北师大版八年级数学上册第四章知识点总结(1-4章)

1 5 图 1 1 八年级上半期考复习教案 第一部分 知识点归纳 第一章 勾股定理 知识点归纳 1 勾股定理 直角三角形两直角边 a b 的 等于斜边 c 的 即 2 勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长 a b c 有关系 那么这个三角形是 三角形 22ba 3 勾股数 满足 的三个 称为勾股数 22 注意 1 勾股定理仅适用于直角三角形 2 常见的勾股数 3 4 5 6 8 10 5 12 13 7 24 25 8 15 17 3 若 a b c 为勾股数 则 ka kb kc k 为正整数 也是勾股数 第二章 实数 知识点归纳 一 实数的概念及分类 1 实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数 无理数 小数 负无理数 2 无理数 叫做无理数 在理解无理数时 要抓住 无限不循环 这一时之 归纳起来有四类 1 开方开不尽的数 如 等 32 7 2 有特定意义的数 如圆周率 或化简后含有 的数 如 8 等 3 3 有特定结构的数 如 0 1010010001 等 4 某些三角函数值 如 sin60o等 稍拓展一下 二 实数的倒数 相反数和绝对值 1 相反数 只有 不同的两个数叫做互为相反数 零的相反数是零 从数轴上看 互为相反 数的两个数所对应的点关于原点对称 如果 a 与 b 互为相反数 则有 a b 0 a b 反之 亦成立 2 绝对值 在数轴上 一个数所对应的点与 的距离 叫做该数的绝对值 a 0 零的 绝对值是它本身 也可看成它的相反数 若 a a 则 a 0 若 a a 则 a 0 3 倒数 如果 a 与 b 互为倒数 则有 ab 1 反之亦成立 倒数等于本身的数是 零没 有倒数 4 数轴 规定了 和 的直线叫做数轴 解题时要真正掌握数形结合的思 想 理解实数与数轴的点是一一对应的 并能灵活运用 5 估算 三 平方根 算数平方根和立方根 1 算术平方根 一般地 如果一个正数 x 的平方等于 a 即 x2 a 那么这个正数 x 就叫做 a 的算术平方根 特别地 0 的算术平方根是 0 2 5 表示方法 记作 读作根号 a a 性质 正数和零的算术平方根都只有 个 零的算术平方根是 2 平方根 一般地 如果一个数 x 的平方等于 a 即 x2 a 那么这个数 x 就叫做 a 的平方 根 表示方法 正数 a 的平方根记做 读作 正 负根号 a 性质 一个正数有 个平方根 它们互为 数 零的平方根是 负数 平方 根 开平方 求一个数 a 的平方根的运算 叫做开平方 0 注意 的双重非负性 0 3 立方根 一般地 如果一个数 x 的立方等于 a 即 x3 a 那么这个数 x 就叫做 a 的立方根 表示方法 记作 3a 性质 一个正数有 个正的立方根 一个负数有 个负的立方根 零的立方根是 注意 这说明三次根号内的负号可以移到根号外面 33 四 实数大小的比较 1 实数比较大小 正数大于 负数小于 正数大于一切 数 数轴上的两 个点所表示的数 边的总比 边的大 两个负数 绝对值大的反而小 2 实数大小比较的几种常用方法 1 数轴比较 在数轴上表示的两个数 右边的数总比左边的数大 2 求差比较 设 a b 是实数 0 0ba ba 0 3 求商比较法 设 a b 是两正实数 1 1 1ab 4 绝对值比较法 设 a b 是两负实数 则 5 平方法 设 a b 是两负实数 则 ba2 五 算术平方根有关计算 二次根式 1 含有二次根号 被开方数 a 必须是非负数 2 性质 1 0 2 a 2 2 3 0 baab 0 baba 4 3 运算结果若含有 形式 必须满足 1 被开方数的因数是整数 因式是 整式 2 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 六 实数的运算 1 六种运算 加 减 乘 除 乘方 开方 2 实数的运算顺序 3 5 先算乘方和开方 再算乘除 最后算加减 如果有括号 就先算括号里面的 第三章 平面直角坐标系 知识点归纳 一 在平面内 确定物体的位置一般需要两个数据 二 平面直角坐标系及有关概念 1 平面直角坐标系 在平面内 两条互相垂直且有公共原点的数轴 组成平面直角坐标系 其中 水平 的数轴叫做 x 轴或横轴 取向右为正方向 铅直的数轴叫做 y 轴或纵轴 取向上为正方向 x 轴和 y 轴统称坐标轴 它们的公共原点 O 称为直角坐标系的原点 建立了直角坐标系的 平面 叫做坐标平面 2 为了便于描述坐标平面内点的位置 把坐标平面被 x 轴和 y 轴分割而成的四个部分 分 别叫做第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 注意 x 轴和 y 轴上的点 坐标轴上的点 不属于任何一个象限 3 点的坐标的概念 对于平面内任意一点 P 过点 P 