高中数学竞赛模拟题(十六套).doc

模拟试题一 2010年全国高中数学联赛模拟试题武钢三中 岑爱国一 试一、填空题（每小题分，共分）1方程2如图，在=，则m+2n的值为4单位正方体这八个面截这个单位正方体，则含正方体中心的那一部分的体积为.设数列6已知实数x，y，z满足xyz=32，x+y+z=4，则|x|+|y|+|z|的最小值为7若8空间有100个点，任4点不共面，用若干条线段连结这些点，如果不存在三角形，最多可连条线段二、解答题（共分）9（16分）设之和为21，第2项、第3项、第4项之和为33（1）求数列的通项公式；（2）设集合 ，求证：10（20分）过抛物线 的距离均不为整数11（20分）已知二次函数有两个非整数实根，且两根不在相邻两整数之间试求a， b满足的条件，使得一定存在整数k，有成立二 试一（40分）如图，已知求证：二（40分）设三. （50分）已知n个四元集合，试求n的最大值这里四（50分）设为正整数 的二进制表示数的各位数字之和，为数列的前n项和. 若存在无穷多个正整数n，满足，且m，则称是“好数”.试问：（1）2，3，5是否都是好数？（2）是否都是好数？模拟试题二 全国高中数学联赛模拟试题江苏省盐城中学 陈健第一试一、 填空题：（每小题7分，共计56分）1. 若函数图象经过点（2，4），则的反函数必过点_2. 、是从集合中任意选取的3个不重复的数，则为奇数的概率为_3. 已知数列的通项公式是，则数列的前项和=_4. 抛物线的准线与轴交于点，过作直线交抛物线于点、，点在抛物线对称轴上，且，则的取值范围是_5. 已知，直线与的交点在直线上，则 ABCD6. 如图，四面体中，为等腰直角三角形，且，则异面直线与的距离为_7. 已知点、，且满足，则长的取值范围是_8. 将一个棋盘中的8个小方格染成黑色，使得每行、每列都恰有两个黑色方格，则有_ 不同的染法.（用数字作答）二、解答题：（三题共计44分）9. （本题14分）已知二次函数，设方程 有两个实数根如果，设函数的对称轴为，求证：；如果，且的两实根的差为2，求实数的取值范围.10（本题15分）数列满足：证明：（1）对任意为正整数；(2)对任意为完全平方数11.（本题15分）用纸板裁剪出两个半径不同的圆，每个圆再分成200个相等的扇形，且将每个圆的100个扇形涂成白色，另100个扇形涂成黑色.将小圆叠放在大圆的上面，使得它们的圆心重合.求证：总可以旋转小圆，使得这两个圆的扇形上下对齐，且小圆至少有100个扇形位于大圆的同色扇形上.第二试1.（本题50分）凸四边形中，是最长边，点分别在边上，且线段平分四边形的面积，求证：线段平分对角线.2. （本题50分）定义，其中为正实数，求的值域.3.（本题50分）已知一个给定的平面点集中，任意三点都可被一个半径为1的圆覆盖，求证：这个点集能被一个半径为1的圆覆盖. 4.（本题50分）设是一个固定的正整数，证明：对任何非负整数，下述不定方程有无穷多个正整数解.模拟试题三 全国高中数学联赛模拟试卷 福州一中 危志刚第一试 一，填空题（每小题7分，共56分）1、设适合等式则的值域是 2、若对所有正数不等式都成立，则的最小值是 3、等差数列3，10，17，2005与3，8，13，2003中，值相同的项有 个.4、在平面直角坐标系中，定义点、之间的“直角距离”为若到点、的“直角距离”相等，其中实数、满足、，则所有满足条件的点的轨迹的长度之和为 5、将一个棋盘中的8个小方格染成黑色，使得每行、每列都恰有两个黑色方格，则有 种不同的染法.（用数字作答）6、若为一个平方数，则正整数 7、甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数的期望为 8、设函数，且，则 二、解答题（第9题14分，第10，11题各15分）9已知抛物线，其焦点为F，一条过焦点F，倾斜角为的直线交抛物线于A，B两点，连接AO（O为坐标原点），交准线于点，连接BO，交准线于点，求四边形的面积 10数列定义如下：，且当时，已知，求正整数n11对一个边长互不相等的凸边形的边染色，每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种，但是不允许相邻的边有相同的颜色问：共有多少种不同的染色方法？