高中数学典型例题分析函数概念与基.doc

第二章 函数概念与基本初等函数 2 1 映射 函数 反函数 一 知识导学 1 映射 一般地 设 A B 两个集合 如果按照某种对应法则 对于集合 A 中的任 何一个元素 在集合 B 中都有唯一的元素和它对应 那么这样的单值对应叫做集合 A 到集 合 B 的映射 记作 f A B 包括集合 A B 及 A 到 B 的对应法则 2 函数 设 A B 都是非空的数集 如果按某种对应法则 f 对于集合 A 中每一个元 素 x 在集合 B 中都有唯一的元素和它对应 且 B 中每一个元素都的原象 这样的对应叫 做从集合 A 到集合 B 的一个函数 记作 yfx 其中所有的输入值 x组成的集合 A 称为函数 f定义域 对于 A 中的每一个 都有一个输出值 与之对应 我们将所有输出值 y组成的集合 称为函数的值域 3 反函数 一般地 设函数 y f x x A 的值域是 C 根据这个函数中 x y 的关系 用 y 把 x 表示出来 得到 x f 1 y 若对于 y 在 C 中的任何一个值 通过 x 在 A 中都有唯 一的值和它对应 那么 x f 1 y 就表示 y 是自变量 x 是自变量 y 的函数 这样的函数 叫做函数 y f x x A 的反函数 记作 x f 1 y 我们一般用 x 表示自变量 用 y 表示 函数 为此我们常常对调函数 x f 1 y 中的字母 x y 把它改写成 y f 1 x 反函数 y f 1 x 的定义域 值域分别是函数 y f x 的值域 定义域 二 疑难知识导析 1 对映射概念的认识 1 与 是不同的 即 与 上有序的 或者说 映射是有方向的 2 输出值的集合是集合 B 的子集 即集合 B 中可能有元素在集合 A 中找不到对应的输入值 集 合 A 中每一个输入值 在集合 B 中必定存在唯一的输出值 或者说 允许集合 B 中有剩留元 素 允许多对一 不允许一对多 3 集合 A B 可以是数集 也可以是点集或其它类型的集合 2 对函数概念的认识 1 对函数符号 fx的理解知道 y fx与 f的含义是一样的 它们都表示 是 的函数 其中 是自变量 f是函数值 连接的纽带是法则 是单值对应 2 注意定义中的集合 A B 都是非空的数集 而不能是其他集合 3 函数的三种表示法 解析法 列表法 和图像法 3 对反函数概念的认识 1 函数 y fx只有满足是从定义域到值域上一一映射 才有反函数 2 反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域 因此反函数的定义域一般不 能由其解析式来求 而应该通过原函数的值域而得 3 互为反函数的函数有相同的单调性 它们的图像关于 y x 对称 三 经典例题导讲 例 1 设 M a b c N 2 0 2 求 1 从 M 到 N 的映射种数 2 从 M 到 N 的映射满足 f a b f c 试确定这样的映射 f的种数 错解 1 由于 M a b c N 2 0 2 结合映射的概念 有 2020 0 aaabbbccc 共 6 个映射 2 由 1 得满足条件的映射仅有 2c 一种情况 错因 没有找全满足条件的映射个数 关健是对概念认识不清 正解 1 由于 M a b c N 2 0 2 结合映射的概念 有 一共有 27 个映射 2 符合条件的映射共有 4 个 022 0 aabbcc 例 2 已知函数 fx的定义域为 0 1 求函数 1 fx 的定义域 错解 由于函数 的定义域为 0 1 即 0 2 1 fx 的定义域是 1 2 错因 对函数定义域理解不透 不明白 fx与 fu定义域之间的区别与联系 其实在 这里只要明白 fx中 取值的范围与 中式子 x的取值范围一致就好了 正解 由于函数 的定义域为 0 1 即 01 f 满足 01x 10 x 1 fx 的定义域是 1 0 例 3 已知 N 5 6 2 xff 求 3 f 错解 5 6 2 xxff 2 53fxx 故 36 fxx 3 f 3 3 0 错因 没有理解分段函数的意义 f的自变量是 3 应代入 2 fx 中去 而不是代入x 5 中 只有将自变量化为不小于 6 的数才能代入解析式求解 正解 5 2 xxff 3f 7ff 7 5 2 例 4 已知 x的反函数是 1x 如果 x与 1 f 的图像有交点 那么交点必在 直线 y 上 判断此命题是否正确 错解 正确 错因 对互为反函数的图像关于直线 y 对称这一性质理解不深 比如函数161 log6xyx与 的图像的交点中 点 1 24 不在直线 yx 上 由此可以 说明 两互为反函数图像的交点必在直线 yx上 是不正确的 例 5 求函数 2 46yfx 1 5 的值域 错解 2 213 461f f 又 5 x fx 的值域是 错因 对函数定义中 输入定义域中每一个 x 值都有唯一的 y 值与之对应 错误地理解为 x 的两端点时函数值就是 y 的取值范围了 正解 配方 得 22 46 fx 1 5 x 对称轴是 当 时 函数取最小值为 2 f 2 ff x 的值域是 21 例 6 已知 34fx 求函数 1 fx 的解析式 错解 由已知得 37 37 yx 即 3y 1 fx 73 错因 将函数 1 f 错误地认为是 的反函数 是由于对函数表达式理解不透 彻所致 实际上 x与 1 fx 并不是互为反函数 一般地应该由 fx先求1 fx 再去得到 1f 正解 因为 34fx 的反函数为 1 fx 43 所以 1 