师生来北京参观革命运动的通知，大、中、小学生开始了全国性的大串联活动，师生外出串联，或者在学校搞大批判，称之为“停课闹革命”。“复课闹革命”和三算教材的出现。4、发展期（1978 ）20世纪80年代，我国的数学教学论不仅与国际数学教育共同发展（例如，从80年代起我国就派团参加了此后的各届ICME），而且无论在数学教学活动还是数学教育理论研究方面都形成了自己的特色。在数学教学法的基础上，开始出现数学教学的新理论。国务院学位委员会公布的高等学校“专业目录”中，在“教育学”这个门类下设“教材教法研究”一科(后改为“学科教学论”)，使学科教育研究的学术地位得到确认。80年代中期学科教育学研究在我国广泛兴起，不少高等师范院校成立了专门的研究机构，对这一课题开展了跨学科的研究。1985年，原苏联著名数学教育学家A.A.斯托利亚尔的数学教育学一书中译本由人民教育出版社出版发行。我国在80年代也编写了数学教育研究导引一书，试图介绍一些数学教育研究的范本。到90年代初为止，在全国具有相当规模和影响的“学科教育学学术研讨会，取得了不少的研究成果。目前这一研究热潮方兴未艾，正在向纵深发展，不断有新的研究成果面世。90年代以来，国内外数学教育发展迅速，数学教育研究极为活跃，我国的数学教学论研究在已构筑的框架基础上不断深入和拓广。1990年，曹才翰教授编著的中学数学教学概论问世，标志着我国数学教育理论学科已由数学教学法演变为数学教学论，由经验实用型转为理论应用型。1991年出版张奠宙等著的数学教育学，把中国数学教育置于世界数学教育的研究之中，结合中国实际对数学教育领域内的许多问题提出了新的看法，对数学教育工作者涉及的若干专题，加以分析和评论，这是数学教育学研究的一个突破。1992年，数学教育学报创刊，由天津师范大学主办，对数学教育理论研究与实践探索发挥了重要作用。十几年来，涌现了一批优秀的科研成果，出版了一系列数学教育学著作（上海、湖南、广西、江西、江苏等教育出版社以及教育科学等其他出版社各自出版了一批“数学教育丛书”）， 研究内容包括“数学教学理论”、“数学学习理论”、“数学思维”、“数学方法论”、“数学课程与数学教育评价”、“数学习题理论”等多个方面，其内容已远远超过上述教材所包含的知识领域。同时我国还加紧数学教学论专业人才的培养，国内各大师范院校已增设课程与教学论（数学）硕士学位授权点和教育硕士（学科教学：数学）专业学位，培养出了一批年青的数学教学论工作者和研究人员。可以说90年代我国的数学教学论研究形成了一个高潮，数学教学活动实践和数学教育学理论的结合产生了丰硕的成果。当前，中国正进行新一轮基础教育课程改革，数学教育应从“应试教育”转向素质教育，要培养新世纪的全面素质的人才，以适应社会发展、国际竞争和经济全球化、信息化的新形势的需要。随着素质教育改革的不断深入，对新世纪的中学数学教师从专业素养、教学理论、能力水平等诸方面都提出了更高的要求。2003年4月，高等教育出版社出版了由张奠宙、李士錡、李俊编著的数学教育学导论，是基础教育新课程教师教育系列教材之一，本书用新的观点阐述了中小学数学教育的理论，构建了新的数学教育体系，并与正在实验的国家数学课程标准相适应，这是数学教育学研究的一个新发展。因此，高等师范数学教育的改革应适应这一发展趋势，积极投身于全国乃至世界数学教育的改革与发展之中，及时地更新课程教学内容，才能更好地体现高等师范院校数学教育的先进性和带头作用。数学教学论是一门不断发展的新学科，它的内容、体系的成熟，需要数学教学与数学研究工作者的共同努力。随着我国数学教育事业蓬勃发展，成果大量涌现，一门具有中国特色的数学教学论正在逐步形成。数学教育的理论研究在这20多年中经历了十分重要的转变：82年提出数学教材教法应向“数学教育学”方向发展：85年提出建设具有中国特色的数学教育学；87年国家将“教材教法研究”更名为“学科教学论”，本学科相应更名为“数学教学论”。这期间出版了教材专著百余种：79年湖南一师编小学数学教学法；84年人民教育出版社编小学数学基础理论和教法；94年人民教育出版社编小学数学教材教法；97年高等教育出版社编小学数学教育学；03年湖南一师编数学教育新论）0.3 小学数学教学论的研究对象 对小学数学教学论的研究对象的把握应该建立在对一般教学论的研究对象的正确理解基础之上。 教学论，是关于教学活动的理论，是教育学中的一个组成部分。关于教学论的研究对象，人们普遍地认为它是揭示教学的一般规律，研究教和学的一般原理。教学论的理论体系也正是循着这一线索来构建并得到不断完善的。 