第二试 （每题50分，共200分）1、已知，、是圆上顺次四点，且，的平分线交圆于，的平分线交圆于，在由这六个点构成的六边形中，如果有四条边的长度相等，那么必为圆的直径2、设，求的最大值和最小值3、求所有满足方程组的三元实数组4、将8个车放到如图的99棋盘中，使得这8个车互不攻击且所在小方格颜色相同，问共有多少种不同的方法（两车互不攻击是指这两个车不同在任何一行或任何一列）模拟试题四 全国高中数学联赛模拟试题东北育才学校 张雷 一试一、 填空题（共56分，每题7分）1、函数的单调递增区间是_2、将数字3，4，5，6，7排成一行，使得相邻两个数都互质，则 可能的排列方法共有_种.3、过正方体外接球球心的截面截正方体所得图形可能为_. 三角形 正方形 梯形 五边形 六边形4、已知（其中是大于1的正整数，且互质）化为最简二次根式后是形式，其中是大于1的正整数，且互质，如果，则的最小可能值是_.5、若关于的方程的两个实数根满足则的最小值与最大值的积是_.6、我们定义运算，如，用整数1，2，3，4和三个 号组成一个算式，则这个算式的最大值是_.7、平面上满足约束条件的点形成的区域为D，区域D关于直线对称的区域为E，则区域D和区域E中距离最近的两点的距离为_.8、令表示正整数的所有数字的和，如，则的值是_.二、解答题（共44分）9、（14分） 已知圆和圆的两条外公切线为轴及直线，若两个圆的一个交点为，且两圆半径长度之积为68，求圆心和所在直线的方程和. 10、（15分）已知函数，求的解集中元素的个数。11、（15分）如果都是正实数，请给出一个你认为的最小正数，使得满足的任意实数，不等式成立，并证明你的结论.模拟试题五 联赛模拟题 一试一、填空题1.不等式的解集中能使成立时的的最小值为 2.一个三位自然数如果同时有及称为凹数，（例如104、525、849都是凹数，而123、684、200都不是凹数），则所有凹数的个数是 3.若是一个十进制四位整数，记的各位数码之积为，各位数码之和为，为素数，且，则中的最小者是 4.已知复数列的通项公式为，则等于5.一个圆锥和一个圆柱，下底面在同一平面上，它们有公共的内切球，记圆锥的体积为，圆柱的体积为，且，则 6.且，则的最大值是_7.已知和是实数，令，则的最大值为 8.平行六面体的个顶点中的任意三个顶点为顶点的所有三角形中，锐角三角形的最多可能个数是 二、解答题9.已知函数的定义域是，并且满足如果函数是奇函数，试求实数的值10.已知数列中，, 求证：11.已知圆和抛物线上有三个不同的点如果直线和都与圆相切求证：直线也与圆相切二试一、内接于半径为R的圆O，令I为内心，r为内切圆半径，且I和O不重合，G为重心证明: 或，其中分别为三个内角A、B、C所对应的三边长二、已知：为正实数，且，证明：三、设是正整数，满足，求所有可能取到的整数值四、某班共30名学生，每一名学生在班内均有同样多的朋友（朋友是相互的）在一次考试中，任意两名学生的成绩互不相同如果一个学生的所有朋友中，有超过一半朋友的成绩低于该学生，则称该学生为“好学生”试问：“好学生”最多可能有多少个？证明你的结论模拟试题六 全国高中数学联赛模拟试题 哈师大附中 刘利益 朱逢迁第一试一、填空题（每小题8分，共64分）1从中任取5个数（可以相同），则取到合数的个数的数学期望是 .2双曲线的中心为原点，焦点在轴上，两条渐近线分别为，经过右焦点垂直于的直线分别交于两点已知成等差数列，且与同向则双曲线的离心率为 .3在中，如果，则的值等于 .4已知集合，定义函数设点，的外接圆圆心为D，且，则满足条件的函数有个5设是定义在R上的函数，对任意的，都有，如果 ，则的值为 .6数列满足: ,则 .7立方体中，点分别在线段上（不包括线段的端点），满足，则与所成角的取值范围是 .8若非负实数满足，则 .二、解答题（共56分）9（本题满分16分）已知直线与椭圆：交于不同两点. 设A关于椭圆长轴的对称点为，F为椭圆的右焦点，试求、F、B三点共线的充要条件.10（本题满分20分）正数同时满足：，求证：存在以为三边长的三角形11（本题满分20分）数列满足：，.