3 例 7 根据条件求下列各函数的解析式 1 已知 fx是二次函数 若 0 1 1ffxfx 求 fx 2 已知 12x 求 3 若 fx满足 ffa求 fx 解 1 本题知道函数的类型 可采用待定系数法求解 设 f 2 0 abc 由于 0f 得 2 fxab 又由 1xfx 2211axb 即 2 1021abab 因此 fx 21x 2 本题属于复合函数解析式问题 可采用换元法求解 设 22 1 1 fuuu fx 21 x 3 由于 为抽象函数 可以用消参法求解 用 1x代 可得 1 2 ffxa 与 联列可消去 fx得 f 3x 点评 求函数解析式 1 若已知函数 f的类型 常采用待定系数法 2 若已知 0 1 uu fgx表达式 常采用换元法或采用凑合法 3 若为抽象函数 常采用代换后消参法 例 8 已知 xy62 试求 2y 的最大值 分析 要求 x的最大值 由已知条件很快将 2yx变为一元二次函数 29 3 1 f 然后求极值点的 值 联系到 0 这一条件 既快又准地求 出最大值 解 由 xyx62 得 20 32 0 2 xxy 又 9 12 x 当 时 2y有最大值 最大值为 429 3 1 点评 上述解法观察到了隐蔽条件 体现了思维的深刻性 大部分学生的作法如下 由 xx632 得 23x 9 12 y 当 x时 2y取最大值 最大值为 这种解法由于忽略了 0 这一条件 致使计算结果出现错误 因此 要注意审题 不仅 能从表面形式上发现特点 而且还能从已知条件中发现其隐蔽条件 既要注意主要的已知 条件 又要注意次要条件 甚至有些问题的观察要从相应的图像着手 这样才能正确地解 题 例 9 设 fx是 R 上的函数 且满足 0 1 f 并且对任意的实数 xy都有 21 fyy 求 x的表达式 解法一 由 0 f 2 fxfy 设 xy 得 f 所以 x 1 解法二 令 x 得 0fyfy 即 1 fy 又将 y 用 x代换到上式中得 fx 21 点评 所给函数中含有两个变量时 可对这两个变量交替用特殊值代入 或使这两个变量 相等代入 再用已知条件 可求出未知的函数 具体取什么特殊值 根据题目特征而定 四 典型习题导练 1 已知函数 f x x F 那么集合 x y y f x x F x y x 1 中所含元素 的个数是 A 0 B 1 C 0 或 1 D 1 或 2 2 对函数 baxxf 23 作代换 x g t 则总不改变 f x 值域的代换是 A ttg21lo B ttg1 C g t t 1 2 D g t cost 3 方程 f x y 0 的曲线如图所示 那么方程 f 2 x y 0 的曲线是 4 06 年高考全国 II 函数 f x 的最小值为 19 i 1 x n A 190 B 171 C 90 D 45 5 若函数 f x 34 m x 在定义域内恒有 f f x x 则 m 等于 A 3 B 2C 23D 3 6 已知函数 fx满足 fabfb 1f 则22 214364 857ffff 7 已知函数 f x 满足 f logax 12x 其中 a 0 a 1 x 0 求 f x 的表达式 8 已知函数 是函数 0 xy R 的反函数 函数 g的图像与函数431yx 的图像关于直线 y x 1 成轴对称图形 记 Fx f x 1 求函数 F x 的解析式及定义域 2 试问在函数 F x 的图像上是否存在两个不同的点 A B 使直线 AB 恰好与 y 轴垂直 若存在 求出 A B 两点的坐标 若不存在 说明理由 2 2 函数的性质 A B C D 一 知识导学 1 函数的单调性 1 增函数 一般地 设函数 yfx 的定义域为 I 如果定义域 I 内某个区间上任 意两个自变量的值 x1 x2 当 x1 x 2时 都有 f x1 f x2 那么就说 f x 在这个区间上是增 函数 2 减函数 一般地 设函数 yf 的定义域为 I 如果定义域 I 内某个区间上任 意两个自变量的值 x1 x2 当 x1 x 2时 都有 f x1 f x 2 那么就说 f x 在这个区间上是减 函数 3 单调性 单调区间 如 y f x 在某个区间上是增函数或减函数 那么就说函数 f x 在 这区间上具有单调性 这一区间叫做函数 y f x 的单调区间 2 函数的奇偶性 1 奇函数 一般地 如果对于函数 f x 的定义域内的任意一个 x 都有 f x f x 那么函数 f x 就叫做奇函数 2 一般地 如果对于函数 f x 的定义域内的任意一个 x 都有 f x f x 那么 函数 f x 就叫做偶函数 3 如果函数 f x 是奇函数或偶函数 那么就说 f x 具有奇偶性 3 函数的图像 将自变量的一个值 x0作为横坐标 相应的函数值 f x0 作为纵坐标 就得到平面内的一个点 x 0 f x0 当自变量取遍函数定义域内的每一个值时 就得到一 系列这样的点 所有这些点的集合 点集 组成的图形就是函数 y f x 的图像 二 疑难知识导析 1 对函数单调性的理解 函数的单调性一般在函数的定义域内的某个子区间上来讨 论 函数 y f x 在给定区间上的单调性 反映了函数在区间上函数值的变化趋势 是函数 在区间上的整体性质 但不一定是函数在定义域上的整体性质 函数的单调性是对某个区间 而言的 所以要受到区间的限制 2 对函数奇偶性定义的理解 不能只停留在 f x f x 和 f x f x 这两个等式上 要明确对定义域内任意一个 x 都有 f x f x