小学数学教学论研究的数学教学是指数学活动的教学，它是教师的数学教学活动与学生的数学学习活动两个方面的统一过程。数学学习活动是学生在教师的指导下掌握系统的数学知识、技能和技巧的过程；数学教学活动是按照教育教学规律，向学生进行数学基础知识和基本技能的教学，以培养数学能力，发展学生的认识能力，增进数学素质，并指导、评价学生数学学习的过程。由此可知，数学教学并不是指教师简单地把数学知识传授给学生，而是需要教师组织有效的数学活动，指导学生的数学学习，使他们在学习中获得提高与发展的教育。 围绕着小学数学教学论的研究对象，可以确立小学数学教学论的以下一些主要研究课题，也是小学数学教学论的主要任务，这主要包括： 1）小学数学课程目标； 2）小学数学课程内容； 3）小学数学学习过程； 4）小学数学教学过程； 5）小学数学教学原则与教学方法； 6）小学数学教学活动与教学组织形式； 7）小学数学具体内容的分析与教学设计； 8）小学数学课堂教学艺术； 9）小学数学教学评价。 除上述课题外，小学数学教学论还应当结合时代条件和科学技术的发展状况对小学数学教学中的各种新问题开展范围广泛的研究。 以上所列述的小学数学教学论的研究课题也可以看成是现阶段小学数学教学论的理论体系的基本框架，它也是我们这门小学数学教学论课程所要讲授的主要内容。0.4 小学数学教学论的理论基础 小学数学教学论这门学科同许多科学都相互联系、相互作用，并受到这些科学的制约和影响。因此，研究小学数学教学论，应当建立其自身的一系列科学的理论基础，这是小学数学教学论日趋完善和成熟的重要保证。 0.4.1以辩证唯物主义认识论为基础 辩证唯物主义认识论是认识世界、改造世界的科学的方法论，是研究一切科学的方法论，也是我们认识教学过程的方法论。数学教学活动从其本质来看，是和人类的一般认识活动相一致的，是人类总体认识活动的一个部分。因此，要建立科学的数学教学理论就必须以辩证唯物主义认识论为指导，并从数学教学活动本身的特点出发去探索数学教学过程的基本规律。教学过程是学生在教师的指导下，从不知到知、从知之较少到知之较多，逐步掌握社会历史经验、认识客观世界和改造主观世界的过程，马克思主义认识论理所当然地成为它的科学方法论基础。这也是教学过程论的指导思想。相反，如果离开了辩证唯物主义认识论，就不可能正确理解教学过程的实质、特点和规律，就必然会陷入唯心主义和机械主义的泥坑。 0.4.2以小学生心理学、生理学为基础 小学数学教学论的研究要以小学生心理学为基础，这是因为有效的数学教学活动本身需要根据小学生心理品质形成和思维发展的规律，尤其是小学生的个性特点来建立科学的教学体系，使教学活动能够适应小学生的心理需要并促进其心理能力的健康发展。从现代教学理论的发展来看，新的研究和实践越来越借助于心理学的支持。在欧洲19世纪上半叶教育心理化运动的推动下，首次由赫尔巴特把教学论建立在心理学的基础之上。之后，许多教育家和心理学家致力于教学心理学的实验和研究，从而使心理学成为教学论的最重要的科学基础。 若从心理学和生理学来看，教学过程实质上是使学生的身心得到全面发展的过程。那么研究和组织教学过程就必须认识和掌握学生身心发展的机制、特点和规律。只有当教学过程符合学生身体发育、大脑神经活动和心理发展的规律时，才能充分发挥教学的教育功能，才能更好地促进学生的整体发展。例如，教学过程除了包括学生认识过程的心理系列之外，还包括激发学生认识过程的心理系列，如兴趣、情感、意志、性格等，所以在教学中必须考虑学生的认知因素和非认知因素。又如，根据大脑两半球的分工原理如何开发学生的形象思维、直觉思维和创造思维，这是当前教学论很值得重视的课题。因此，教学过程必须以生理学、脑科学、心理学特别是教育心理学和发展心理学为其科学基础，这也是教学论科学化的重要条件之一。 0.4.3以系统科学和传播学等现代化的科学理论为基础 系统科学即控制论、信息论和系统论，是20世纪40年代诞生的一组新兴的技术科学，也是具有普遍意义的研究方法。由于系统科学本身就是现代科学技术整体化的产物，所以具有向科学的一切领域、包括教育科学领域广泛渗透的可能性。系统科学的运用使人们从对单一事物的研究过渡到对系统联系的研究。运用系统方法研究教学问题，有助于从整体上把握教学现象、建立教学模式，从控制论、信息论和系统论的观点对教学规律的研究具体化、深入化，还能得到许多新的启发和认识。例如，从系统论的观点出发，数学教学是一个由许多基本因素组成的复杂系统，需要借用系统分析的方法来研究。从信息论的原理分析，数学教学活动就是一种信息传输和变换的过程，教师尤其要重视使学生能有效地输入和反馈。