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七年级数学知识点整理上册第一章从自然数到有理数1.1从自然数到分数自然数在计数和测量中有着广泛的应用，人们还常常用自然数来给事物标号或排序。我们还学习了分数和小数，它们是由于测量和分配等实际需要而产生的。伴随着数的概念而来的是数的运算，数的运算是人们分析、判断和解决实际问题的重要手段。1.2有理数我们把一种意义的量规定为正，用过去学过的数（零除外），如123，15等来表示，这样的数就叫做正数。正数前面可以放上正号“+”来表示（通常省略不写）；把另一种与之意义相反的量规定为负，用过去学过的数（零除外）前面放上“-”来表示，这样的数就叫做负数。零既不是正数，也不是负数。正整数、零和负整数统称整数;正分数，负分数统称分数。整数和分数统称有理数。1.3数轴规定了原点、单位长度和正方向的直线叫做数轴。任何一个有理数都可以用数轴上的点表示。如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数.注意:零的相反数是零。在数轴上，表示互为相反数（零除外）的两个点，位于原点的两侧，并且到原点的距离相等。1.4绝对值我们把一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值。一般地，一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零。互为相反数的两个数绝对值相等。1.5有理数大小的比较在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。正数都大于零，负数都小于零。两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小。第二章有理数的运算2.1有理数的加法同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加。异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并把较大绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得零；一个数同零相加，仍得这个数。加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。a+b=b+a加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。(a+b)+c=a+(b+c)2.2有理数的减法减去一个数，等于加上这个数的相反数。2.3有理数的加法两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与零相乘，积为零。若两个有理数的乘积为1,就称这两个有理数互为倒数。零没有倒数。乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变。ab=ba乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。(ab)c=a(bc)分配律：一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加。a（b+c）=ab+ac2.4有理数的除法两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。零除以任何一个不为零的数都得零。除以一个数（不等于零），等于乘以这个数的倒数。2.5有理数的乘方求几个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在a的n次方中，a叫做底数，n叫做指数。对于乘除和乘方的混合运算，应先算乘方，后算乘除，遇到括号，就先进行括号里的运算。把一个数表示成a(1a10)与10的幂相乘的形式，叫做科学计数法。2.6有理数的混合运算先算乘方，再算乘除，最后算加减。如有括号，先进行括号里的运算。2.7准确数和近似数与实际完全符合的数称为准确数；与实际接近的数称为近似数。一个近似数的精确度通常有以下两种表述方式：用四舍五入法表述。一个近似数四舍五入到那一位，就说这个近似数精确到哪一位。用有效数字的个数表述。由四舍五入得到的近似数，从左边第一个不是零的数字起，到末位数字为止的所有数字，都叫做这个数的有效数字。第三章实数3.1平方根一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，也叫做a的二次方根。一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。一个正数a的正平方根用“a”表示（读做“根号a”）；a的负平方根用“a”表示（读做“负根号a”），因此，一个正数的平方根就用“a”表示（读做“正、负根号a”），其中a叫做被开方数。求一个数的平方根的运算叫做开平方。正数的正平方根和零的平方根，统称算术平方根。一个数a（a0）的算术平方根记做“a”。3.2实数无限不循环小数叫做无理数。无理数和有理数统称实数。实数和数轴上的点一一对应。在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数大。3.3立方根一般地，一个数的立方等于a，这个数就叫做a的立方根，也叫做a的三次方根，记做3a。