f x f x 的实质 函数的定义域关于 原点对称 这是函数具备奇偶性的必要条件 稍加推广 可得函数 f x 的图像关于直线 x a 对称的充要条件是对定义域内的任意 x 都有 f x a f a x 成立 函数的奇偶性是其相应 图像的特殊的对称性的反映 这部分的难点是函数的单调性和奇偶性的综合运用 根据已知条件 调动相关知识 选择恰当的方法解决问题 是对学生能力的较高要求 3 用列表描点法总能作出函数的图像 但是不了解函数本身的特点 就无法了解函数 图像的特点 如二次函数图像是抛物线 如果不知道抛物线的顶点坐标和存在着对称轴 盲目地列表描点是很难将图像的特征描绘出来的 三 经典例题导讲 例 1 判断函数 1 3xy 的单调性 错解 0 是减函数 错因 概念不清 导致判断错误 这是一个复合函数 而复合函数的单调性 或单调区间 仍是从基础函数的单调性 或单调区间 分析 但需注意内函数与外函数的单调性的变化 当然这个函数可化为 3xy 从而可判断出其单调性 正解 令 t 则该函数在 R 上是减函数 又 10 3ty 在 R 上是减函数 1 3xy 是增函数 例 2 判断函数 1 xf 的奇偶性 错解 fxx 22 1x 221 f fx xfx 是偶函数 错因 对函数奇偶性定义实质理解不全面 对定义域内任意一个 x 都有 f x f x f x f x 的实质是 函数的定义域关于原点对称 这是函数具备奇偶性的必要条件 正解 1 xfx 有意义时必须满足 101xx 即函数的定义域是 由于定义域不关于原点对称 所以该函数既不是奇 函数也不是偶函数 例 3 判断 22 log 1 fxx 的奇偶性 错解 1 log22 x xff 且 xff 所以该函数既不是奇函数也不是偶函数 错因 对数运算公式不熟悉 或者说奇偶性的判别方法不灵活 定义中 f x f x f x f x 也可改为研究 f x f x 0 f x f x 0 是否成立 正解 方法一 1 log 1 log 2222 xxxf 1log22 x l f f是奇函数 方法二 1 log 1 log 2222 xxxf 0l1 log22 x ff f是奇函数 例 4 函数 y 245x的单调增区间是 错解 因为函数 g 的对称轴是 2x 图像是抛物线 开口向下 由图 可知 2 xx 在 上是增函数 所以 y 245x的增区间是 2 错因 在求单调性的过程中注意到了复合函数的单调性研究方法 但没有考虑到函数的单 调性只能在函数的定义域内来讨论 从而忽视了函数的定义域 导致了解题的错误 正解 y 245x 的定义域是 5 1 又 2 54gxx 在区间 5 2 上增函数 在区间 1 是减函数 所以 y 24的增区间是 例 5 已知奇函数 f x 是定义在 3 3 上的减函数 且满足不等式 f x 3 f x2 3 0 求 x 的取值范围 错解 f x 是奇函数 f x 3 3 x2 即 x2 x 6 0 解得 x 2 或 x 3 又 f x 是定义在 3 3 上的函数 所以 2 x 3 错因 只考虑到奇函数与单调性 而没有正确理解函数的定义域 正解 由 6032xx得 故 0 x 又 f x 是奇函数 f x 3 3 x2 即 x2 x 6 0 解得 x 2 或 x 3 综上得 2 x 6 即 A x 2 x 6 例 6 作出下列函数的图像 1 y x 2 x 1 2 lg10y 分析 显然直接用已知函数的解析式列表描点有些困难 除去对其函数性质分析外 我们 还应想到对已知解析式进行等价变形 在变换函数解析式中运用了转化变换和分类讨论的思 想 解 1 当 x 2 时 即 x 2 0 时 当 x 2 时 即 x 2 0 时 所以 2 49 21 2xxy 这是分段函数 每段函数图像可根据二次函数图像作出 见图 2 当 x 1 时 lgx 0 y 10lgx x 当 0 x 1 时 lgx 0 所以 这是分段函数 每段函数可根据正比例函数或反比例函数作出 见图 点评 作不熟悉的函数图像 可以变形成基本函数再作图 但要注意变形过程是否等价 要特别注意 x y 的变化范围 因此必须熟记基本函数的图像 例如 一次函数 反比例函数 二次函数 指数函数 对数函数 及三角函数 反三角函数的图像 例 7 若 f x 21 xa在区间 2 上是增函数 求 a 的取值范围 解 设 12112 axff 21121 212121 2 axxaxax 由 f x 在区间 2 上是增函数得1 0 1a a 2 点评 有关于单调性的问题 当我们感觉陌生 不熟悉或走投无路时 回到单调性的定义 上去 往往给我们带来 柳暗花明又一村 的感觉 例 8 已知函数 f x 在 1 1 上有定义 f 21 1 当且仅当 0 x 1 时 f x 0 且对任 意 x y 1 1 都有 f x f y f x 试证明 1 f x 为奇函数 2 f x 在 1 1 上单调递减 解 证明 1 由 f x f y f 令 x y 0 得 f 0 0 令 y x 得 f x f x f 21x f 0 0 f x f x f x 为奇函数 2 先证 f x 在 0 1 上单调递减 令 0 x1 x2 1 则 f x2 f x1 f x2 f x1 f 21x 0 x1 x20 1 x1x2 0 21x 0 又 x2 x1 1 x2x1 x2 1 x1 1 0 x2 x1 1 x2x1 0 12 1 由题意知 f 21x 0 即 f x2 21时 f x 0 1 求证 f