若从控制论看，教学过程则是教与学之间的信息传递和反馈控制过程。教师要实现数学教学过程的最优化的控制，以便教和学的活动以及教学过程的运行能处于动态平衡之中。应用系统科学的观点和方法研究教学过程，是科学技术发展对教育科学研究所提出的必然要求，并已成为世界各国教学过程理论现代化的发展趋势。例如，前苏联教育家巴班斯基运用辩证的系统方法研究教学过程，提出了很有特色的教学过程最优化理论。此外，从传播学的角度来看，数学教学过程作为一个有组织的信息传播过程，建立有效的传播模式将是非常重要的。总之，以上述这些现代化的科学理论为基础，数学教学论的研究将具有更加严密的科学体系。随着小学数学教学论研究的不断发展，研究这一领域的科学基础将日益被拓宽。除上述已被提到的有关理论外，逻辑学、美学、思维科学、决策理论等等也应该受到小学数学教学论研究的重视。第一章 走进小学数学课程 一、教学目的通过本章的学习，使学生了解数学的研究对象、特点与发展以及影响数学课程目标的因素；明确我国义务教育阶段的数学课程目标。 二、教学重点、难点 重点是我国义务教育阶段的数学课程目标分析；难点是数学的研究对象、特点与发展。 三、教学方法 讲授、讨论交流与阅读文献。 四、教学内容本章主要内容：l 数学的基本认识l 小学数学学科的性质与任务l 小学数学课程及其发展l 小学数学课程目标 五、教学过程1.1 数学的基本认识小学数学课程是按照一定的需要，遵循一定的原则，从数学科学中精心选择内容加以编排形成的。作为学科的数学与作为科学的数学有密切的联系，又有很大的区别。认识数学科学的研究对象、主要特点和发展过程有助于我们确定和理解为什么进行数学教育，认识数学教育的规律和特点。 1.1.1 数学的产生 考察一下数学的历史，可以看到它的发展存在着两个起点。1、以实际问题为起点数学的产生首先是以实际问题为起点的，即是人类为了了解客观存在的内部性质的需要，用以解决实践上的问题。例如，人类在自己的生产与生活中，需要对一些物体进行量的刻画和描述，于是，“数”就产生了；又如，人类在自己的生产与生活中，需要对一些对象进行集合意义上的合并与分解，于是，四则运算就产生了；再如，人类在科学研究过程中，要研究抛物体的运动轨迹，需要用图形来描述从而帮助分析，但如何作出这些曲线图形呢？笛卡尔就用代数方法来研究这些曲线的特点，于是解析几何就产生了。2、以理论问题为起点数学的产生其次是以理论问题为起点的，即是人类为了了解思想存在的内部性质的需要，用以解决理论上的问题。例如，五世纪的普多克罗斯（pudkyols）注意到，一个圆的直径可以将整个圆分成两半，但由于圆的直径有无限多，因此，必定存在着两倍于直径的半圆。而伽利略却注意到，每个正整数与它的平方能建立一一对应的关系，而这些正整数的平方的集合应是正整数集合的真子集，这样就构成了一个整体和它的部分相等的悖论（史称伽利略悖论），为了解决这个悖论，康托等作了研究，创立了集合论，并创造性地提出了“超越数”的概念。当然，数学的最终起点还是现实世界，它更多地来自于人类的问题提出和问题解决，是人类力图对现实世界的最本质的和最一般的反映。超越现实世界的数学的产生，其目的还是为了获得对现实世界更合理、更准确的最一般的反映。 1.1.2 数学的研究对象数学是人们认识自然、认识社会的重要工具，千百年来人们不断地探索和认识数学，运用数学解决现实问题，对数学的认识也在不断地演变和发展。数学家、哲学家和数学教育家都有自己对数学研究对象的认识。恩格斯曾对数学的属性作过如下的描述：数学就是研究“现实世界的空间形式和数量关系”的一种科学。这是对数学研究对象的一种经典的解释，是对数学十分概括和深刻的解释。数学是对现实世界的事物在空间形式和数量关系方面的抽象，数学来源于人们的生产和生活实践，反过来又为人们的社会实践和日常生活服务，是人类从事各项活动不可缺少的工具。“数量关系”是算术、代数等领域研究的内容，用来表现现实世界各种数量及其关系。“空间形式”是几何学研究的内容，研究物体的形状、大小及其相互关系。人类在社会和生产实践中，不断揭示数量关系和空间形式的规律，并将其不断抽象化、系统化、形式化，形成数学科学体系。随着数学科学的发展，对数学本质的认识也在发展，数学的研究对象也在扩展，对数学的认识也不断深入，人们从不同的角度阐述对数学本质的认识和理解。一种受到普遍关注的观点认为，数学是关于客观世界的模式的科学。数学通过揭示各种隐藏着的模式，帮助我们理解周围世界。无论是数、关系、形状、推理，还是概率、数理统计，都是人类发展进程中对客观世界某些侧面的数学把握的反映。人们从实际中提炼数学问题，抽象化为数学模型，再回到现实中进行检验。