其中a是被开方数，3是根指数，符号“3”读做“三次根号”。求一个数的立方根的运算，叫做开立方。一个整数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。3.5实数的运算实数的运算顺序是先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减。如有括号，先进行括号里的运算。第四章代数式4.1用字母表示数利用字母表示数，能把数和数量关系一般化地、简明地表示出来。4.2代数式含有字母的数学表达式称为代数式。一个代数式由数、表示数的字母和运算符号组成。单独一个数或者一个字母也称代数式。这里的运算是指加、减、乘、除、乘方和开方。4.3代数式的值一般地，用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值。4.4整式由数字与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫做单项式。单独一个数或者一个字母也称单项式。单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。一个单项式中，所有的字母的指数的和叫做这个单项式的次数。由几个单项式相加组成的代数式叫做多项式。在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，次数最高的项的次数就是这个多项式的次数。单项式、多项式统称为整式。4.5合并同类项多项式中。所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项。所有的常数项也看作同类项。把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。合并同类项的法则是：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。4.6整式的加减去括号法则:括号前面是“+”，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不变号；括号前面是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉，括号里各项都改变符号。在解决实际问题时，我们常常要列有关代数式。这时我们应首先把其中的一个量或几个量用字母表示，这是运用数学解决实际问题的一个重要策略。第五章一元一次方程5.1一元一次方程方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的指数是一次，这样的方程叫做一元一次方程。使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。尝试检验的方法是解决问题的一种重要的思想方法。解决方程的基本思路是根据灯饰的性质，把方程变形成“x=a（a为已知数）”的形式。5.2一元一次方程的解法一般地，把方程中的项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫做移项。移项时，通常把含有字母的未知数的项移到等号的左边，把常数项移到等号的右边。移项和合并同类项在方程变形中经常用到，移项时应注意改变项的符号。去分母、去括号、移项、合并同类项等都是方程变形的常用方法，但必须注意，移项和去分母的依据是等式的性质，而去括号和合并同类项的依据是代数式的运算法则。一般地，解一元一次方程的基本程序是：去分母去括号移项合并同类项两边同除以未知数的系数5.3一元一次方程的应用运用方程解决实际问题的一般过程是：1.审题：分析题意，找出题中的数量及其关系。2.设元：选择一个适当的未知数用字母表示。3.列方程：根据相等关系列出方程。4.解方程：求出未知数的值5.检验：检查求得的值是否正确和符合题意，并写出答案。用列表法分析数量关系是常用的方法。应用方程解决实际问题时，我们还常用示意图来分析数量关系，并建立方程。5.4解决问题的基本步骤1.理解问题。弄清问题的意思，以及问题中涉及的术语、词汇的含义；分清问题中的条件和要求的结论等。2.制定计划。在理解问题的基础上，运用有关的数学知识和方法拟定出解决问题的思路和方案。3.执行计划。把已制定的计划具体地进行实施。4.回顾。对整个解题过程进行必要的检查和反思,也包括检验得到的答案是否符合问题的实际，思考对原来的解法进行改进或尝试用不同的方法，进行举一反三等。第六章数据与图表6.1数据的收集与整理数据收集可以通过直接观察、测量、调查和实验等手段得到，也可以通过查阅文献资料、使用互联网查询等间接途径得到。将数据分类、排序是整理数据的常用方法。分组、编码可以将原来数量繁多、无序的数据简化、有序化，是数据整理的一种重要方法。6.2统计表数据经整理以后进一步使之表格化，便形成统计表，统计表主要由标题（统计表的名称）、标目和数据三部分组成。统计表中一般应注明数据的单位和制表日期等。6.3条形统计图和折线统计图根据数据统计表，我们可以方便地绘制各种形式的统计图，把数据和数据的变化用图形直观、生动地表示出来。条形统计图和折线统计图是两种常见的统计图。条形统计图一般由两条互相垂直的数轴和若干长方形组成，两条数轴分别表示两个不同的标目，长方形的高表示其中一个标目的数据。折线统计图在反映数据变化的走向，以及同时反映若干组不同类别数据之间的相互关系方面尤为见长。