x 是单调递增函数 2 试举出具有这种性质的一个函数 并加以验证 7 已知函数 y f x cba 1 2 a b c R a 0 b 0 是奇函数 当 x 0 时 f x 有最小值 2 其中 b N 且 f 1 5 1 试求函数 f x 的解析式 2 问函数 f x 图像上是否存在关于点 1 0 对称的两点 若存在 求出点的坐标 若不 存在 说明理由 2 3 基本初等函数 一 知识导学 1 二次函数的概念 图像和性质 1 注意解题中灵活运用二次函数的一般式 2 0 fxabca 二次函数的顶点式 2 0fxamn 和 二次函数的坐标式 12 x 2 解二次函数的问题 如单调性 最值 值域 二次三项式的恒正恒负 二次方程根 的范围等 要充分利用好两种方法 配方 图像 很多二次函数都用数形结合的思想去解 2 0 fxabca 当 240bac 时图像与 x 轴有两个交点 M x 1 0 N x 2 0 MN x1 x2 二次函数在闭区间上必有最大值和最小值 它只能在区间的端点或二次函数的顶 点处取得 2 指数函数 xya 0 1 和对数函数 logayx 0 1 的概念和性质 1 有理指数幂的意义 幂的运算法则 mn mna nb 这时 m n 是有理数 对数的概念及其运算性质 换底公式 log logl logllogaaaaaaMMNNN 1ll llnnaaaa llcab 2 指数函数的图像 单调性与特殊点 对数函数的图像 单调性与特殊点 指数函数图像永远在 x 轴上方 当 a 1 时 图像越接近 y 轴 底数 a 越大 当 0 a1 时 图像越接近 x 轴 底数 a 越大 当 0 a 1 时 图像越接近 x 轴 底数 a 越 小 3 幂函数 y 的概念 图像和性质 结合函数 y x y x2 y x3 y 12 yx y 1x 的图像 了解它们的变化情况 0 时 图像都过 0 0 1 1 点 在区间 0 上是增函数 注意 1 与 01 时 指数大的图像在上方 二 疑难知识导析 1 二次函数在区间上最值的求解要注意利用二次函数在该区间上的图像 二次函数的对称 轴与区间的位置通常有三种情况 1 定义域区间在对称轴的右侧 2 定义域区间在 对称轴的左侧 3 对称轴的位置在定义域区间内 2 幂的运算性质 对数的运算性质的运用 要注意公式正确使用 会用语言准确叙述这些 运算性质防止出现下列错误 1 式子 na 2 log logl log loglaaaaaMNNMNN 3 利用指数函数的性质解题 一定要注意底数的取值 4 函数 fxy的研究方法一般是先研究 fx的性质 再由 的情况讨论 fxy 的 性质 5 对数函数 loga 0 1 与指数函数 xya 0 1 互为反函数 会将 指数式与对数式相互转化 6 幂函数 yx 的性质 要注意 的取值变化对函数性质的影响 1 当 奇奇 时 幂函数是奇函数 2 当 奇偶 时 幂函数是偶函数 3 当偶奇 时 定义域不关于原点对称 幂函数为非奇非偶函数 三 经典例题导讲 例 1 已知 18log9 5 ba 求 36log4 错解 185 b 18logb 183618181845log9loglll4ba 错因 因对性质不熟而导致题目没解完 正解 5 b 18logb 1836 21818181845log9logll 2l log 9baba 例 2 分析方程 2 0fxabc 的两个根都大于 1 的充要条件 错解 由于方程 x a 对应的二次函数为2 fxabc 的图像与 x 轴交点的横坐标都大于 1 即可 故需满足 1 02fa 所以充要条件是 02fba 错因 上述解法中 只考虑到二次函数与 x 轴交点坐标要大于 1 却忽视了最基本的的前 题条件 应让二次函数图像与 x 轴有交点才行 即满足 0 故上述解法得到的不是充要 条件 而是必要不充分条件 正解 充要条件是 2 1 04fbac 例 3 求函数 3615xxy 的单调区间 错解 令 xt 则 26x 215tt 当 t 6 即 x 1 时 y 为关于 t 的增函数 当 t 6 即 x 1 时 y 为关于 t 的减函数 函数 3615xx 的单调递减区间是 6 单调递增区间为 6 错因 本题为复合函数 该解法未考虑中间变量的取值范围 正解 令 xt 则 x为增函数 36125xy 215tt 2 6 41t 当 t 6 即 x 1 时 y 为关于 t 的增函数 当 t 6 即 x 1 时 y 为关于 t 的减函数 函数 36125xx 的单调递减区间是 1 单调递增区间为 1 例 4 已知 loga在 0 1 上是 x的减函数 则 a的取值范围是 错解 xy是由 uyalog 2复合而成 又 0 u 2在 0 1 上是 的减函数 由复合函数关系知alog 应为增函数 1 错因 错因 解题中虽然考虑了对数函数与一次函数复合关系 却忽视了数定义域的限制 单调区间应是定义域的某个子区间 即函数应在 0 1 上有意义 正解 2 lxya 是由 uyalog x 2复合而成 又 a 0 u在 0 1 上是 的减函数 由复合函数关系知alog 应为增函数 1 又由于 x 在 0 1 上时 2 logaxy 有意义 axu 2又是减函数 x 1 时 u 2 取最小值是 umin 0 即可 2 综上可知所求的取值范围是 1 2 例 5 已知函数 log 3 afxx 1 当 0 2 时 恒有意义 求实数 a的取值范围 2 是否存在这样的实数 使得函数 fx在区间 1 2 上为减函数 