从这个意义上，数学可以被看作是一种技术或模型。此外，从数学的产生与发展历史看，数学还具有这样几个性质：其一，数学的对象是由人类发明或创造的；其二，数学的创造源于对现实世界和数学世界研究的需要；其三，数学性质具有客观存在的确定性；其四，数学是一个发展的动态体系。1.1.3 数学的基本特征 一般地认为，数学具有理论的抽象性、逻辑的严谨性和应用的广泛性这三个特征。（一）理论的抽象性 我们知道，任何一门科学都不是直接处理现实对象，而是用我们通常所称的“模型”去处理其抽象的反映，而数学则不同，它往往是处理所有这些模型的抽象，是这些模型的一般模式，从而来概括同类对象或同类对象关系。显然，数学是作为一个独立的客体而存在的、抽去了具体内容的一种形式科学，它用形式化、符号化和精确化的语言来表现的一种“抽象的抽象”或“概括性的抽象”，它是以“一切性质的性质的抽象”而呈现的。因而，数学对象没有任何物质的和能量的特征，它只有一个特征，那就是这些对象都处于一定的相互关系之中。例如，数学研究的“直线”，是一种没有长短、粗细、轻重和颜色的等任何物质的和能量特征的“理想化”的对象。（二）逻辑的严谨性数学具有严密的逻辑严谨性。即数学的结果是从一些基本概念（或公理）出发并采用严格的逻辑推论而得到的。这种推论（推理）对于每一个懂得这样的规则并拥有一定数学基础的人来说，都是无需争辩的和确信无疑的。数学的逻辑严谨性还带来了数学的精确性，也就是说，数学的表述具有相当严密的唯一性。而且数学语言常常反映在其他的学科（尤其是自然学科）之中，用来准确地表述概念或由经验所获得的发现。 数学的严谨性还表现在它的系统性。数学体系本身是一个精确的自然结构，而且是所有自然结构中最具有完美模型的特征的。它是以最简洁、最精确、最稳定的模型来揭示最本质、最抽象的关系系统的理论。正如弗赖簦塔尔所说,数学与其他思维相比，有一个最大的特点，那就是对任何一个陈述，都可以确定其对或错。因为只有数学可以加上一个强有力的演绎结构。这就是所谓数学的严谨性。当然，当数学科学变得很严谨的时候，它就表现出一种不可忽视的人为的特性，以至于有时它会忘掉了自己的历史起源。（三）应用的广泛性数学的对象领域，涉及到整个客观世界，数学是解决我们生活和生产过程中问题的主要工具，因为没有一个物质的领域不呈现出数学可以研究的现象或规律的，尤其是社会的科学技术发展到今天，数学已经渗透到人们的所有生活之中。所以，数学可以运用到各个方面。同时，数学还在其他的科学中占有特殊的地位，因为无论是自然科学、社会科学甚至是思维科学，都可借用数学的严密性和抽象性的特点来做更为精确的研究或描述。1.1.4 数学的发展过程 数学科学的发展过程经历了漫长的历史，从人类早期对数学的认识开始，大致可以分为五个时期，即萌芽时期；常量数学时期；变量数学时期；近代数学时期、现代数学时期。在不同的时期，人类对数学的认识从低级到高级不断发展。了解数学的发展过程，有助于我们研究小学数学学科的有关问题。 (1)数学萌芽时期(远古公元前6世纪) 这个时期人类在长期的生产实践中逐渐形成了数的概念，初步掌握了数的运算方法，并积累了一些数学知识。 由于田亩度量和天文观测的需要，几何知识初步兴起，但还没有逻辑因素，未发现命题的证明。 这个时期的特点，是人们在实践中从现实世界里，零零星星地认识了数学中最古老、原始概念“数”(自然数)和“形”(简单几何图形)。数的概念起源于数(读sn)。原始社会人们采用“结绳记数”，就是把打猎所获得猎物与绳子的“结”进行比较，得出猎物的个数。从我国出土的甲骨文中，发现大约公元前14世纪公元前11世纪的数字是采用十进位制记数法，最大数是3万。由此可见，数已从具体事物分离出来，抽象为“数”的概念，但仍然印上了十个手指数数的烙印。另一方面，人类还在采集果实、打造石器、烧土制陶的活动中，对各种物体加以比较，区分直曲方圆，逐渐形成了“形”的概念。我国出土的“仰韶文化”的彩陶中，就有由三角形和直线组成或由圆和曲线组成的图案。 (2)常量数学时期(公元前6世纪公元17世纪) 这个时期的特点，是人们将零星的数学知识，进行了积累、归纳、系统化，采用逻辑演绎的方法形成了古典初等数学的体系。数学萌芽时期，人们认识的“数”和“形”，只是零星的数学知识，并未构成逻辑体系。到了公元前5世纪，古埃及由于尼罗河长期泛滥，冲毁了土地区域，需要重新丈量，积累了丰富的几何知识。后来古埃及人把几何知识传到古希腊，由Euclid把人们长期实践发现、积累的几何知识，按照演绎的方法写成了几何原本。同一个时期，人们为了解决实践中的一些实际应用问题，如研究天文历法中的问题，促使算术、代数的发展。