2012年高考数学平面向量.doc

2012 年高考数学二轮专题详解 重难点十 平面向量 考试大纲解读 1 理解平面向量的概念与几何表示 两个向量相等的含义 掌握向量加减与数乘运算及 其意义 理解两个向量共线的含义 了解向量线性运算的性质及其几何意义 2 了解平面向量的基本定理及其意义 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示 会用坐 标表示平面向量的加法 减法与数乘运算 理解用坐标表示的平面向量共线的条件 3 理解平面向量数量积的含义及其物理意义 了解平面向量数量积与向量投影的关系 掌 握数量积的坐标表达式 会进行平面向量数量积的运算 能运用数量积表示两个向量的夹角 会用数量积判断两个平面向量的垂直关系 考点导航 高考对平面向量的考点分为以下两类 1 考查平面向量的概念 性质和运算 向量概念所含内容较多 如单位向量 共线向量 方向向量等基本概念和向量的加 减 数乘 数量积等运算 高考中或直接考查或用以解决 有关长度 垂直 夹角 判断多边形的形状等 此类题一般以选择题形式出现 难度不大 2 考查平面向量的综合应用 平面向量常与平面几何 解析几何 三角等内容交叉渗透 使数学问题的情境新颖别致 自然流畅 此类题一般以解答题形式出现 综合性较强 知识要点梳理 1 向量的加法与减法 掌握平行四边形法则 三角形法则 多边形法则 加法的运算律 2 实数与向量的乘积及是一个向量 熟练其含义 3 两个向量共线的条件 平面向量基本定理 向量共线的坐标表示 4 两个向量夹角的范围是 0 5 向量的数量积 熟练定义 性质及运算律 向量的模 两个向量垂直的充要条件 考点在线 考点一 向量概念及运算 例 1 2011 年高考山东卷理科 12 设 是平面直角坐标系中两两不同的四点 1A234 若 R R 且 则称 调和分割1312A 1412A 12 3A4 已知点 C c o D d O c d R 调和分割点 A 0 0 B 1 0 则下面说法12 正确的是 A C 可能是线段 AB 的中点 B D 可能是线段 AB 的中点 C C D 可能同时在线段 AB 上 D C D 不可能同时在线段 AB 的延长线上 答案 D 考点二 平面向量的数量积 例 2 2011 年高考海南卷文科 13 已知 与 为两个不共线的单位向量 k 为实数 若向量a b 与向量 垂直 则 ab kab k 答案 1 解析 由题意知 即 所以 因为 0ab 1 0kab 1 kabk 与 不共线 所以 即 k 1 a b1k 名师点睛 本题考查两个向量垂直的充要条件 向量的数量积 备考提示 熟练向量的基础知识是解答好本题的关键 练习 2 2011 年高考安徽卷文科 14 已知向量 a b 满足 a 2b a b 6 且 a 则 a 与 b 的夹角为 2b 答案 3 解析 则 即 6 226ab 2216ab 所以 所以 1ab 1cos ab 3 考点三 向量与三角函数等知识的综合 例 3 2009 年高考江苏卷第 15 题 设向量 4cos in si 4co s 4in ab 1 若 与 垂直 求 的值 2b ta 2 求 的最大值 3 若 求证 tan16 b 解析 名师点睛 本小题主要考查向量的基本概念 同时考查同角三角函数的基本关系式 二倍 角的正弦 两角和的正弦与余弦公式 考查运算和证明得基本能力 备考提示 熟练向量的基础知识是解答好本题的关键 练习 3 2009 年高考广东卷 A 文科第 16 题 已知向量 与 互相垂直 其中 2 sin a cos 1 b 2 0 1 求 和 的值 2 若 求 的值co cos535 cos 解析 即ab vQsin2cos0 gin2cos 又 即 2sinco1 4c1 54i 又 25 0 si os 2 5co cin 5cos2in 35cos 即sin 222s1s 1 又 w 0 co 易错专区 1 2011 年高考全国卷文科 3 设向量 满足 1 则 ab ab 1 2 ab A B C D 2357 答案 B 解析 22 4abab 224ab 故选 B14 3 2 2011 年高考辽宁卷文科 3 已知向量 a 2 1 b 1 k a 2 a b 0 则 k A 12 B 6 C 6 D 12 答案 D 解析 由题意 得 2a b 5 2 k a 2a b 2 5 2 k 0 所以 k 12 3 2011 年高考四川卷文科 7 如图 正六边形 ABCDEF 中 BACEF A 0 B C D BE ADCF 答案 D 解析 EDEFC 4 2010 年高考全国 卷文科 11 已知圆 的半径为 1 PA PB 为该圆的两条切线 A BO 为两切点 那么 的最小值为 PAB A B C D 2 32 42 32 答案 D 解析 如图所示 设 PA PB APO 则 APB PO x 0 221x 21sinx 令 则 cosPABP 22 1sin x 2 1 x 42xPABy 即 由 是实数 所以 421xy 42 0 xy 2 解得 或 故2 1 4 0yy 2610y 32y 32y 此时 min3PAB x 5 2010 年高考全国卷 文科 10 ABC 中 点 D 在边 AB 上 CD 平分 