试求.（注：表示不大于的最大整数，即的整数部分.）第二试一、（本题满分40分）如图，出三角形ABC中，利M为BC的中点，凜以AM为直径的圆O分别与AC、AB交于D、E两点，凔圆O在D、E两点的切线交于点H，刎证明：二、（本题满分40分） 已知都是非负实数，且，求的最大值三、（本题满分50分）设数列满足：求证：对任意的，都不含型质因子（）四、（本题满分50分）单位圆内或圆上有8个点，任意三点不共线求证：总有某三个点为顶点的三角形面积小于模拟试题七 联赛模拟题一、填空题：1. 以椭圆两焦点为直径端点的圆交椭圆于四个不同的点，顺次连结这四个交点和两个焦点，得到一个正六边形，则此椭圆的离心率为 .2. 在圆上有两点A，B，它们的极角分别是；由极点向直线AB作垂线，垂足为H，则H点的极坐标是 . 3. A , B为锐角，则 cos 2 A + cos 2 B = 成立的充要条件是 .4. 一含有五项的等比数列，每一项都是小于100的正整数，这五项和为211，则这个数列中为完全平方数的项之和为 .5. 锐角中，是高线， =，的面积为 . 6对任意实数 k，曲线 x 4 + k x 3 y6 x 2 y 2k x y 3 + y 4 = 0总可把圆 x 2 + y 2 = 1 分成 等分 . 7. 数 N = 的末三位数是 .8. 已知方程x37x2+1=0的最大实根为t，则t2000 被7除的余数_.二、解答题：9. 已知三棱锥 BCD 在顶点 A 处的三个面角（ 即 BAC，CAD，DAB ）分别为75，90，105；从这个顶点引三个侧面的高均为1，求这个棱锥的高.10用1，2，3这三个数字构造n 位数，但不允许两个1相邻，能构造多少个这样的n 位数？11. 已知抛物线 C 1 : y = x 2 + 2 x 和 C 2 : y =x 2 + a .如果直线 l 同时是C 1和C 2 的切线，称l 是C 1和C 2的公切线，公切线上两个切点之间的线段称为公切线段 . a 取什么值时，C 1和C 2有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程； 若C 1和C 2有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分 .加试模拟题1. 设ABC中，E、F是AC、AB边上的任意点，O、O分别是ABC、AEF的外心，P、Q是BE、CF上的点，满足 .求证：OO PQ .2. 求证：1, n=1,2, ;3. 对于给定的正整数 k ，以f 1 ( k ) 表示 k 的各位数字之和的平方；并设f n + 1 ( k ) = f 1 f n ( k ) ，n = 1 , 2 , 3 , ; 试求f 2010 ( 2 2009 ) 的值.4某种彩票的对奖号是个三位数（000 999），开出的中奖号也是个三位数买彩票时可以自选号码，如果对奖号与中奖号相同则中一等奖，如果对奖号与中奖号有两个数字相同（例如中奖号为123，对奖号为423或183或125等）则中二等奖为确保能有彩票能中二等以上的奖，最少应买几张彩票？模拟试题八 2010年数学奥林匹克协作体夏令营试题人大附中 陈维兵一试一、 填空题：1 求方程的实数解_2 已知数列满足，则_3 两位数 若满足，则称为好数，则好数共有_个。4 两相同的正四棱锥组成如图所示的几何体，可放棱长为1的正方体内，使正四棱锥的底面与正方体的某一个平面平行，且各顶点均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有_个。5 若是与的等比中项，则的最大值为 。6 已知抛物线及其上的一点, 焦点和，则的最小值为 。7 有6个相同的红球和5个相同的白球放入一排1至100标号的盒子里，其中红球和白球间隔放置（即从左到右必须1红1白间隔放），并且红球盒子编号与白球标号不同奇偶，则共有_种放置方案。8 设常数k 使得方程在平面直角坐标系中表示两条相交直线，交点为. 若点分别在这两条直线上，且，则_ .二、解答题：9 已知，求的最大值。