数学从原始自然数，分数发展扩充到正负实数。成书于东汉时期的九章算术，就是人们在长期实践中，用数学解决实际问题的经验总结。公元前3世纪至公元2世纪撰写成的几何原本和九章算术，标志着古典的初等数学体系的形成。 几何原本全书共13卷。全书主要以空间形式为研究对象，以逻辑思维为主线，从5条公设、23个定义和5条公理推出了467条定理，从而建立了公理化演绎体系。九章算术则是246个数学问题、答案和术文组成。全书主要研究对象是数量关系。该书以直觉思维为主线，按算法分为方田、粟米、衰分、少广、商广、均输、盈不足、方程、勾股等九章，构成了以题解为中心的机械化算法体系。 (3)变量数学时期(17世纪19世纪) 变量数学产生于17世纪，其标志有两个：一是解析几何的产生；二是微积分的建立。这个时期的特点，是“运动”成为自然科学研究的中心课题。数学由研究现实世界的相对静止的事物或现象进而探索运动变化的规律。常量数学已发展到变量数学。16世纪，欧洲社会萌芽了资本主义，手工业生产转向了机器工业生产，迫使自然科学对“运动”和各种“过程”的研究，进而产生了“变量”与“函数”的概念。 17世纪上半叶，Descartes将几何内容的课题与代数形式的方法相结合，产生了解析几何学，这标志着变量数学时期的开始。17世纪60年代，Newton和Leibniz各自从运动学和几何学研究的需要，创建了微积分。随后，相继建立了级数理论、微分方程论、变分学等分析学领域的各个分支。15世纪18世纪，人们还研究了大量的随机现象，发现存在着某种完全不确定规律性，从而开辟了或然数学的新领域，建立了概率论。这个时期，数学的研究对象已由常量进入变量，由有限进入无限，由确定性进入非确定性；数学研究的基本方法也由传统的几何演绎方法转变为算术、代数的分析方法。 (4)近代数学时期(19世纪)这一时期的数学的对象、内容在深度上和广度上都有了很大发展，分析学、代数学、几何学的思想、理论和方法都发生了革命性的变化，数学越发抽象、不断分化、不断综合的发展规律开始显露；数学基础研究的开始，标志着一座宏伟稳固的数学大厦已在人们脑海里出现；数学应用范围继力学、光学之后，又在热力学、电磁学、技术科学中获得扩展。 （5）现代数学时期(20世纪) 在这一时期，电子计算机进入数学领域，使整个数学的面貌大为改观；数学几乎渗透到所有科学领域，形成了数学科学的一系列分支理论和应用数学理论；纯粹数学不断向纵深发展，集合论观点的普遍运用，公理化方法的完善，数理逻辑的发展，数学基础的奠定，模糊数学的创建，以及泛函分析、抽象代数和拓扑学三大现代理论的建立，已经使数学在整个科学体系中的特殊地位和作用突出地显现出来20世纪以来，人们眼光中的数学同以往任何时代都无法相比了。 1.1.4 数学的主要内容数学科学的全部内容，是由数学问题、数学知识、数学方法与数学思想组成的系统。在这个系统中，数学问题、数学知识、数学方法与数学思想具有各自不同的内涵，也有着不同的作用。纵观数学发展的历史可以看到，人们在解决实践和理论中提出的各种数学问题的过程中，总结和创造了各种不同的数学方法。在这些数学方法发生的同时，相应的数学知识也相伴形成，在不断探求对数学知识和方法的认识的基础上，数学思想便产生了。例如，著名数学家欧拉正是在解决“哥尼斯堡七桥问题”的过程中，不仅发现了许多知识并开拓了运筹学和图论等崭新的数学研究领域，而且他的研究也是运用抽象化方法和数学模型思想的光辉范例。就数学问题、数学知识、数学方法与数学思想的关系而言，一方面，数学思想与数学方法蕴含在数学的知识体系之中，数学思想与方法的突破又常常导致数学知识的创新；另一方面，数学思想比数学方法更深刻、更抽象地反映着客观事物的内在联系，是数学方法的进一步概括和升华。因此，如果说问题是数学的“心脏”、方法是数学的“行为规则”、知识是数学的“躯体”，那么数学思想无疑是数学的“灵魂”。1.2 小学数学学科的性质与任务“学科”是一个教育学的概念，专指学校课程内容中的一定科学领域的总称。当数学成为学校的教育教学的对象的时候，就被称之为“数学学科”。 1.2.1 作为学科的数学作为学科的数学，它自然是源于数学科学，但作为一种教育活动的对象，其又有一定的独特性。也就是说，作为教育的数学和作为科学的数学是不完全相同的。（一）从知识体系看作为科学的数学，是一个完整的、独立于任何人的任何知识结构而存在的、特定的知识和思想体系。