高中数学-直线平面平行的性质及判定.docx

一、空间几何体的表面积1棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和2 圆柱的表面积 3 圆锥的表面积4 圆台的表面积 5 球的表面积二、空间几何体的体积1柱体的体积 2锥体的体积 3台体的体积 4球体的体积 三、直线、平面平行的判定与性质1、直线与平面平行的判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行，用符号表示为a，b，且aba。(1)运用直线与平面平行的判定定理时，必须具备三个条件：平面外一条直线；平面内一条直线；两条直线相互平行(2)直线与平面平行的判定定理的关键是证明两直线平行，证两直线平行是平面几何的问题，所以该判定定理体现了空间问题平面化的思想(3)判定直线与平面平行有以下方法：一是判定定理；二是线面平行定义；三是面面平行的性质定理.【例1】如右图所示，已知P、Q是单位正方体ABCDA1B1C1D1的面A1B1BA和面ABCD的中心求证：PQ平面BCC1B1.证：如右图，取B1B中点E，BC中点F，连结PE、QF、EF，A1B1B中，P、E分别是A1B和B1B的中点，PE A1B1.同理QF AB.又A1B1AB，PEQF.四边形PEFQ是平行四边形PQEF.又PQ平面BCC1B1，EF平面BCC1B1，PQ平面BCC1B1.2、平面与平面平行的判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面相交直线，则这两个平面平行用符号表示为：a，b，abP，a，b(1)运用判定定理证明平面与平面平行时，两直线是相交直线这一条件是关键，缺少这一条件则定理不一定成立(2)证明面与面平行常转化为证明线面平行，而证线面平行又转化为证线线平行，逐步由空间转化到平面(3)证明平面与平面平行的方法有：判定定理、线面垂直的性质定理、定义(4)平面与平面的平行也具有传递性.【例2】如右图所示，正三棱柱ABCA1B1C1各棱长为4，E、F、G、H分别是AB、AC、A1C1、A1B1的中点，求证：平面A1EF平面BCGH.思晨分析：本题证面面平行，可证明平面A1EF内的两条相交直线分别与平面BCGH平行，然后根据面面平行的判定定理即可证明证明：ABC中，E、F分别为AB、AC的中点，EFBC.又EF 平面BCGH，BC平面BCGH，EF平面BCGH.又G、F分别为A1C1，AC的中点，A1GFC.四边形A1FCG为平行四边形A1FGC.又A1F平面BCGH，CG平面BCGH，A1F平面BCGH.又A1FEFF，平面A1EF平面BCGH.3、直线与平面平行的性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。用图形表示为：用符号表示为：a，a，b ab.(1)线面平行的性质定理是证线线平行的一个途径(2)证线线平行的途径还有：三角形的中位线、梯形的中位线、线面垂直的性质定理、平面内平行线的判定定理、平行公理、平面与平面平行的性质定理等. 【例3】如右图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别为AB、PC的中点，平面PAD平面PBCl.(1)判断BC与l的位置关系，并证明你的结论(2)判断MN与平面PAD的位置关系并证明你的结论解：（1）BCl.证明：四边形ABCD为平行四边形，BCAD.又BC平面PAD，AD平面PAD，BC平面PAD.又BC平面PBC，平面PBC平面PADl.BCl.(2)MN平面PAD.证明：取CD的中点E，连结ME、NE.M、N分别为AB、PC的中点，MEAD，NEPD.又ME平面PAD，NE平面PAD，ME平面PAD，NE平面PAD，又MENEE，平面MNE平面PAD.而MN平面MNE.MN平面PAD.4平面与平面平行的性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行用图形表示为：用符号表示为：，a，bab【例4】如下图，已知平面平面平面，且位于与之间，点A、D，C、F，ACB，DFE.(1)求证：ABBCDEEF；(2)设AF交于M，AD与CF不平行，与间的距离为h，与之间的距离为h，当hh的值是多少时，SBEM的面积最大？