6.4扇形统计图用圆和扇形分别表示关于总体和各个组成部分数据的统计图叫做扇形统计图。绘制扇形统计图的一般步骤是：1.画一个园。2.按各组成部分所占比例算出各个扇形的圆心角的度数。3.根据算得的各圆心角的度数，画出各个扇形，并注明相应的百分比。第七章图形的初步认识7.1几何图形点、线、面、体这些基本图形可以帮助人们有效地刻画错综复杂的现实世界，它们都称为几何图形。这些图形所表示的各个部分不在同一个平面内，这样的图形称为立体图形。某些图形所表示的各个部分都在同一个平面内，称为平面图形。7.2线段、射线和直线线段可以用表示它的两个端点的大写字母表示，也可以用小写字母表示。直线可以用它上面任意两个点的大写字母表示，也可以用一个小写字母表示。射线用表示它的端点的字母和射线上另外任意一点的两个字母表示，表示端点的字母要写在前面。直线的基本性质：经过直线有且只有一条直线。7.3线段的长短比较比较两条线段的长短，有叠合法和度量法。点C把线段AB分成相等的两条线段AC与BC，点C叫做线段AB的中点。线段的性质：在所有连结两点的线中，线段最短。简单地说，两点之间线段最短。连结两点的线段的长度叫做这两点间的距离。7.4角与角的度量角是由两条有公共端点的射线所组成的图形，这个公共端点叫做这个角的顶点。角也可以可以看成是有一条射线绕着它的端点旋转而成的图形。起始位置的射线叫做角的始边，终止位置的射线叫做角的终边。角用符号“”表示，读做“角”，通常有以下几种表示角的方法：1.用三个大写字母表示。中间的字母表示顶点，其他两个字母分别表示角的两边上的点。2.用一个数字或希腊字母表示。3.在不引起混淆的情况下，也可以用角的顶点字母来表示这个角。角的终边继续旋转，旋转到和始边成一条直线时，所成的角叫做平角；旋转到终边和始边再次重合时，所成的角叫做周角。比1更小的单位为分和秒。把1的角等分成60份，每分就是1分，记做1；而把1分的角再等分成60份，每一份就是1秒，记做1。度、分、秒是角的基本度量单位。7.5角的大小比较比较角的大小，我们可以把角重叠，也可以分别量出度数来进行比较。等于90度的角是直角。小于直角的角是锐角。大于直角而小于平角的角是钝角。从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。7.6余角和补角如果两个锐角的和是一个直角，我们就说着两个角互为余角，简称互余，也可以说其中一个角是另一个角的余角。如果两个角的和是一个平角，我们就说着两个角互为补角，简称互补，也可以说其中一个角是另一个角的补角。同角或等角的余角相等。同角或等角的补角相等。7.7相交线如果两条直线只有一个公共点，就说这两条直线相交。该公共点叫做这两条直线的交点。对顶角的顶点相同，角的两边互为反向延长线。对顶角的性质：对顶角相等。当两条直线相交所构成的四个角中有一个是直角时，我们就说这两条互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。一般地，在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线。一般地，直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短。直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。7.8平行线在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。一般地，经过直线外一点，有且只有一条直线平行于已知直线。下册第一章三角形的初步认识1.1认识三角形由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。“三角形”用符号“”表示，顶点是ABC的三角形记做“ABC”读作“三角形ABC”。由两点之间线段最短，可以得到如下性质：三角形任何两边的和大于第三边。三角形三个内角的和等于180。由三角形一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角，叫做该三角形的外角。三角形的一个外角等于和它不相邻两个内角的和。1.2三角形的平分线和中线在三角形中，一个内角的角平分线与它对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的三角形的平分线。在三角形中，连结一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线。1.3三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。锐角三角形的三条高在三角形的内部，垂足在相应顶点的对边上。直角三角形的直角边上的高分别与另一条直角边重合，垂足都是直角的顶点。而在钝角三角形中，夹钝角两边上的高都在三角形的外部，它们的垂足都在相应顶点的对边的延长线上。1.4全等三角形能够重合的两个图形称为全等图形。能够重合的两个三角形称为全等三角形。两个全等三角形重合时，能互相重合的顶点叫做全等三角形的对应顶点，互相重合的边叫做全等三角形的对应边，互相重合的角叫做全等三角形的对应角。“全等”可用符号“”来表示。全等三角形的性质：全等三角形对应边相等，对应角相等。1.5三角形全等的条件三边对应相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“SSS”）。