10 数列定义如下：，而数列定义为（1） 求的通项公式（2） 证明：（3） 证明：11 已知椭圆，其长轴为，是椭圆上不同于的一个动点，直线分别与同一条准线交于准线两点，试证明：以线段为直径的圆经过椭圆外的一个定点。二试1、 在等腰ABC中, AB=AC , D是边AC的中点, E是点D在BC上的投影, F是DE的中点. 证明: BF垂直于AE的充要条件是: ABC是正三角形.ACBDEGFH2、 设ABC的三边分别是a, b, c，且a+b+c=3. 求证：.3、设正整数n大于1，它的全部正因数为d1，d2，dk，满足1=d1d2dk = n。再设D = d1d2d2d3dk1dk。(i) 证明：D0)的值域为, g(x)=log2(kx2-2ax+2)的定义域为A,集合B=,1,若AB,则实数k的取值范围是_;2.已知:设a,b为正实常数,为参变量,则满足xsin-ycos=且的点(x,y)的轨迹方程是_；3.使得(n2)为整数的最小正整数n=_;xyMNACO4.如图,已知C的圆心C在抛物线x2=2py上(p0)运动,且C过定点A(0,p),点M,N为C 与x轴的交点.如果.则函数f(x)=的值域是_;5.对于所有自然数n,使得a(92010n+1)2010n+(b-1)2010n+1=(c2010n+1)2恒成立,且b取最大值的实数组(a,b,c)等于_；6.用红蓝两种颜色给排成一行的10个方格染色，每一格只染一种颜色，如果要求相邻两个方格不能都染红色，那么，所有染色方法的种数是_.ABCOEF7.设OABC是边长为1的正四面体，E、F分别为AB与OC的中点.则异面直线OE与BF的距离是_.8.非负实数x,y,z满足x2+y2+z2=1.则f(x,y,z)=x+y+z-2xyz的最大值是_.三.解答题(本题共3道满分44分)PxyF1F2ABOQMN9.(14分)如图,已知A,B是椭圆的左右顶点,P,Q是该椭圆上不同于顶点的两点,若直线AP,QB相交于点M,直线PB, AQ相交于点N.()求证:MNAB;()若弦PQ过椭圆的右焦点F2,试求直线MN的方程.10.(15分)设a,bR, 点集A=(n,na+b)|nZ ,B=(m,m2+17)|mZ ,C=(x,y)|x2+2y266.试求出所有的整数n,使得存在实数a,b满足 AB且(a,b)C.11.(15分)设定义域,值域都是实数集R的非常数函数f(x),g(x),满足对任意xR,都有f(g(x)=f(x),g(f(x)=g(x).(1)求f(x),g(x);(2)定义数列an:a1=3,a2=7,f(an2)+g(5)=f(an-1)g(an+1)(n2).二试题(本题共4道小题每小题50分,满分200分)ABCDEF12一.(50分)如图,半径分别为r,R的两圆1,2相交于A,B两点,过点B的一条直线分别交圆1,2于点C,D,过点B的另一条直线分别交圆1,2于点E,F.如果劣弧AC与劣弧AF长度之比为rR.求证:()CD=EF;()圆AEF与圆ACD的一个交点在线段FD上.二.(50分)设数列xn满足:x1=2011,n=2,3,.其中x表示不超过x的最大整数.求数列xn的通项xn.三.(50分)给定素数p,q,r.求证:对任意给定的正整数k,总存在无穷多个正整数n,使得pn+qn+rn-1, pn+qn+rn-2,pn+qn+rn-k均为合数.四.(50分)设正整数a1,a2,a2010满足:（1）ai211(i=1,2,2010),（2）任意连续若干项之和211.求min.模拟试题十一 全国高中数学竞赛模拟卷湖南师大附中 周正安第一试一、填空题(每小题8分，共64分)1已知不等式的解集A满足，则 。2求值 。3在等差数列中，则 。4某底面是单位圆的圆锥具有性质：在过顶点的所有截面中，以轴截面面积最大。则该圆锥的体积最小值为 。5设非零复数满足，则 。6用1、2、3这三个数字写六位数，要求任何两个相邻的数位不能都为1，则总共可写出 个不同的六位数。7已知，如果函数在上为增函数，则的取值集合为 。8将2个相同的白球，3个相同的红球，4个相同的黑球全部投入A、B、C三个袋中，则无空袋的放法有 种。