而作为教育的数学，则是一个经过人为的加工和提炼的、依据某一特殊人群（作为获得基础的人类文化遗产的学生）的特殊需要（即数学教育的目标）和经验、知识与能力结构而设计的知识和思想体系；（二）从数学活动看作为科学的数学，是一类专门的人（可以称之为“数学家”的那些人）的一个完全独立的探索、发现与创造的活动过程，而作为教育的数学，则是一类专门的人（可以称之为“学生”的那些人）在某些专门的人（可以称之为“教师”的那些人）的引导和帮助下的一个模仿探索、发现与创造的活动过程；（三）从对象特征看作为科学的数学，其对象是一个完全由符号、概念和规则等构成的和完全开放的逻辑结构系统，而作为教育的数学，其对象则是含有经验、直观的和几乎是封闭的逻辑结构系统；最后，从活动的目的看，作为科学的数学活动，是为了获得发现和创造数学，而作为教育的数学活动，是为了“接受”已经发现和创造的数学。1.2.2 小学数学学科的性质作为小学数学课程的数学学科，具有如下性质： 1、生活性倡导将数学学习回归于儿童的生活，这已经成为了当今转变小学数学教育观念的一个重大的命题。因为我们已经开始关注到，儿童是从自己的生活实践开始认识数学的，所以，就要将儿童的数学学习真正地回归到儿童的生活中去，在学习中时时关注儿童关心什么？经历了什么？对什么感兴趣？在生活中发现了什么？让数学学习与儿童自己的生活充分地融合起来，将学习纳入他们的生活背景之中，让他们在自己寻找、发现、探究、认识和掌握数学。 2、现实性 儿童的数学是他们的现实数学，因此，儿童的数学学习的组织，应源于他们的数学现实。这种现实存在于儿童与外部世界的沟通和交流的构成之中，存在于儿童的社会生活的实践性活动之中。这些“现实”是小学数学课程的起点，也是儿童获得数学的学习活动与生活实践的节点。课程的任务是构建抽象与现实的连续体。因此，小学数学课程的一个重要的特征就是沟通抽象的数学与现实的实践的联系，强化数学的产生与运用真正回归儿童的生活现实。 3、体验性即学校的数学教育，应当努力去改变相应的课程内容、教学方式、组织策略和评价模式。积极倡导努力探求解法，而不单是记忆步骤；主动探索模式，而不单是记忆公式；积极形成猜测，而不单是做些习题。可见，我们的学校的数学教育应当成为让学生去亲生体验一下的数学问题解决的一种活动，不要总是将详细整理好的证明（事实）材料提供给学生，而是尽可能地让学生通过自己仔细的观察、粗略的发现和简单的证明，只有这样，才有可能使学生真正经历超越局部的、非单纯接受的问题解决的过程。 1.2.3 小学数学学科的任务小学数学教育的最终目标就是发展人，就是发展人在快速变迁的社会中获得高质量生存所需要的基本素养、能力和情感。 （一）发展公民数学素养是基本的任务第二次世界大战之后，随着包括计算技术在内的现代科学技术的迅速发展，数学的应用领域得到了极大的拓展。就像今天的识字、阅读一样，数学日益成为公民必需的文化素养，数学教育大众化成为了时代的要求。例如，在现代社会，大量信息以各式各样的数据形式出现在我们面前。如何收集有用的数据，怎样整理、分析信息，得出有用的结论，就成为了现代人必不可少的一种能力。数学不仅是人们是利用数学来交流信息和思想的，理由数学来完成一系列的实际任务及解决现实生活中的问题的。同时，数学也是探索新世界的工具。可见，我们的小学数学教育，并不追求将所有的儿童都培养成为伟大的数学家，而是培养他们最基本的数学素养。 1、数学素养的基本内涵早在80年代，著名的科克罗夫特（cockcroft,W.H.）报告就提出“数学素养”这个词，它认为数学素养主要包含两个内涵，第一是指个人在日常生活中具有运用数学技能的能力，能够满足个人每天生活中的实际数学需求；第二是能正确理解含有数学术语的信息，如阅读图表和表格等，这表示一个有数学素养的人应该能正确理解一些数学的沟通方式。显然，这种观点明显的超出了我们通常所理解的数学运算的学习，也超出了我们所理解的以掌握数学概念和解题方法的学习，更超出了我们通常所理解的解题技能的学习。具体的看，参照美国的NCTM（国家数学教师协会）标准（即1989年的“学校数学大纲及其评价标准”），我们大致可以给数学素养的基本内涵做如下的表述： （1）懂得数学的价值即能初步懂得数学的价值和在文化中的地位和社会生活中的作用，了解用数学思想来思考并用数学方法来处理日常生活中发生的事件与现象的优越性，提高对日常的事物现象用数学的知识与经验、思想与方法等进行观察、推测、尝试、计划并合情合理地思考的意识和兴趣。（2）对自己的数学能力有自信心即在学习中对自己的数学能力有信心，并有可能常常在数学的学习中获得一些积极良好的情感体验，从而提高参与社会生活以及在社会生活的探究、发现和改造等活动中主动进行决策的兴趣和态度。