当三角形三边长确定是，三角形的形状、大小完全被确定，这个性质叫做三角形的稳定性，这是三角形特有的性质。有一个角和夹这个角的两边对应相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”）。垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线。线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。有两个角和这两个角的夹边对应相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或“ASA”）。有两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“AAS”）。角平分线上的一点到角两边的距离相等。1.6作三角形在几何作图中，我们把用没有刻度的直尺和圆规作图，简称尺规作图。第二章图形的变换2.1轴对称图形如果把一个图形沿着一条直线折起来，直线两侧的部分能够重合那么这个图形叫做轴对称图形。这条直线叫做对称轴。轴对称图形的性质：对称轴垂直平分两个对称点之间的线段。2.2轴对称变换由一个图形变为另一个图形，并使这两个图形关于某一条直线成轴对称，这样的图形改变叫做图形的轴对称变换，也叫反射变换，简称反射。经变换所得的新图形叫做原图形的像。轴对称变换的性质：轴对称变换不改变原图形的形状和大小。2.3平移变换由一个图形改变为另一个图形，在改变的过程中，原图形上所有的点都沿一个方向运动，且运动相等的距离，这样的图形改变叫做图形的平移变换，简称平移。平移变换的性质：平移变换不改变图形的形状、大小和方向。连结对应点的线段平行（或在同一直线上）而且相等。2.4旋转变换由一个图形改变为另一个图形，在改变的过程中，原图形上所有的点都绕一个固定的点，按同一个方向，转同一个角度，这样的图形改变叫做图形的旋转变换，简称旋转。这个固定的点叫做旋转中心。旋转变换的性质：旋转变换不改变图形的形状和大小。对应点到旋转中心的距离相等。对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度。2.5相似变换由一个图形改变为另一个图形，在改变的过程中保持形状不变（大小可以改变），这样的图形改变叫做图形的相似变换。图形的放大和缩小都是相似变换，原图形和经过相似变换后的像，我们称它们为相似图形。相似变换的性质：图形的相似变换不改变图形中每一个角的大小;图形中的每条线段都扩大（或缩小）相同的倍数。2.6图形变换的简单应用利用图形变换可以将基本图形巧妙地组合起来，就能形成美丽的图案。图形变换的思想还可以用来帮助进行有关图形的计算。第三章事件的可能性3.1认识事件的可能性在数学中，我们把在一定条件下必然会发生的事件叫做必然事件；在一定条件下必然不会发生的时间叫做不可能事件；在一定条件下可能发生，也可能不发生的事件叫做不确定事件或随机事件。列表或画树状图是人们用来确定事件发生的所有不同可能结果的常用方法。它可以帮助我们分析问题，而且可以避免重复和遗漏，既直观又条理分明。3.2可能性的大小事件发生的可能性大小往往是由事件发生的条件来决定的。3.3可能性和概率在数学中，我们把事件发生的可能性大小也称为事件发生的概率。一般用P表示。事件A发生的概率也记为P(A)。P(A)=事件A发生的可能结果总数所有事件可能发生的结果总数一般地，必然事件发生的可能性大小为100，即P（必然事件）=1；不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）=0。而不确定事件发生的概率介于0与1之间，即0P（不确定事件）1。第四章二元一次方程组4.1二元一次方程含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次的方程叫做二元一次方程。使二元一次方程两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解。4.2二元一次方程组由两个二元一次方程组成，并且含有两个未知数的方程组，叫做二元一次方程组。同时满足二元一次方程组中各个方程的解，叫做这个二元一次方程组的解。4.3解二元一次方程组消元就是把二元一次方程组化为一元一次方程。消元的方法是代入，这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法。用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤是：1.将方程组中的一个方程变形，使得一个未知数能用含有另一个未知数的代数式表示；2用这个代数式代替另一个方程中相应的未知数，得到一个一元一次方程，求出一个未知数的值；3.把这个未知数的值代入代数式，求另一个未知数的值；4写出方程组的解。对于二元一次方程组，当两个方程组的同一个未知数的系数相同或是互为相反数时，可以通过把两个方程的两边进行相加或相减来消元，转化为一元一次方程求解。通过将两个方程的两边进行相加或相减，消去其中一个未知数转化为一元一次方程。这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法。用加减法解二元一次方程组的一般步骤是：1.将其中一个未知数的系数转化为相同（或互为相反数）；2.通过相加（或相减）消去这个未知数，得到一个一元一次方程；3.