二、解答题(共56分)9(16分)已知数列满足：记。(1) 求数列的通项公式；(2) 求出所有的正整数，值得。10(20分)定义(1)设的图象为曲线C，若存在实数使得曲线C在处有斜率为-8的切线，求的取值范围；(2)当且时，求证：。11(20分) 已知点B（1，0），C（1，0），P是平面上一动点，且满足（1）求点P的轨迹C对应的方程；（2）已知点A（m,2）在曲线C上，过点A作曲线C的两条弦AD，AE，且AD，AE的斜率k1、k2满足k1k2=2.求证：直线DE过定点，并求出这个定点。第二试一、(40分)已知的内心为分别过B、C，A、C和A、B且与直交。与相交于另一点，同理可得点和点。求证：的外接圆半径等于半径的。二、(40分)设，求证：。三、(50分)已知P为质数，均是正整数，试求方程的所有解。四、(50分)证明：在任意个人中，可以找到两个人A、B，使得其余个人中，至少有个人他们中的每一个，或者都认识A、B；或者都不认识A、B。模拟试题十二 高中数学联赛模拟试题第一试一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分把答案填在横线上1对于任意的，都有，则的最大值是 。2对于任意实数a，b，不等式恒成立，则常数C的最大值是 （注：表示x，y，z中的最大者）3已知每条棱长都为3的直平行六面体ABCDA1B1C1D1中，BAD=60，长为2的线段MN的一个端点M在DD1上运动，另一个端点N在底面ABCD上运动，则MN中点P的轨迹与该直平行六面体表面所围成的几何体中较小的体积值为_4已知四个整数都是偶数，且，若成等差数列，成等比数列，则的值等于 5已知椭圆的左右焦点分别为与，点P在直线l：上. 当取最大值时，的值为 6已知数列的前n项之和为，且，则的表达式为_7已知定义在R上的偶函数的图象关于直线对称，且当时，若直线与曲线恰有三个交点，则实数的取值范围为_8某食品厂制作了4种不同的精美卡片，在该厂生产的每袋食品中都随机装入一张卡片，规定：如果收集齐了4种不同的卡片，便可获得奖品.小明一次性购买该种食品6袋，那么小明获奖的概率是_二、解答题：本大题共3小题，共56分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤1（本小题满分16分）已知抛物线的焦点为F，过F作两条相互垂直的弦AB、CD，设弦AB、CD的中点分别为M、N. ( 1 )求证：直线MN必过定点；( 2)分别以弦AB和CD为直径作圆，求证：两圆相交弦所在的直线经过原点.2（本小题满分20分）设函数（其中为实常数），数列和定义为：，（），已知不等式对任意实数均成立，数列的前项的和记为（1）求实数、的值；（2）若数列的前项的乘积记为，证明：对任意正整数，为定值；（3）证明：对任意正整数，都有3（本小题满分20分）设为n个正实数（），且，将中最大的数记为S (1)令，求证： ；(2)对于给定的正整数n，求S的最小值，并求出S取最小值时的值第二试O3O4O5O6O2O1一、（本小题满分40分）如图，已知两圆与内切，另四个圆、均与内切，与外切，且连心线、与的夹角相等，求证：点、共圆二、（本小题满分40分）设i=1,2,3,n试求下面式子的最大值与最小值：,其中，三、（本小题满分50分）正整数m，n均大于1，已知刚好有3个不同的质因子，求所有满足要求的数组（m，n）四、（本小题满分50分）甲、乙两人在一张无限大的方格棋盘上轮流下棋，每次可以将一个棋子放入任意一个方格中，且每个方格中至多放入一个棋子，现在由甲先下一个黑棋，乙接着下一个白棋，然后甲再下一个黑棋，乙再下一个白棋，如此进行下去如果在棋盘上横着或竖着连出5个黑棋，那么甲获胜，如果连出5个白棋，那么乙获胜请问：分别对于甲、乙两人，是否各自存在一种策略，可以使得对手无法获胜？说明理由模拟试题十三 高中数学竞赛模拟试卷 -大连市第24中学 李振权一试一、填空题1给定数列xn，x1=1，且xn+1=，则= 2、一个七位数，其各位数字相加得到，已知仍为一个七位数，且各位数字的其中六个为1，2，3，4，6，7，如果小明足够聪明，他能猜中第七个数字的概率为 。