有关平行的经验总结：(1)经过平面外一点有且只有一个平面和已知平面平行(2)两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面(3)已知平面外的两条平行线中的一条平行于这个平面，则另一条也平行于这个平面(4)如果一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么它与另一个也相交(5)一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么这条直线必垂直于另一个平面(6)平行于同一个平面的两个平面平行(7)平行于同一条直线的两条直线平行由两个平面平行来推证两条直线平行，则这两条直线必须是这两个平行平面与第三个平面的交线. 实战演练1、直线a，则()A平面内有且只有一条直线与直线a平行B平面内有无数条直线与直线a平行C平面内不存在与直线a垂直的直线D平面内有且只有一条直线与直线a垂直解析：如右图，在正方体中，直线BC平面AC，但是平面AC内的直线BC和AD均平行于直线BC，所以A错；直线ABBC，直线CDBC，即平面AC内有两条直线垂直于BC，所以C和D错，应选B.2、已知直线a，b，c及平面，下列条件中，能使ab成立的是()Aa，b Ba，bCac，bc Da，b解析：a，b，则ab或a，b异面，A错；a，b，则ab或a，b异面或a，b相交，B错；a，b，则ab或a，b异面，D错；事实上，ac，bc，则ab，这是公理4，所以C正确3、设l，m，n是三条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列命题：若ln且mn，则lm；若l且m，则lm；若n且n，则；若且，则；其中正确命题的序号是_(把正确命题的序号都填上)解析：根据平行的传递性，显然正确；如右图所示，长方体ABCDABCD中，直线AD平面AC，直线AB平面AC，但是直线AD与直线AB相交，所以错；直线AB平面AC，直线AB平面CD，但是平面AC平面CD于直线CD，所以错答案：4、如右图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，M、N分别是BC和A1B1的中点求证：MN平面AA1C1.证明：设A1C1中点为F，连接NF，FC，N为A1B1中点，NFB1C1，且NF B1C1，又由棱柱性质知B1C1 BC，又M是BC的中点，NF MC，四边形NFCM为平行四边形MNCF，又CF平面AA1C1，MN 平面AA1C1，MN平面AA1C1.四、直线与平面垂直的判定与性质1直线与平面垂直2平面与平面垂直3直线与平面所成的角4二面角的有关概念证明线面垂直的方法： 一是线面垂直的判定定理； 二是利用面面垂直的性质定理； 三是平行线法(若两条平行线中一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面) 注：线线垂直线面垂直1 线面所成的角：是平面的一条斜线，是在平面内的射影，则锐角叫做这条直线和这个平面所成的角2 三垂线定理及其逆定理： 跟斜线垂直的直线必定与斜线的射影垂直 跟斜线射影垂直的直线必定与此斜线垂直：性质定理：垂直于同一平面的两条直线平行。注：线面垂直线线平行【例1】如图，在四棱锥P-ABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点证明：(1)CDAE；(2)PD平面ABE.实战演练1、若平面外一条直线与内两条直线都垂直，则与的位置关系为（ ）与相交 D。无法确定2、“直线与平面内无数条直线垂直”是“直线与平面垂直”的（ ）A充分不必要条件 B。必要不充分条件C充分必要条件 D。不充分也不必要条件3、判断下列命题是否正确（1） 垂直于同一条直线的两个平面互相平行；（2） 垂直于同一平面的两条直线相互平行；（3） 一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线相互垂直。（4） 已知直线和平面，且，则4、对于任意直线与平面，在平面内必有直线，使与（ ）A. 平行 B。垂直 C。相交 D。互为异面直线5.正方体中，求证：（1）平面，（2）平面6.已知，求证7如图，已知PA平面ABC，ACBC，O、D分别为AB、AC的中点，求证：OD平面PAC。 8如图，已知PA矩形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点，求证：MNCD。 9在正方体中，证明10.在斜边为的中，过点作平面于，于，（1）求证：平面；（2）求证：平面。