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平山中学初高中数学衔接教材第一讲 因式分解因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法1十字相乘法例1 分解因式： （1）x23x2； （2）x24x12； （3）； （4） 解：（1）如图111，将二次项x2分解成图中的两个x的积，再将常数项2分解成1与2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为3x，就是x23x2中的一次项，所以，有x23x2(x1)(x2)aybyxx图1142611图1131211图11212xx图111 说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图111中的两个x用1来表示（如图112所示）（2）由图113，得x24x12(x2)(x6)（3）由图114，得11xy图115 （4）xy(xy)1(x1) (y+1) （如图115所示）课堂练习一、填空题：1、把下列各式分解因式：（1）（2） （3） （4） （5） （6）（7） （8） （9） （10） 二、把下列各式分解因式（1）x26x8； （2）；(3) (4) (5) 2.1 解一元二次方程2.1.1根的判别式情境设置：可先让学生通过具体实例探索二次方程的根的求法，如求方程的根（1）(2) (3) 我们知道，对于一元二次方程ax2bxc0（a0），用配方法可以将其变形为 因为a0，所以，4a20于是（1）当b24ac0时，方程的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根 x1，2；（2）当b24ac0时，方程的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根 x1x2；（3）当b24ac0时，方程的右端是一个负数，而方程的左边一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根由此可知，一元二次方程ax2bxc0（a0）的根的情况可以由b24ac来判定，我们把b24ac叫做一元二次方程ax2bxc0（a0）的根的判别式，通常用符号“”来表示综上所述，对于一元二次方程ax2bxc0（a0），有（1） 当0时，方程有两个不相等的实数根 x1，2；（2）当0时，方程有两个相等的实数根 x1x2；（3）当0时，方程没有实数根例1 判定下列关于x的方程的根的情况（其中a为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根（1）x23x30； （2）x2ax10； （3） x2ax(a1)0； （4）x22xa0解：（1）3241330，方程没有实数根（2）该方程的根的判别式a241(1)a240，所以方程一定有两个不等的实数根， （3）由于该方程的根的判别式为a241(a1)a24a4(a2)2，所以，当a2时，0，所以方程有两个相等的实数根 x1x21；当a2时，0， 所以方程有两个不相等的实数根 x11，x2a1（3）由于该方程的根的判别式为2241a44a4(1a)，所以当0，即4(1a) 0，即a1时，方程有两个不相等的实数根 ， ； 当0，即a1时，方程有两个相等的实数根 x1x21； 当0，即a1时，方程没有实数根说明：在第3，4小题中，方程的根的判别式的符号随着a的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对a的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题一、解下列方程：1、 2、二1、当 时，关于的方程只有一个实数根，此根为 。2、若关于的方程有两个实数根，那么的取值范围是 。3、若方程没有实数根，那么的取值范围是 。4、已知方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是 。5、已知方程有两个相等的实数根，那么的值是（ ） A、 B、 C、 D、或2.1.2 根与系数的关系（韦达定理） 若一元二次方程ax2bxc0（a0）有两个实数根 ，则有 ； 所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系： 如果ax2bxc0（a0）的两根分别是x1，x2，那么x1x2，x1x2这一关系也被称为韦达定理例2 已知方程的一个根是2，求它的另一个根及k的值分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出k的值，再由方程解出另一个根但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出k的值解法一：2是方程的一个根，522k260，k7所以，方程就为5x27x60，解得x12，x2所以，方程的另一个根为，k的值为7解法二：设方程的另一个根为x1，则 2x1，x1由 （）2，得 k7所以，方程的另一个根为，k的值为7例4 已知两个数的和为4，积为12，求这两个数解法二：设由韦达定理可知，这两个数是方程 x24x120的两个根 解这个方程，得 x12，x26所以，这两个数是2和6解法一：设这两个数分别是x，y，则 xy4， xy12 由，得 y4x， 代入，得x(4x)12，即 x24x120，x12，x26 或因此，这两个数是2和6说明：从上面的两种解法我们不难发现，解法二（直接利用韦达定理来解题）要比解法一简捷例5 若x1和x2分别是一元二次方程2x25x30的两根（1）求| x1x2|的值； （2）求x 2+ x 2的值；（3）x13x23解：x1和x2分别是一元二次方程2x25x30的两根， ，（1）| x1x2|2x12+ x222 x1x2(x1x2)24 x1x2 