2014北京西城区高三期末数学(理)试题答案.doc

北京市西城区2013 2014学年度第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准 2014.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1B 2C 3D 4B 5A 6C 7A 8D二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9 10 11 12 13 14 注：第10、13、14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15（本小题满分13分） （）解：因为的最小正周期为， 所以 ，解得 3分 由 ，得， 即 ， 4分 所以 ，. 因为 ， 所以. 6分（）解：函数 8分 ， 10分由 ， 11分解得 12分所以函数的单调增区间为.13分16（本小题满分13分）（）解：依题意，得 ， 2分解得 . 3分（）解：设“乙组平均成绩超过甲组平均成绩”为事件， 4分依题意 ，共有10种可能. 5分由（）可知，当时甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，所以当时，乙组平均成绩超过甲组平均成绩，共有8种可能 6分所以乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率 7分（）解：当时，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，所有可能的成绩结果有种， 它们是：， 9分则这两名同学成绩之差的绝对值的所有取值为. 10分因此，. 11分所以随机变量的分布列为：0123412分所以的数学期望13分17（本小题满分14分）（）证明：因为四边形是菱形，所以 . 1分因为平面平面，且四边形是矩形， 所以 平面， 2分又因为 平面，所以 . 3分因为 ，所以 平面. 4分（）解：设，取的中点，连接，因为四边形是矩形，分别为的中点，所以 ，又因为 平面，所以 平面，由，得两两垂直.所以以为原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，如图建立空间直角坐标系. 5分FBCEAHDOzNxy因为底面是边长为2的菱形，所以 ，. 6分因为 平面， 所以平面的法向量. 7分设直线与平面所成角为，由 ， 得 ，所以直线与平面所成角的正弦值为. 9分（）解：由（），得，.设平面的法向量为，所以 10分即 令，得. 11分由平面，得平面的法向量为，则. 13分由图可知二面角为锐角，所以二面角的大小为. 14分18.（本小题满分13分）（）解：因为，所以 2分令，得 3分当变化时，和的变化情况如下： 5分故的单调减区间为；单调增区间为 6分（）解：结论：函数有且仅有一个零点. 7分理由如下：由，得方程， 显然为此方程的一个实数解. 所以是函数的一个零点. 9分当时，方程可化简为. 设函数，则，令，得当变化时，和的变化情况如下：即的单调增区间为；单调减区间为所以的最小值. 11分因为 ， 所以，所以对于任意，因此方程无实数解所以当时，函数不存在零点.综上，函数有且仅有一个零点. 13分19（本小题满分14分）（）解：抛物线的焦点为. 1分由题意，得直线的方程为， 2分令 ，得，即直线与y轴相交于点. 3分因为抛物线的焦点在直线的下方，所以 ，解得 . 5分（）解：由题意，设，联立方程 消去，得， 由韦达定理，得，所以 . 7分同理，得的方程为，. 8分对函数求导，得，所以抛物线在点处的切线斜率为，所以切线的方程为， 即. 9分同理，抛物线在点处的切线的方程为.10分联立两条切线的方程解得，所以点的坐标为. 11分因此点在定直线上. 12分因为点到直线的距离，所以，当且仅当点时等号成立 13分由，得，验证知符合题意.所以当时，有最小值. 14分20（本小题满分13分）（）解：由等比数列的，得，且当时，. 1分 所以，且当时，. 2分 即 3分（）证明：因为 ，所以 ，. 4分因为 ，所以 ，. 5分 由 ，得 . 6分因为 ， 所以 ， 所以 ，即 . 8分（）证明：（充分性）因为 ， 所以 ， 所以 对一切正整数n都成立. 因为 ，所以 . 9分（必要性）因为对于任意的，当时，由，得；当时，由，得.所以对一切正整数n都有. 由 ，得对一切正整数n都有， 10分所以公比为正有理数. 11分假设 ，令，其中，且与的最大公约数为1. 因为是一个有限整数，所以必然存在一个整数，使得能被整除，而不能被整除.又因为，且与的最大公约数为1. 所以，这与（）矛盾.所以.因此，. 13分 更多试题下载： （在文字上按住ctrl即可查看试题）高考模拟题：高考各科模拟试题【下载】历年高考试题：历年高考各科试题【下载】高中试卷频道：高中各年级各科试卷【下载】高考资源库：各年级试题及学习资料【下载】高考资源库：各年级试题及学习资料【下载】