3z1、z2分别在实轴和虚轴上运动，保持|z1-z2|=2恒定，而z3=z1(1+i)-z2i，则|z3|的最大值为_.4.在椭圆中，是左焦点，点是左准 线上一点，过点的直线交椭圆于、两点，连结、，且， ，则_。5我们注意到6!=8910，试求能使n!表示成(n-3)个连续自然三数之积的最大正整数n为_.6对每一实数对(x, y)，函数f(t)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+f(xy)+1。若f(-2)=-2，试求满足f(a)=a的所有整数a=_.7.设有足够的铅笔分给7个小朋友，每两人得到的铅笔数不同，最少者得到1支，最多者得到12支，则有 种不同的分法。8、已知斜四棱柱的底面是边长为的菱形，侧棱长为，当_时，平面二、解答题9、 已知中，AC=2AB.过点C、A分别作外接圆的切线，切点分别为C和A，若两条切线相交于点P。直线BP交圆于点D. 求证：直线BP平分。 10已知a, b, cR+，且满足(a+b)2+(a+b+4c)2，求k的最小值。11已知a0，函数f(x)=ax-bx2,（1）当b0时，若对任意xR都有f(x)1，证明：a2；（2）当b1时，证明：对任意x0, 1, |f(x)|1的充要条件是：b-1a212、已知数列满足，（）判断数列是否是等比数列，若是等比数列，请给出证明，若不是，请说明理由；（）当时，求数列的前项和为；（）在（）的条件下，证明当时，二试一、（50分）已知Q为以AB为直径的圆上的一点，Q A, B，Q在AB上的投影为H，以Q为圆心，QH为半径的圆与以AB为直径的圆交于点C、D证明CD平分线段QH二、（50分）设为自然数，已知，求三、（50分）是否存在1000000个连续整数，使得每一个都含有重复的素因子，即都能被某个素数的平方所整除？四、（50分）设|X|为子集中元素的个数；又为，是的补集；是对个参赛选手有相同的判决，证明模拟试题十四 一.填空题1.已知,若则的解析式为_.2.设的某一个排列,那么表达式可以取_个不同的值.3.设是集合含有3个元素的所有子集的元素之和，则_.4.已知是方程的两根,且是虚数,是实数,则=_.5.当且仅当n被k整除时，多项式不被整除，则整数k=_. 6.已知纯虚数的模均为1,则被4除所得余数为_.7.设集合,映射使得,已知_.8.12个朋友每周聚餐一次,每周他们分成三组,每组4人,不同组坐不同的桌子,若要求这些朋友中任意两人至少有一次同坐一张桌,则至少要_周.二解答题1是椭圆的两个焦点，点P是椭圆上一点，且点P不在轴上，求值.2.数列中,求该数列前n项和.3.定义在(-1,1)上的函数满足:1)对任意都有;2)当时,有.求证:.第二试一. 如图在四边形ABCD中,对角线AC平分BE与AC相交于F,延长DF交BC于G,求证:.ADECGBF二设,求证:.三证明:对于大于2的任意正整数,存在无穷多个.四设p是奇质数,是小于p的正整数,证明:的充分必要条件是对任何小于p的正整数n,均有等于正奇数.第十五套：联赛模拟上海延安：丁虬骋一、填空题1. 若不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围是 2. 方程组的实数解共有 组3. 正方体中，点分别在线段上（不包括线段的端点），满足，则与所成角的取值范围是 4. 已知上一点,分别是圆与圆上的点,则的最大值为 5. 设函数，定义，其中，且，则= .6. 长方体中，则异面直线与间的距离为 .7. 求和：= （其中表示不超过的最大整数）.8. 扔6次骰子，令第次得到的数为，若存在正整数使得的概率，其中是互质的正整数，则= .二、解答题9. 设为实数列，满足，其中.求证：当时，.10. 设椭圆的焦点，为过焦点的弦，满足，求“蝶形”面积的最大值和最小值.11. 设函数（1）若与在同一个值时都取得极值，求的值.（2）对于给定的负数，有一个最大的正数，使得时，恒有的表达式；的最大值及相应的值.第二试1、在中，是斜边上的高，记分别是，的内心，在边上的射影为；，的角平分线交，分别于，；的连线与相交于.求证：四边形为正方形.2、设,求证:.3、设的内切圆半径为1，三边长,.