6， | x1x2|（3）x13x23(x1x2)( x12x1x2x22)(x1x2) ( x1x2) 23x1x2 ()()23()例6 若关于x的一元二次方程x2xa40的一根大于零、另一根小于零，求实数a的取值范围解：设x1，x2是方程的两根，则 x1x2a40， 且(1)24(a4)0 由得 a4，由得 aa的取值范围是a4练 习1选择题：（1）方程的根的情况是 （ ） （A）有一个实数根 （B）有两个不相等的实数根（C）有两个相等的实数根 （D）没有实数根（2）若关于x的方程mx2 (2m1)xm0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 （ ） （A）m （B）m （C）m，且m0 （D）m，且m0 2填空:（1）若方程x23x10的两根分别是x1和x2，则 （2）方程mx2x2m0（m0）的根的情况是 （3）以3和1为根的一元二次方程是 4已知方程x23x10的两根为x1和x2，求(x13)( x23)的值习题2.1A 组1选择题:（1）已知关于x的方程x2kx20的一个根是1，则它的另一个根是（ ） （A）3 （B）3 （C）2 （D）2（2）下列四个说法： 方程x22x70的两根之和为2，两根之积为7；方程x22x70的两根之和为2，两根之积为7；方程3 x270的两根之和为0，两根之积为；方程3 x22x0的两根之和为2，两根之积为0其中正确说法的个数是 （ ） （A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个（3）关于x的一元二次方程ax25xa2a0的一个根是0，则a的值是（ ）（A）0 （B）1 （C）1 （D）0，或12填空:（1）方程kx24x10的两根之和为2，则k （2）方程2x2x40的两根为，则22 （3）已知关于x的方程x2ax3a0的一个根是2，则它的另一个根是 （4）方程2x22x10的两根为x1和x2，则| x1x2| 3试判定当m取何值时，关于x的一元二次方程m2x2(2m1) x10有两个不相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？4求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x27x10各根的相反数2.2.1 二次函数yax2bxc的图象和性质情境设置：可先让学生通过具体实例探索二次函数的图象，如作图（1） (2) (3) 教师可采用计算机绘图软件辅助教学问题1 函数yax2与yx2的图象之间存在怎样的关系？为了研究这一问题，我们可以先画出y2x2，yx2，y2x2的图象，通过这些函数图象与函数yx2的图象之间的关系，推导出函数yax2与yx2的图象之间所存在的关系先画出函数yx2，y2x2的图象先列表：x3210123x294101492x2188202818yx2y2x2图2.2-1xOy从表中不难看出，要得到2x2的值，只要把相应的x2的值扩大两倍就可以了再描点、连线，就分别得到了函数yx2，y2x2的图象（如图21所示），从图21我们可以得到这两个函数图象之间的关系：函数y2x2的图象可以由函数yx2的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到同学们也可以用类似于上面的方法画出函数yx2，y2x2的图象，并研究这两个函数图象与函数yx2的图象之间的关系图2.2-2xyO1y2x2y2(x1)2y2(x1)21通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数yax2(a0)的图象可以由yx2的图象各点的纵坐标变为原来的a倍得到在二次函数yax2(a0)中，二次项系数a决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小问题2 函数ya(xh)2k与yax2的图象之间存在怎样的关系？同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系同学们可以作出函数y2(x1)21与y2x2的图象（如图22所示），从函数的同学我们不难发现，只要把函数y2x2的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，就可以得到函数y2(x1)21的图象这两个函数图象之间具有“形状相同，位置不同”的特点类似地，还可以通过画函数y3x2，y3(x1)21的图象，研究它们图象之间的相互关系通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数ya(xh)2k(a0)中，a决定了二次函数图象的开口大小及方向；h决定了二次函数图象的左右平移，而且“h正左移，h负右移”；k决定了二次函数图象的上下平移，而且“k正上移，k负下移”由上面的结论，我们可以得到研究二次函数yax2bxc(a0)的图象的方法：由于yax2bxca(x2)ca(x2)c ，所以，yax2bxc(a0)的图象可以看作是将函数yax2的图象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函数yax2bxc(a0)具有下列性质：（1）当a0时，函数yax2bxc图象开口向上；顶点坐标为，对称轴为直线x；当x时，y随着x的增大而减小；当x时，y随着x的增大而增大；当x时，函数取最小值y（2）当a0时，函数yax2bxc图象开口向下；顶点坐标为，对称轴为直线x；当x时，y随着x的增大而增大；当x时，y随着x的增大而减小；当x时，函数取最大值y xyOxA图2.2-3xyOxA图2.2-4上述二次函数的性质可以分别通过图223和图224直观地表示出来因此，在今后解决二次函数问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题例1 