（3）有解决现实数学问题的能力即能初步掌握对日常生活中存在的各种信息的采集、整理、辨析及其处理与运用的基础能力，并能用数学的方法对它们进行初步的考察、区分、组织和模型建构，从而获得最基础性的解决数学课题的能力。（4）学会数学交流即会读数学、写数学和讨论数学，包括学会简单的数学交流，能用数学语言来解释、阐述或证明自己的研究与解决问题的猜测、计划、过程和结果等。（5）学会数学的思想方法即学会初步的和简单的一些数学思想和数学方法。包括对应思想、变量思想、统计思想等等以及化归、假设、模型等方法。 2、数学素养的基本特征（1）发展性实际上，数学素养是随着社会的进步而变化和发展的，例如，在100多年前，掌握算术技能可能就是一个重要的数学素养，但随着今天计算机技术发展，这种算术技能的重要性和对运算技能的需求都已逐渐发生了显著的变化。今天作为一个有数学素养的人，面对一个现象或问题，他可能先要判断是否需要进行计算？如是，则可能就要思考是否需要精确计算？然后才考量用什么方法进行计算。中间可能还要思考是否需要增加有用的信息？可能还要考虑如何辨析这些信息？等等。（2）过程性首先，数学素养所内含的目标，不是一个终极的目标，而是一种指向发展方向的过程性目标，是我们数学教育所追求的价值目标。因此，数学教育关注的，是儿童的这种数学素养的渐进的发展过程。其次，数学素养的发展，是伴随着数学学习过程之中的，它不能靠我们通常所理解的所谓的“单项训练”就能实现的。有时，它还伴随者其他的学科学习和环境学习中的有意识加以渗透的。（3）实践性数学素养具有明显的现实性和实践性的特征，它与我们的日常社会生活是紧密联系的。因为，儿童的数学素养是借助于现实数学的学习和自己的主体性实践而获得发展的。数学学习就是要让儿童感觉到，没有一定的数学素养，他们可能就会在一些日常的社会生活中难以行动。同时，数学学习也应让儿童感觉到，数学素养就存在于自己的日常社会生活之中。使儿童在数学探究和问题解决中去发展数学素养。 （二）培养数学思维是实现数学素养发展的基本点1、思维与数学思维思维是人脑对客观事物的本质及其内在规律性联系概括的和间接的反映。思维有两个最显著的特征，一是概括性，二是间接性。数学思维是人脑和数学对象交互作用并按照一般的思维规律认识数学本质和规律的理性活动。具体来说，数学思维就是以数和形及其结构关系为思维对象，以数学语言和符号为思维的载体，并以认识发现数学规律为目的一种思维。数学思维既从属于一般的人类思维，具有一般思维的特征，同时由于数学及其研究方法的特点，数学思维又具有不同于一般思维的自身特点，表现在思维活动是按客观存在的数学规律进行的，具有数学的特点与操作方式。特别是作为思维载体的数学语言的简约性和数学形式的符号化、抽象化、结构化倾向决定了数学思维具有不同于其他思维的独特风格。数学思维主要具有概括性、整体性、相似性和问题性等特点。2、数学思维的分类（1）数学思维方式按照思维活动的形式可以分成逻辑思维、形象思维和直觉思维三类。数学逻辑思维是以数学的概念、判断和推理为基本形式，以分析、综合、抽象、概括、（完全）归纳、演绎为主要方法，并能用词语或符号加以逻辑地表达的思维方式。它以抽象性和演绎性为主要特征，其思维过程是线型或枝叉型地一步步地推下去的，并且每一步都有充分的依据，具有论证推理的特点。用数学家阿达玛的话来说，“逻辑”思维是以较少无意识“成分”，定向比较严密，一致性和清楚划分的思维过程为特征的。 数学形象思维是以数学的表象、直感、想象为基本形式，以观察、比较、类比、联想、（不完全）归纳、猜想为主要方法，并主要地通过对形象材料的意识加工而得到领会的思维方式。它以形象性和想象性为主要特征，其思维过程带有整体思考、模糊判别的合情推理的倾向。 数学直觉思维是包括数学直觉和数学灵感两种独立表现形式，能够迅速地直接地洞察或领悟对象性质的思维方式。它们以思维的跳跃性或突发性为主要特征。用阿达玛的话来说，“直觉”思维是以相当多的无意识“成分”，思维过程更分散、迅速和省略为特征的。（2）数学思维方式按照思维指向可以分成集中思维和发散思维两类。集中思维又叫聚合思维、求同思维、收敛思维。定向思维(正向思维)和纵向思维是集中思维的两种重要形式。发散思维又叫求异思维、分散思维、辐射思维。逆向思维和多向思维是发散思维的两种重要形式。集中思维是指从一个方向深入问题或朝着一个目标前进的思维方式。在集中思维时，全部信息仅仅只是导致一个正确的答案或一个人们认为最好的或最合乎惯例的答案。发散思维则是具有多个思维指向、多种思维角度并能发现多种解答或结果的思维方式。在发散思维时，我们是沿着各种不同的方向去思考的，即有时去探索新远景，有时去追求多样性。