若、都是整数，求证：为直角三角形.4求证：面积为1的凸边形可以被面积为2的三角形覆盖第十六套：高中数学联赛模拟题华南师大附中 宋红军一试姓名 成绩 一：选择题(每小题8分，共64分)1、设集合X=-1,0,1,Y=-2,-1,0,1,2，从X到Y的映射满足条件：对于每个xX，恒有x+f(x)为奇数，则这样的映射一共有 18 个。2、已知x+lgx=10,y+10y=10，则x+y= 10 。3、设f(z)=3z(cos+isinp)，这里z是复数，用A表示点f(1+i)，B表示点f(0)，C表示点4i，则ABC= 60 。4、设抛物线y2=2x的焦点为F，以P(4.5,0)为圆心，|PF|长为半径作一圆，与抛物线在x轴上方交于点M、N。则|MF|+|NF|的值是 8 。5、已知四棱锥SABCD的底面为平行四边形，面SAC面SBD，若SBC、SCD、SDA的面积分别为5,6,7，则SAB的面积等于 。6、若1a1a2a3a4a5a664，则Q= + + 的最小值为 。7、一个由16个小方格组成的的棋盘，将其中8个小方格染黑，使得每行、每列都恰有2个黑格，有 90 种不同的染法。8、已知M=27t=35s，其中t是奇数，s不能被3整除，则M的所有形如2p3q（其中p,q为自然数）的约数之和等于 92820 。二：解答题（9小题每小题16分，10、11小题20分，共56分）9、数列an定义如下：a0=a1=1,an+2=14an+1-an(其中nN)，求证：对所有的正整数n，2an-1是完全平方数。证明：数列an对应的特征方程为x2-14x+1=0，其两根为x1=7+4,x2=7-4，an=a(7+4)n+b(7-4)n又a0=a1=1a= ,b= an= (7+4)n+(7-4)n= (2+)2n+(2-)2n2an-1= (2+)2n+(2-)2n-1 =()2(2+)2n+()2(2-)2n-1 =(2+)n-(2-)n2由二项式定理得：(2+)n=可设(2+)n=x+y,其中x,y为整数，则(2-)n=x-y2an-1=(2+)n-(2-)n2=(3y-x)2又3y-x为整数2an-1是完全平方数。解法二：用归纳法证明。（构造数列bn:b0=-1,b1=1,b2=5,bn+2=4bn+1-bn，证明2an-1=bn2）10、已知a,b,c为正实数，求证：(a5-a2+3)(b5-b2+3)(c5-c2+3)(a+b+c)3证明：a,b,c为正实数a5-a3-a2+1=a3(a2-1)-(a2-1)=(a-1)2(a+1)(a2+a+1)0a5 -a2+1a3 a5-a2+3a3+2同理可得：b5-b2+3b3+2；c5-c2+3c3+2；(a5-a2+3)(b5-b2+3)(c5-c2+3)(a3+2)(b3+2)(c3+2)=a3b3c3+2a3b3+2b3c3+2a3c3+4a3+4b3+4c3+8=(a3+b3+c3)+(a3+a3b3+1)+(a3+a3c3+1)+(b3+a3b3+1)+(b3+b3c3+1)+ (c3+a3c3+1)+(c3+b3c3+1)+(a3+b3+c3+ a3b3c3+1+1)a3+b3+c3+3a2b+3a2c+3ab2+3b2c+3ac2+3bc2+6abc=(a+b+c)3当a=b=c=1时取等号。11、点P到定点F(-1,2)和到定直线x=-3的距离之和等于4。（1）求点P的轨迹方程，并画出曲线L。（2）直线l:(q 为倾斜角，t为参数)。与曲线L交于P、Q两点，记f (q )=PQ，试求f (q )的表达式及其最大值和最小值。解：(1)设P点的坐标为：P(x,y)，则有+|x+3|=4 当x-3时，(y-2)2=-4x当x-3时， (y-2)2=12(x+4)P点的轨迹方程为：(2)以F(-1,2)为极点，x轴正向为极轴，建立极坐标系，则当x-3时，P点轨迹为以F(-1,2)为焦点的抛物线，此时的抛物线椎坐标方程为r= (-120q120)；当x-3时，P点轨迹也为以(-1,2)为焦点的抛物线；此时的抛物线椎坐标方程为r= (120q240)；直线方程为q =q0；直线与曲线相交有两种情况：（1）直线只与一条抛物线相交时，这条抛物线方程必为：r= 且60q120，此时4|PQ|= + = 当q=90时取最小值；当q=60时取最大值。