并且最大值为 1 如果存在 试求出 a的值 如果不存在 请说明理由 分析 函数 fx为复合函数 且含参数 要结合对数函数的性质具体分析找到正确的解 题思路 是否存在性问题 分析时一般先假设存在后再证明 解 1 由假设 a 3 0 对一切 0 2 x 恒成立 0 1a 显然 函数 g x x在 0 2 上为减函数 从而 g 2 32 0 得到 a 32 a的取值范围是 0 1 1 32 2 假设存在这样的实数 a 由题设知 1 f 即 log af 1 32此时 log 3fxx 当 x 时 没有意义 故这样的实数不存在 点评 本题为探索性问题 应用函数 方程 不等式之间的相互转化 存在性问题一般的 处理方法是先假设存在 结合已知条件进行推理和等价转化 若推出矛盾 说明假设不成 立 即不存在 反之没有矛盾 则问题解决 例 6 已知函数 f x 142lg ax 其中 a为常数 若当 x 1 时 f x 有 意义 求实数 a 的取值范围 分析 参数深含在一个复杂的复合函数的表达式中 欲直接建立关于 a的不等式 组 非 常困难 故应转换思维角度 设法从原式中把 分离出来 重新认识 与其它变元 x 的依 存关系 利用新的函数关系 常可使原问题 柳暗花明 解 142 a x 0 且 a2 a 1 a 1 2 43 0 1 2 x 4x a 0 a 4 x 当 x 1 时 y 与 y 21都是减函数 y 214 x在 1 上是增函数 214 x max 43 a 3 故 a 的取值范围是 3 点评 发掘 提炼多变元问题中变元间的相互依存 相互制约的关系 反客为主 主客换 位 创设新的函数 并利用新函数的性质创造性地使原问题获解 是解题人思维品质高的 表现 本题主客换位后 利用新建函数 y 214 x 的单调性转换为函数最值巧妙地求出 了实数 a 的取值范围 此法也叫主元法 例 7 若 1133 2 a 试求 的取值范围 解 幂函数 yx 有两个单调区间 根据 1a和 的正 负情况 有以下关系 032 1032 a 10 32a 解三个不等式组 得 a 无解 1 a的取值范围是 1 23 点评 幂函数 3yx 有两个单调区间 在本题中相当重要 不少学生可能在解题中误认 为 12 从而导致解题错误 例 8 已知 a 0 且 a 1 f log a x 12 x x 1 求 f x 2 判断 f x 的奇偶性与单调性 3 对于 f x 当 x 1 1 时 有 f 1 m f 1 m 2 0 求 m 的集合 M 分析 先用换元法求出 f x 的表达式 再利用有关函数的性质判断其奇偶性和单调性 然 后利用以上结论解第三问 解 1 令 t logax t R 则 1 1 22 Rxaxftfx xttt 10 0 1 2 2 afaau Rxx 或无 论综 上为 增 函 数类 似 可 判 断时当为 增 函 数 时当为 奇 函 数且 f x 在 R 上都是增函数 1 3 22 mffxfmff 又上 是 增 函 数是 奇 函 数 且 在 12 点评 对含字母指数的单调性 要对字母进行讨论 对本例的 不需要代入 f x 的表达 式可求出 m 的取值范围 请同学们细心体会 四 典型习题导练 1 函数 bxaf 的图像如图 其中 a b 为常数 则下列结论正确的是 A 0 1 B 0 1 C bD 05 年高考福建试题 2 已知 2lg x 2y lgx lgy 则 yx的值为 A 1 B 4 C 1 或 4 D 4 或 8 3 方程 2 1 log xa 0 a 1 的解的个数为 A 0 B 1 C 2 D 3 4 函数 f x 与 g x x的图像关于直线 y x 对称 则 f 4 x 2 的单调递增区间是 A 0 B 0 C 0 D 0 5 图中曲线是幂函数 y x n在第一象限的图像 已知 n 可取 2 12 四 个值 则相应于曲线 c1 c2 c3 c4 的 n 依次为 A 2 1 2 B 2 1 2 2 C 2 2 D 2 2 6 求函数 y log 2 x2 5x 6 的定义域 值域 单调区间 7 若 x 满足 03log14 l2 xx 求 f x 2log2x最大值和最小值 8 已知定义在 R 上的函数 2 xaf 为常数 1 如果 fx 求 的值 2 当 满足 1 时 用单调性定义讨论 fx的单调性 2 4 函数与方程 一 知识导学 1 函数的零点与方程的根的关系 一般地 对于函数 yfx D 我们称方程 0fx 的实数根 x也叫做函数 的零点 即函数的零点就是使函数值为零的自变量的值 求综合方程 f x g x 的根或根 的个数就是求函数 fg 的零点 2 函数的图像与方程的根的关系 一般地 函数 yfx D 的图像与 x轴交点的横坐标就是 0fx 的根 综 合方程 f x g x 的根 就是求函数 y f x 与 y g x 的图像的交点或交点个数 或求方 程 y 的图像与 轴交点的横坐标 3 判断一个函数是否有零点的方法 如果函数 fx在区间 a b 上图像是连续不断的曲线 并且有 0fab 那么 函数 y 在区间 a b 上至少有一个零点 即至少存在一个数 c 使得 0fc 这个 c 也就是方程 0fx 的一个根 对于我们学习的简单函数 可以借助yx 图像判断解的个数 或者把 写成 gxh 然后借助 ygx h 的图像的交点去判断函数 fx的零点情况 4 二次函数 一元二次方程 二次函数图像之间的关系 二次函数 2yaxbc 的零点 就是二次方程 20axbc 的根 