因此，在看待集中思维时，需要看到它在某种程度上存在单维型、封闭型与静止型思维特点的一面。而发散思维则相对地较明显地具有多维型、开放型和动态型思维的特征。 （3） 数学思维方式按照智力品质可以分成再现性思维和创造性思维两类。再现性思维是运用已获得的知识和经验，按现成的方案和程序，用惯用的方法、固定的模式来解决问题的思维方式。创造性思维是指以新颖、独创的方式来解决问题的思维，是在已有的知识和经验的基础上，对问题找出新答案、发现新关系或创造新方法的思维。3、数学思维的一般方法数学思维的一般方法是指学生在数学思维过程中运用的基本方法。（1）观察与实验所谓观察，就是指人们对周围客观世界的各个事物和现象，在其自然的条件下，按照客观事物本身存在的自然联系的实际情况，加以有目的的感知，从而来确定或研究它们的性质或关系的一种思维活动。观察是多种感觉器官对对象的有意识的知觉。观察具有这样两个特征：第一，观察的双重性。即观察不仅仅是指利用各种感觉器官对客观事物进行看、触、听、嗅、尝等感知活动，还包括对客观事物的领会和理解等活动。例如，儿童在学习长方形面积的计算时，可能先观察由若干单位面积的小正方形组成的长方形，然后用数数的方式找到该长方形的面积。这时就会引起他们思考，长方形的面积都要通过“数”吗？他们与长方形的什么是有关系的呢？接着就会去进一步地观察，在这个长方形中每一排有几个这样的小正方形，共有几排。于是，又引起他们深入思考，这样的每排几个和有这样的几排，与长方形的面积是什么关系呢？显然，在整个观察活动中，感知和思维是同步进行，互为条件的，感知为思维提供了依据，思维又为进一步感知提供了新的目标。可见，观察的根本目的就是为了发现问题和找到事物的本质规律，因此学会思考性地观察很重要。 第二，观察的客观性。格式塔（Gestalt）曾有这样的实验，发现当人们在感知诸如等这样的图形时，总会在知觉中自觉地将它们看作是一个三角形、正方形和圆，即人的知觉有一种趋向于稳定性、完整性和对称性的倾向，这就是观察的主观性。要保证观察的客观性，就需要掌握一定的观察方法。通常说，从观察顺序看，主要有：整体部分整体和部分整体部分这两种方法。而方法的抉择主要取决于在数学学习中观察的任务和对象的特点。从儿童的思维发展的特征看，他们的观察能力的发展有着一个较为明显的阶梯性，即：对象的概括化的能力知觉的形式化能力空间结构的知觉能力逻辑模式的识别能力。实验则是人们根据一定的研究目的，人为地创设条件，控制和模拟客观对象，在有利的条件下获取资料的研究方法。观察与实验都是一种有目的、有计划、有步骤、有组织的积极思维活动。不过，实验以观察更具有优越性，它可以排除外界条件的各种干扰，突出其主要矛盾，使实验者获得更精确的事实和资料。但是任何实验都离不开观察，实验实际上是观察的一种形式。（2）比较与分类比较，也称对比，它是确定对象之间的相异与相同点的一种逻辑方法。它可在相同或相异的对象之间进行，也可在同类对象的不同方面进行。比较是分析，综合这些基本思维过程的主要活动方式之一，要使学生能抽象概括得到理性认识必须通过比较。在人们的社会实践，特别是在科学研究中，比较作为一种科学方法普遍地被应用，“有比较才能有鉴别”，通过比较，可以从思想上把握现实世界对象本质特征和非本质特征，反映客观事物相互对立又相互联系的内部规律，达到正确认识事物的目的。在数学研究中，同样也离不开比较方法。当被研究的对象包含多种可能的情况，导致我们不能对它们一概而论的时候，迫使我们必须按可能出现的所有情况来分类讨论，得出各种情况下相应的结论，这种解决问题的思想方法，我们称为分类，也称为分类方法。分类是确定概念外延的一种逻辑方法。根据分类的含义，分类必须遵循下列原则：（1）分类所得的各子项外延的总和，应当与被分类的概念的外适相等，即没有遗漏。（2）分类所得的各子项，应当是互相排斥的，即没有重复。（3）分类应按同一标准进行。3、分析与综合分析和综合是人类认识事物本质的一个必不可少的基本思维过程。数学知识的是客观事物的抽象的和模型化的反映。因此，能否将概念还原成事实，就看概念掌握的清晰程度和深刻性，这就要依赖与学生的分析与综合能力。所谓分析，简单地说，就是指在头脑中将对象和现象分解成个别部分，从而找出它的属性、特征等单独来考察的思维活动，而所谓综合，就是指将分析了的各个部分结合起来，从整体来考察对象或现象的思维活动。 分析始于感知，但它属于一种片面的感知，不能获得整体的认识。综合则是将片面的感知进行整合，形成整体知觉。一般说来，没有分析就谈不上综合，但分析并非一定在综合之前。同时