求二次函数y3x26x1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x取何值时，y随x的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象xOyx1A(1,4)D(0,1)BC图2.25解：y3x26x13(x1)24，函数图象的开口向下；对称轴是直线x1；顶点坐标为(1，4)；当x1时，函数y取最大值y4；当x1时，y随着x的增大而增大；当x1时，y随着x的增大而减小；采用描点法画图，选顶点A(1，4)，与x轴交于点B和C，与y轴的交点为D(0，1)，过这五点画出图象（如图25所示）说明：从这个例题可以看出，根据配方后得到的性质画函数的图象，可以直接选出关键点，减少了选点的盲目性，使画图更简便、图象更精确函数yax2bxc图象作图要领：（1） 确定开口方向：由二次项系数a决定（2） 确定对称轴：对称轴方程为（3） 确定图象与x轴的交点情况，若0则与x轴有两个交点，可由方程x2bxc=0求出若=0则与x轴有一个交点，可由方程x2bxc=0求出若0则与x轴有无交点。（4） 确定图象与y轴的交点情况,令x=0得出y=c，所以交点坐标为（0，c）（5） 由以上各要素出草图。练习：作出以下二次函数的草图（1）(2)(3) 练 习1选择题：（1）下列函数图象中，顶点不在坐标轴上的是 （ ） （A）y2x2 （B）y2x24x2（C）y2x21 （D）y2x24x （2）函数y2(x1)22是将函数y2x2 （ ） （A）向左平移1个单位、再向上平移2个单位得到的 （B）向右平移2个单位、再向上平移1个单位得到的 （C）向下平移2个单位、再向右平移1个单位得到的 （D）向上平移2个单位、再向右平移1个单位得到的2填空题（1）二次函数y2x2mxn图象的顶点坐标为(1，2)，则m ，n （2）已知二次函数yx2+(m2)x2m，当m 时，函数图象的顶点在y轴上；当m 时，函数图象的顶点在x轴上；当m 时，函数图象经过原点（3）函数y3(x2)25的图象的开口向 ，对称轴为 ，顶点坐标为 ；当x 时，函数取最 值y ；当x 时，y随着x的增大而减小3求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小）值及y随x的变化情况，并画出其图象（1）yx22x3； （2）y16 xx24已知函数yx22x3，当自变量x在下列取值范围内时，分别求函数的最大值或最小值，并求当函数取最大（小）值时所对应的自变量x的值：（1）x2；（2）x2；（3）2x1；（4）0x32.2.2 二次函数的三种表示方式通过上一小节的学习，我们知道，二次函数可以表示成以下两种形式：1一般式：yax2bxc(a0)；2顶点式：ya(xh)2k (a0)，其中顶点坐标是(h，k)除了上述两种表示方法外，它还可以用另一种形式来表示为了研究另一种表示方式，我们先来研究二次函数yax2bxc(a0)的图象与x轴交点个数当抛物线yax2bxc(a0)与x轴相交时，其函数值为零，于是有ax2bxc0 并且方程的解就是抛物线yax2bxc(a0)与x轴交点的横坐标（纵坐标为零），于是，不难发现，抛物线yax2bxc(a0)与x轴交点个数与方程的解的个数有关，而方程的解的个数又与方程的根的判别式b24ac有关，由此可知，抛物线yax2bxc(a0)与x轴交点个数与根的判别式b24ac存在下列关系：（1）当0时，抛物线yax2bxc(a0)与x轴有两个交点；反过来，若抛物线yax2bxc(a0)与x轴有两个交点，则0也成立（2）当0时，抛物线yax2bxc(a0)与x轴有一个交点（抛物线的顶点）；反过来，若抛物线yax2bxc(a0)与x轴有一个交点，则0也成立（3）当0时，抛物线yax2bxc(a0)与x轴没有交点；反过来，若抛物线yax2bxc(a0)与x轴没有交点，则0也成立于是，若抛物线yax2bxc(a0)与x轴有两个交点A(x1，0)，B(x2，0)，则x1，x2是方程ax2bxc0的两根，所以x1x2，x1x2，即 (x1x2)， x1x2所以，yax2bxca() = ax2(x1x2)xx1x2 a(xx1) (xx2) 由上面的推导过程可以得到下面结论：若抛物线yax2bxc(a0)与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，则其函数关系式可以表示为ya(xx1) (xx2) (a0)这样，也就得到了表示二次函数的第三种方法：3交点式：ya(xx1) (xx2) (a0)，其中x1，x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题 例1 已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线yx1上，并且图象经过点（3，1），求二次函数的解析式分析：在解本例时，要充分利用题目中所给出的条件最大值、顶点位置，从而可以将二次函数设成顶点式，再由函数图象过定点来求解出系数a解：二次函数的最大值为2，而最大值一定是其顶点的纵坐标，顶点的纵坐标为2又顶点在直线yx1上，所以，2x1，x1顶点坐标是（1，2）设该二次函数的解析式为，二次函数的图像经过点（3，1），解得a2二次函数的解析式为，即y2x28x7说明：在解题时，由最大值确定出顶点的纵坐标，再利用顶点的位置求出顶点坐标，然后设出二次函数的顶点式，最终解决了问题因此，在解题时，要充分挖掘题目所给的条件，并巧妙地利用条件简捷地解决问题练 习1选择题:（1）函数yx2x1图象与x轴的交点个数是 （ ） （A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）无法确定 （2）函数y(x1)22的顶点坐标是 （ ） （A）(1，2) （B）(1，2) （C）(1，2) （D）(1，2)2填空：（1）已知二次函数的图象经过与x轴交于点(1，0)和(2，0)，则该二次函数的解析式可设为ya (a0) （2）二次函数yx2+2x1的函数图象与x轴两交点之间的距离为