也是二次函 数 2yaxbc 的图像与 x 轴交点的横坐标 5 二分法 对于区间 a b 上的连续不断 且 0fab 的函数 yfx 通过不断地把函 数的零点所在的区间一分为二 使区间的两个端点逐步逼近零点 进而得到零点近似值的 方法叫做二分法 二 疑难知识导析 1 关于函数 yfxg 的零点 就是方程 fxg 的实数根 也就是 f 与函数 图像的交点的横坐标 要深刻理解 解题中灵活运用 2 如果二次函数 2 yfxabc 在闭区间 m n 上满足 0fmn 那么方 程 20axbc 在区间 m n 上有唯一解 即存在唯一的 1 x 使 1 fx 方程 另一解 2 xmn 3 二次方程 2xc 的根在某一区间时 满足的条件应据具体情形而定 如二次方 程 f 0ab 的根都在区间 时 应满足 2 0mnf 4 用二分法求二次方程的近似解一般步骤是 1 取一个区间 ab 使 0fb 2 取区间的中点 02x 3 计算 0 f 若 f 则 0 x就是 f 的解 计算终止 若 fax 则解位于区间 a 中 令 10 abx 若 0 fb 则解 位于区间 0 b 令 10 axb 4 取区间是 的中点 12 重服第二步 第三骤直到第 n 步 方程的解 总位于区间 n 内 5 当 ab精确到规定的精确度的近似值相等时 那么这个值就是所求的近似解 三 经典例题导讲 例 1 已知函数 2 3fxa 若 2 x 时 fx 0 恒成立 求 a的取值范 围 错解 一 0f 恒成立 24 3 a 0 恒成立 解得 a的取值范围为 6a 错解 二 2 3fx 若 x 时 fx 0 恒成立 2 0f 即 20a 解得 a的取值范围为 73 错因 对二次函数 fx 2bxc 当 R 上 fx 0 恒成立时 0 片面理解为 2ac 0 恒成立时 0 或者理解为 2 0f 这都是由于函数性质掌握得不透彻而导致的错误 二次函数最值问题中 轴变区间定 要对 对称轴进行分类讨论 轴定区间变 要对区间进行讨论 正解 设 fx的最小值为 ga 1 当 2a 即 4 时 2 f 7 3 a 0 得 73 故此时 a不存在 2 当 即 4 a 4 时 g 3 24 0 得 6 2 又 4 a 4 故 4 2 3 2 即 4 时 2f 7 a 0 得 7 又 a 4 故 7 4 综上 得 7 2 例 2 已知 210mx 有且只有一根在区间 0 1 内 求 m的取值范围 错解 设 f 210 x 有且只有一根在区间 0 1 内 0 得 2 错因 对于一般 fx 若 fab 那么 函数 yfx 在区间 a b 上至少有 一个零点 但不一定唯一 对于二次函数 fx 若 0fab 则在区间 a b 上存在 唯一的零点 一次函数有同样的结论成立 但方程 fx 0 在区间 a b 上有且只有一根时 不仅是 0fab 也有 可能 fab 如二次函数图像是下列这种情况时 就是这种情况 由图可知 fx 0 在区间 a b 上有且只有一根 但是fab 正解 设 2 1fxm 1 当 m 0 时方程的根为 1 不满足条件 2 当 0 有且只有一根在区间 0 1 内 又 0 f 1 0 有两种可能情形 1 0f 得 m 2 或者 f 且 0 即 xf 1 1 2 21 axFF 0 xa 01 21 ax 0 1 fx 综合得 1x 2 依题意知 ab20 又 abx121 xx 10 2 a 210a 点评 解决本题的关健有三 一是用作差比较法证明不等式 二是正确选择二次函数的表 达式 即本题选用两根式表示 三要知道二次函数的图像关于直线对称 此直线为二次函 数的对称轴 即 abx20 例 8 已知函数 0 1 fbcxf 且方程 01 xf有实根 1 求证 3 c 1 b 0 2 若 m 是方程 01 xf的一个实根 判断 4 mf的正负并加以证明 分析 1 题中条件涉及不等关系的有 1 bc和方程 01 xf有实根 及一个等式 f 通过适当代换及不等式性质可解得 2 本小题只要判断4 mf 的符号 因而只要研究出 4 m值的范围即可定出 4 mf符号 1 证明 由 0 1 f 得 1 2b c 0 解得 21 cb 又 1 b 1 c 2 解得 3 又由于方程 01 xf有实根 即 012 cbx有实根 故 42 cb即 4 c解得 3或 1 c 13 c 由 21 cb 得 b 0 2 xxf 2 1 xcx 0m c m 1 如图 c 4 m 4 3b c 且 f 1 0 证明 f x 的图像与 X 轴相交 2 证明 若对 x1 x 2 R 且 f x1 f x2 则方程 2 1xfxf 必有一实根 在区间 x 1 x2 内 3 在 1 的条件下 是否存在实数 m 使 f m a 成立时 f m 3 0 2 5 函数的综合运用 一 知识导学 1 在应用中深化基础知识 在复习中基础知识经历一个由分散到系统 由单一到综合 的发展过程 这个过程不是一次完成的 而是螺旋式上升的 因此要在应用深化基础知识的 同时 使基础知识向深度和广度发展 2 以数学知识为载体突出数学思想方法 数学思想方法是观念性的东西 是解决数学 问题的灵魂 同时它又离不开具体的数学知识 函数内容最重要的数学思想是函数思想和数 形结合的思想 此外还应注意在解题中运用的分类讨论 换元等思想方法 解较综合的数学 问题要进行一系列等价转化或非等价转化 因此本课题也十分重视转化的数学思想 3 要重视综合运用知识分析问题解决问题的能力和推理论证能力的培养 函数是数学 复习的开始 