分别 x 轴 y 轴向作垂线 垂足在上 x 轴 y 轴对应的 数 a b 分别叫做点 P 的横坐标 纵坐标 有序数对 a b 叫做点 P 的坐标 平面内点的与有序实数对是一一对应的 4 不同位置的点的坐标的特征 1 各象限内点的坐标的特征 点 P x y 在第一象限 点 P x y 在第二象限0 yx 0 yx 点 P x y 在第三象限 点 P x y 在第四象限 2 坐标轴上的点的特征 点 P x y 在 x 轴上 x 为任意实数 点 P x y 在 y 轴上 y 为任意实数0 3 两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征 点 P x y 在第一 三象限夹角平分线 直线 y x 上 x 与 y 相等 点 P x y 在第二 四象限夹角平分线上 x 与 y 互为相反数 4 和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征 位于平行于 x 轴的直线上的各点的 坐标相同 位于平行于 y 轴的直线上的各点的 坐标相同 5 关于 x 轴 y 轴或原点对称的点的坐标的特征 点 P 与点 p 关于 x 轴对称 坐标相等 坐标互为相反数 点 P 与点 p 关于 y 轴对称 坐标相等 坐标互为相反数 点 P 与点 p 关于原点对称 横 纵坐标均互为 6 点到坐标轴及原点的距离 点 P x y 到坐标轴及原点的距离 1 点 P x y 到 x 轴的距离等于 2 点 P x y 到 y 轴的距离等于 3 点 P x y 到原点的距离等于 三 坐标变化与图形变化的规律 坐标 x y 的变化 图形的变化 x a 或 y a 被横向或纵向拉长 压缩 为原来的 a 倍 x a y a 放大 缩小 为原来的 a 倍 x 1 或 y 1 关于 y 轴或 x 轴对称 x 1 y 1 关于原点成中心对称 x a 或 y a 沿 x 轴或 y 轴平移 a 个单位 x a y a 沿 x 轴平移 a 个单位 再沿 y 轴平移 a 个单 第四章 一次函数 知识点归纳 一 函数 4 5 一般地 在某一变化过程中有两个变量 x 与 y 如果给定一个 x 值 相应地就确定了 一个 y 值 那么我们称 y 是 x 的函数 其中 x 是自变量 y 是因变量 二 函数的三种表示法及其优缺点 1 关系式 解析 法 两个变量间的函数关系 有时可以用一个含有这两个变量 及数字运算符号的等式表示 这种表示法叫做关系式 解析 法 2 列表法 把自变量 x 的一系列值和函数 y 的对应值列成一个表来表示函数关系 这种表示法叫做列表法 3 图象法 用图象表示函数关系的方法叫做图象法 三 由函数关系式画其图像的一般步骤 1 列表 列表给出自变量与函数的一些对应值 2 描点 以表中每对对应值为坐标 在坐标平面内描出相应的点 3 连线 按照自变量由小到大的顺序 把所描各点用平滑的曲线连接起来 四 正比例函数和一次函数 1 正比例函数和一次函数的概念 一般地 若两个变量 x y 间的关系可以表示成 k b 为常数 k 0 的xy 形式 则称 y 是 x 的一次函数 x 为自变量 y 为因变量 特别地 当一次函数 中的 b 0 时 即 k 为常数 k 0 称 y 是bk x 的正比例函数 2 一次函数的图像 所有一次函数的图像都是一条直线 3 一次函数 正比例函数图像的主要特征 一次函数 的图像是经过点bxy 0 b 的直线 正比例函数 的图像是经过原点 0 0 的直线 kxy 4 正比例函数的性质 一般地 正比例函数 有下列性质 1 当 k 0 时 图像经过第一 三象限 y 随 x 的增大而增大 2 当 k0 时 y 随 x 的增大而增大 2 当 k0 时 将直线 y kx 的图象向上平移 b 个单位 当 b0 b0 图象从左到右上升 y 随 x 的增大而增大 k 0 经过第一 二 四象限 经过第二 三 四象限 经过第二 四象限 5 5 图象从左到右下降 y 随 x 的增大而减小 7 直线 y k1x b1与 y k2x b2的位置关系 1 两直线平行 2 两直线相交 3 两直线重合 8 正比例函数和一次函数解析式的确定 确定一个正比例函数 就是要确定正比例函数定义式 k 0 中的常数 k 确xy 定一个一次函数 需要确定一次函数定义式 k 0 中的常数 k 和 b 解这类bxy 问题的一般方法是待定系数法 用待定系数法确定函数解析式的一般步骤 9 一次函数与一元一次方程的关系 任何一个一元一次方程都可转化为 kx b 0 k b 为常数 k 0 的形式 而 一次函数解析式形式正是 y kx b k b 为常数 k 0 当函数值为 0 时 即 kx b 0 就 与一元一次方程完全相同 结论 由于任何一元一次方程都可转化为 kx b 0 k b 为常数 k 0 的形式 所 以解一元一次方程可以转化为 当一次函数值为 0 时 求相应的自变量的值 从图象上看 这相当于已知直线 y kx b 确定它与 x 轴交点的横坐标值