解这个一元一次方程，得到这个未知数的值；3.将求得得未知数的值代入原方程组中的任一个方程，求得另一个未知数的值；4写出方程组的解。4.4二元一次方程组的应用当问题中所求的未知数有两个时，用两个字母来表示未知数往往比较容易列出方程。一般地，应用二元一次方程组解决实际问题的基本步骤为：理解问题（审题，搞清已知和未知，分析数量关系）制定计划（考虑如何根据等量关系设元，列出方程组）执行计划（列出方程组并求解，得到答案）回顾（检查和反思解题过程，检验答案的正确性以及是否符合题意）第五章整式的乘除5.1同底数幂的乘法同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，指数相加。幂的乘法法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。积的乘法法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。5.2单项式的乘法单项式与单项式相乘的法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。单项式与多项式相乘的法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。5.3多项式的乘法多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。5.4乘法公式平方差公式：即两数和与这两数差的积等于这两数的平方差。两数和的完全平方公式：即两数和的平方，等于这两个数的平方和，加上这两数积的2倍。两数差的完全平方公式：即两数差的平方，等于这两个数的平方差，减去这两数积的2倍。上述两个公式统称完全平方公式。5.5整式的化简整式的化简应遵循先乘方、再乘除、最后算加减的顺序。能运用乘法公式的则运用乘法公式。5.6同底数幂的除法同底数幂相除的法则是：同底数幂相除，底数不变，指数相减。任何不等于零的数的零次幂都等于1.任何不等于零的数的-P（P是正整数）次幂，等于这个数的P次幂的倒数。正整数指数幂的各种运算法则对整数指数幂都适用。5.7整式的除法单项式除以单项式的法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式笠含有的字母，连同它的指数作为商的一个因式。多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。第六章因式分解6.1因式分解一般地，把一个多项式化为几个整式的积得形式，叫做因式分解，有时我们也把这一过程叫分解因式。因式分解和整式乘法具有互逆的关系。6.2提取公因式法一般地，一个多项式中每一项都含有相同的因式，叫做这个多项式各项的公因式。如果一个多项式的各项含有公因式，那么可把该公因式提取出来进行因式分解。这种分解因式的方法叫做提取公因式法。应提取的多项式各项的公因式应是各项系数的最大公因数（当系数是整数时）与各项都含有的相同字母的最低次幂的积。提取公因式法的一般步骤是：1.确定应提取的公因式；2.用公因式去除这个多项式，所得的商作为另一个因式；3.把多项式写成这两个因式的积得形式。一般地，提取公因式后，应使多项式余下的各项不再含有公因式。一般地，添括号的法则如下:括号前面是“+”，括到括号里得各项都不变号；括号前面是“-”号，括到括号里的各项都变号。6.3用乘法公式分解因式两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。两数的平方和，加上（或者减去）这两数的积的2倍，等于这两数和（或者差）的平方。6.4因式分解的简单应用第七章分式7.1分式表示两个数相除，且除式中含有字母，像这样的代数式就叫做分式。分式中字母的取值不能使分母为零。当分母的值为零时，分式就没有意义。分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变。分式的基本性质是进行分式化简的运算和依据。把分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。7.2分式的乘除分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积做积的分母；分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。7.3分式的加减一般地，同分母分式的加减有以下法则：同分母的分式相加减，分母不变。把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分。进过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减。通分时一般取各分母的系数的最小公倍数与各分母所有字母的最高次幂的积为公分母。7.4分式方程只含分式，或分式和整式，并且分母里含有未知数的方程叫做分式方程。当分式方程含有若干个分式时，通常可用各个分式的公分母同乘方程两边进行去分母。必须注意的是，解分式方程一定要验根，把求得的根代入原方程，或者代入原方程两边所乘的公分母，看分母的值是否为零。使分母为零的根叫做增根。增根应该舍去。列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题，在方法、步骤上基本一致，但解分式方程时必须验根。利用分式方程还可以把已知公式变形。