还不可能在大范围内综合运用知识 但从复习开始就让学生树立综合运用知识 解决问题的意识是十分重要的 推理论证能力是学生的薄弱环节 近几年高考命题中加强对 这方面的考查 尤其是对代数推理论证能力的考查是十分必要的 本课题在例题安排上作了 这方面的考虑 4 函数应用题主要研究如何利用函数思想解决生产实践中的实际问题 要求各位同学 有较宽的知识面 能读懂题意 然后对问题进行分析 灵活运用所学过的数学知识 建立 量与量的函数关系 把实际问题材转化为函数问题 通过对函数问题材的解决达到实际问 题解决目的 二 疑难知识导析 1 为了能较快地解决函数综合问题 要求各位学生 在全面复习函数有关知识的基础上 进一步深刻理解函数的有关概念 全面把握各 类函数的特征 提高运用基础知识解决问题的能力 掌握初等数学研究函数的方法 提高研究函数的能力 重视数形结合数学思想方法 的运用和推理论证能力的培养 初步沟通函数与方程 不等式及解析几何有关知识的横向联系 提高综合运用知识 解决问题的能力 树立函数思想 使学生善于用运动变化的观点分析问题 2 对数学应用题的学习 是提高分析问题 解决问题能力的好途径 不少人在数学应 用题面前 束手无策 有的读不懂题意 有的不会归纳抽象 建模 因此要解好应用题 首先应加强提高阅读理解能力 然后将普通语言转化为数学语言和数学符号 实际问题转 化为数学问题 再运用数学方法 数学思想去解决问题 三 经典例题导讲 例 1 不等式 23 log 423 log2 22 xxxx 错解 12 343 xx 2 062 或 错因 当 2 x时 真数 0232 x且 在所求的范围内 因 23 说明解 法错误 原因是没有弄清对数定义 此题忽视了 对数的真数大于零 这一条件造成解法错 误 表现出思维的不严密性 正解 12 x 23423022xx 2313x或或 或 或 例 2 将进价为 8 元的商品 按每件 10 元售出 每天可销售 0 件 若每件售价涨价 0 5 元 其销售量就减少 10 件 问应将售价定为多少时 才能使所赚利润最大 并求出这个最大利 润 错解 设每件售价提高 x 元 利润为 y 元 则 y 20 8x 81 2 x 1 时 1620max y 元 错因 没理解题意 每天销售 0 件是在定价 10 元时的情况下 所设的应理解为在定价目 10 元的基础上 再每件售价提高 x 元 故利润每件应为 2 x 元 此时的销售量为 0 20 元 正解 设每件售价提高 x 元 利润为 y 元 则 y 20 x 720 4 故当 4 x 即定价为 14 元时 每天可获得最大利润为 720 元 例 3 某工厂改进了设备 在两年内生产的月增长率都是 m 则这两年内第二年三月份的产 值比第一年三月份的产值的增长率是多少 错解 设第一年三月份的产值为 a 则经过二年 三月份的产值是 a 1 m 11 则所求增长率 为 1 1 ma 或把第二年三月份的产值写为 a 1 m 13 错因 对增长率问题的公式 xpNy 未透彻理解而造成错解 或者是由于审题不细 致而造成题意的理解错误 若某月的产值是 a 则此后第 x月的产值为 xma 1 指数x 是基数所在时间后所跨过的时间间隔数 正解 设第一年三月份的产值为 a 则第四个月的产值为 a 1 m 五月份的产值为 a 1 m 2 从此类推 则第二年的三月份是第一年三月份后的第 12 个月 故第二年的三月份的产值是 a 1 m 12 又由增长率的概念知 这两年的第二年的三月份的产值比第一年的三月份的产 值的增长率为 1 1 22 ma 例 4 在一个交通拥挤及事故易发生路段 为了确保交通安全 交通部门规定 在此路段 内的车速 v 单位 km h 的平方和车身长 l 单位 m 的乘积与车距 d 成正比 且最小 车距不得少于半个车身长 假定车身长均为 单位 m 且当车速为 50 km h 时 车距 恰为车身长 问交通繁忙时 应规定怎样的车速 才能使在此路段的车流量 Q 最大 车流量 车 身 长车 距 车 速 错解 lkvd2 将 50 ld 代入得501 v21 又将 l21代入得 25 v 由题意得 l 将 Q ldv 1 250 v lvlvlvl 250120 1 1 02 当且仅当 5时 lQ5max 综上所知 0 v km h 时 车流量 Q 取得最大值 错因 上述解法中结果虽然正确 但解题过程中是错误的 即虽然车速要求 25 v 但在行驶过程中车速有可能低于 25 2 km h 所以解题材中应分两类情形求解 得分 段函数 正解 1 依题意 25 2102vld 则 25 310 2vlldvQ 显然当 25 v时 Q 是关于 v的增函数 当 25 v时 llvQ32501max 当 v时 Q ld 10 lvlvlv2501 2501 250 当且仅当 5 时 上式等号成立 综上所述 当且仅当 v时 车流量 Q 取得最大值 例 5 定义在 R 上的函数 fx满足 对任意实数 mn 总有 fnfmn 且当 0 x 时 1 1 试求 f的值 2 判断 x的单调性并证明你的结论 3 设 2 1 21 AyffyfBxyfaaR 若B 试确定 a的取值范围 4 试举出一个满足条件的函数 fx 解 1 在 fmnfn 中 令 1 0mn 得 10ff 因为 0 所以 0 2 要判断 fx的单调性 可任取 12 xR 且设 12x 在已知条件 mnfn 中 若取 1 mn 则已知条件可化为 2121fxfx 由于 0 所以 210fx 为比较 