（2）直线与两条抛物线都相交时，-60q60，此时 4|PQ|= + = 当q=0时取最小值；当q=60时取最大值。f (q )=且f (q )的最大值为，最小值为4。二试姓名 成绩 一：本题满分40分给定锐角ABC，在BC边上取点A1、A2(A2位于A1与C之间)；在CA边上取点B1、B2(B2位于B1与A之间)；在AB边上取点C1、C2(C2位于C1与B之间)。使得AA1A2=AA2A1=BB1B2=BB2B1=CC1C2=CC2C1。直线AA1、BB1、CC1可构成一个三角形，直线AA2、BB2、CC1可构成另一个三角形，求证：这两个三角形的六个顶点共圆。一：证明：设上述两个三角形分别为图中所示的UVW和XYZ，则BB2B1=CC1C2AB2B=AC1C BAB2=CAC1AB2BAC1C= 且ABB2=ACC1同理可得：BAA1=BCC2A1VB=BAA1+B1BB2+ABB2=BCC2+C1CC2+ACC2=ACB同理可得：ACB=AXB2 A1VB=AXB2 同理可得：A2ZC=AUC1在ABV中：= = = 同理可得：= ；= = = AV=AZ 同理可得：BW=BX；CU=CY又=AU=AX 同理可得：BV=BY；CW=CZUXBC；UXCA AUX=AA1A2=BB1B2=BWXX位于UVW的外接圆上 同理可得：Y位于UVW的外接圆上；Z位于UVW的外接圆上U、V、W、X、Y、Z六点共圆。二：本题满分40分设a, b, c 0，求证：+ + 。证：记k = 0，作分式变换 a = k b = k, c = k，a1, a2, a3 0，则原不等式等价于 + + (*)由Cauchy 不等式有 a1(a2 + ka3) (a1 + a2 + a3) 2 而 a1(a2 + ka3) = (1 + k)(a1a2 + a2a3 + a3a1) (a1) 2 3(a1a2 + a2a3 + a2a1) 由立得(*)，故原不等式得证。三：本题满分50分求所有正整数a1,a2,an，使得 = + + ，其中a0=1,(ak+1-1)ak-1ak2(ak-1),k=1,2,n-1。解：设是满足已知条件的正整数。因为，所以，否则, 即有，且，假设，则，综上所述，有，其中将不等式重写为，即。对于及求和可得当时，有，即，则。当时，有，即，则。当时，有，即，则。当时，有，即，则。当时，有，不可能。因此，是惟一的解。四：本题满分50分设n和k是正整数，满足nkn。求最小的数m，将m个“车”放入一个nn棋盘的方格内，使每行、每列都不存在连续的k个方格上都没有放“车”。解：如果棋盘上不存在k1或1k个没放“车”的方格，则称棋盘上的“车”的放法是“好的”。记行和列分别是第0行到第n-1行和第0列到第n-1列。一个理想的“好的”放法如下：将“车”放在(i,j)上，其中i,j分别表示为第i行、第j列，使k|i+j+1。由于n0，因此这种 G H I分法是合理的。 假设在矩形区域B中有b行没有“车”，H中有h行没有“车”，D中有d列没有“车”，F中有f列没有“车”。任取B中没有“车”的b行中一行，并向左、右延伸到整个棋盘，则这一行延伸到A的部分至少含有1个“车”，否则放法不是“好的”。同理，这一行在C的部分至少含有1个“车”。在A和C中对这一行中的两个“车”所在的方格各作一个记号。同理对H中没有“车”的h行有同样的结论。而对D和F中没有“车”的d列和f列也具有同样的结论。因此在ACGI中总共有“车”的方格作了2(b+h+d+f)次记号，而每个方格最多做了两次记号。所以有记号的方格至少有b+h+d+f个，它们中的每一个方格内都有1个“车”。因此，在ACGI中至少的b+h+d+f个“车”。又由于B中至少有n-k-b个“车”, H中至少有n-k-h个“车”，D中至少有n-k-d个“车”，F中至少有n-k-f个“车”，所以m4(n-k) 综上所述：要使每行、每列都不存在连续的k个方格上都没有放“车”，至少要放4(n-k)个“车”。