21fxf 的大小 只需考虑 1fx的正负即可 在 mnn 中 令 m n 则得 1fx 0 x 时 fx 当 时 10ff 又 01f 所以 综上 可知 对于任意 1xR 均有 10fx 2120 xffx 函数 在 R 上单调递减 3 首先利用 fx的单调性 将有关函数值的不等式转化为不含 f的式子 2211fxyy 即 0af 即 20ax 由 AB 所以 直线 y与圆面 21xy 无公共点 所以 21a 解得 1a 4 如 2 xf 点评 根据题意 将一般问题特殊化 也即选取适当的特值 如本题中令 1 0mn 以 及 21 mnx 等 是解决有关抽象函数问题的非常重要的手段 另外 如果能找到 一个适合题目条件的函数 则有助于问题的思考和解决 例 6 02 年高考 设 a为实数 函数 1 2 axf Rx 1 讨论 xf的奇偶性 2 求 的最小值 解 1 当 0 a时 函数 1 2xfxf 此时 xf为偶函数 当 时 12 2 af aff af 此时 x既不是奇函数 也不是偶函数 2 i 当 时 43 21 2 axxf 当 21 a 则函数 xf在 a 上单调递减 从而函数 xf在 a 上的最小值为 f 若 则函数 xf在 上的最小值为 f 43 21 且 21ff ii 当 a 时 函数 2 axa 若 21 则函数 xf在 上的最小值为 f 且 aff 若 则函数 在 上单调递增 从而函数 xf在 上的最小值为1 2 af 综上 当 时 函数 xf的最小值为 a 43 当 2 时 函数 的最小值为 12 当 1 a时 函数 xf的最小值为 点评 1 探索函数的奇偶性 可依据定义 通过 xff 代入有1 1 22 axx 即 ax 可得 当 0a时 函数 ff函数为偶函数 通过 xff可得 1 22 xx 化得 2a 此式不管 0还是 a都不恒成立 所以函数不可能是奇函数 2 由于本题中含有绝对值 需要去掉 故分类讨论 既要对二次函数值域的研究方法熟 练掌握 又要将结论综合 对学生的综合运用数学知识能力及数学思想作了较好的考查 例 7 某公司为帮助尚有 26 8 万元无息贷款没有偿还的残疾人商店 借出 20 万元将该商 店改建成经营状况良好的某种消费品专卖店 并约定用该店经营的利润逐步偿还债务 所有 债务均不计利息 已知该种消费品的进价为每件 40 元 该店每月销 售量 q 百件 与销售价 p 元 件 之间的关系用右 图中的一条折线 实线 表示 职工每人每月工资为 600 元 该店应交付的其它费用为每月 130 元 1 若当销售价 p 为 52 元 件时 该店正好收支平衡 求该店的职工人数 2 若该店只安排 40 名职工 则该店最早可在几年后 1 24 5840 60 q p81 还清所有债务 此时每件消费品的价格定为多少元 分析 本题题目的篇幅较长 所给条件零散杂乱 为此 不仅需要划分段落层次 弄清每 一层次独立的含义和相互间的关系 更需要抓住矛盾的主要方面 由题目的问题找到关键词 收支平衡 还清所有债务 不难想到 均与 利润 相关 从阅读和以上分析 可以达成我们对题目的整体理解 明确这是一道函数型应用题 为 此 首先应该建立利润与职工人数 月销售量 q 单位商品的销售价 p 之间的关系 然后 通过研究解析式 来对问题作出解答 由于销售量和各种支出均以月为单位计量 所以 先考虑月利润 解 1 设该店的月利润为 S 元 有职工 m 名 则 40161320Sqp 又由图可知 4 588pp 所以 2101061320 4584 1mpSp 由已知 当 5时 S 即 21401061320 解得 m 即此时该店有 50 名职工 2 若该店只安排 40 名职工 则月利润 47 4588013201 f x log3 x2 4 mx 4m2 m 1 证明 当 m M 时 f x 对所有实数都有意义 反之 若 f x 对所有实数 x 都有意 义 则 m M 2 当 m M 时 求函数 f x 的最小值 3 求证 对每个 m M 函数 f x 的最小值都不小于 1 6 03 年荆州质量检测 某影院共有 1000 个座位 票价不分等次 根据该影院的经营经 验 当每张票价不超过 10 元时 每提高一元 将有 30 张票不能售出 为了获得更高的收 益 需给影院定一个比较合理的价格 要求它符合以下三个基本条件 为了方便找零与 算账 票价为 1 元的整数倍 影院放一场电影成本费用支出为 5750 元 票房收入必 需大于成本支出 用 x 元 表示每张票的价格 用 y 元 表示该影院放映一场电影的净 收入 1 求函数 fy 的解析式和它的定义域 2 试问在符合基本条件的前提下 每张票价定为多少时 放映一场的净收益最大 7 05 年高考浙江卷 已知函数 f x 和 g x 的图像关于原点对称 且 f x x2 2 x 1 求函数 g x 的解析式 2 解不等式 g x f x x 1 3 若 h x g x f x 1 在 1 1 上是增函数 求实数 的取值范围 8 05 年高考江西卷 已知函数 bax 2 a b 为常数 且方程 f x x 12 0 有两 个实根为 x1 3 x2 4 1 求函数 f x 的解析式 2 设 k 1 解关于 x 的不等式 k 2 1 9 06 年高考江苏卷 设 a 为实数 设函数 xxaf 11 2的最大值为 g a 1 设 t x 1 求 t 的取值范围 并把 f x 表示为 t 的函数 m t 2 求 g a 3 试求满足 ag 的所有实数 a