ACB 若 a CB b 1 2 则 C abC A a b B a b C a b D a b32231354453 答案 B 解析 CD 为角平分线 12BDA ABCab 23ADBab 133Cbab 6 2010 年高考四川卷文科 6 设点 是线段 的中点 点 在直线 外 MBC 则 21C AB A A 8 B 4 C 2 D 1 答案 C 解析 由 16 得 BC 4 42 ABACB 而 故 2 ABM 7 2011 年高考江西卷文科 11 已知两个单位向量 的夹角为 若向量 1e23 12be 则 21234be12b 答案 6 解析 要求 只需将题目已知条件带入 得 2 3 4 2e 12 1b21e21 其中 1 1 1 带入 2183 ee21 21e 60cos1 2 原式 3 1 2 8 1 6 8 2011 年高考福建卷文科 13 若向量 a 1 1 b 1 2 则 a b 等于 答案 1 解析 因为向量 a 1 1 b 1 2 所以 a b 等于 1 9 2011 年高考湖南卷文科 13 设向量 ab 满足 25 1 b 且 ab 与 的方向相反 则 a 的坐标为 答案 4 2 解析 由题 15b 所以 2 4 ab 10 2011 年高考浙江卷文科 15 若平面向量 满足 且以向量 1 为邻边的平行四边形的面积为 则 和 的夹角 取值范围是 2 答案 5 6 0 解得ab 1212 eke 2211 ke 2 1 cos3k 54k 高考冲策演练 一 选择题 1 2010 年高考山东卷文科 12 定义平面向量之间的一种运算 如下 对任意的A 令 下面说法错误的是 amn bpqabmqnp A A 若 a 与 b 共线 则 0ab A B A C 对任意的 有R ab A D 222 ab 答案 B 解析 若 与 共线 则有 故 A 正确 因为 而 ab mq np0 Abapn qm A 所以有 故选项 B 错误 故选 B ab mq np A 2 2010 年高考天津卷文科 9 如图 在 ABC 中 则 DB 3C D 1A CAD A B C D 233233 答案 D 解析 C cosADA cosAC sinBAC 故选 D sinB 3 sinB3 3 2010 年高考福建卷文科 8 若向量 则 是 的 x aR x4 5a A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充要条件 D 既不充分又不必要条件 答案 A 解析 由 得 所以 反之 由 可得 x4 a 3 5a 5a x4 4 2010 年高考福建卷文科 11 若点 O 和点 F 分别为椭圆 的中心和左焦点 点 213y P 为椭圆上的任意一点 则 的最大值为 OPF A A 2 B 3 C 6 D 8 答案 C 解析 由题意 F 1 0 设点 P 则有 解得 0 xy20143xy 22003 1 4xy 因为 所以0 1 Pxy 0 O 200 OF 此二次函数对应的抛物线的对称轴为0O 23 4x 03 因为 所以当 时 取得最大值 选 C 02x 0 0 PF 2364 5 2010 年高考北京卷理科 6 a b 为非零向量 是 函数ab 为一次函数 的 fxabx A A 充分而不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 答案 B 解析 若 则有 不一定是一次函数 当ab 2 fxabxab A 时不是一次函数 反之 成立 故选 B 6 2010 年高考安徽卷文科 3 设向量 1 0 2 则下列结论中正确的是 A ab B 2ab A C D 与 垂直 答案 D 解析 所以 与 垂直 1 2 ab 0ab A ab 7 2010 年高考辽宁卷文科 8 平面上 三点不共线 设 则 OB OAaBb 的面积等于 OAB A B 22ab 22 ab C D 221 ab 221 ab 答案 C 解析 22111 sin cos 22 OAB abSababab 21 8 2010 年高考宁夏卷文科 2 a b 为平面向量 已知 a 4 3 2a b 3 18 则 a b 夹角的余弦值等于 A B C D 865865 165165 答案 C 解析 由已知得 所以 3 18 2 8 12 ba cos ab 4 5 65 9 2010 年高考广东卷文科 5 若向量 1 1 2 5 3 x 满足条件 8 a b c a 解析 所以 6 60abm A 11 2010 年高考湖北卷文科 8 已知 和点 M 满足 若存在实ABC 0ABC 使得 成立 则 MC A 2 B 3 C 4 D 5 答案 B 解析 由 知 点 M 为 的重心 设点 D 为底边 BC 的中点 则0MABC urrABCV 所以有 故 3 选2 D3 1 u1 3 ru3AM rurm B 12 2010 年高考湖南卷文科 6 若非零向量 a b 满足 则 a 与 b 的 2 0ba 夹角为 A 300 B 600 C 1200 D 1500 答案 C 二 填空题 13 2010 年高考江西卷文科 13 已知向量 满足 与 的夹角为 60 则 在a b2 ab b 上的投影是 a 答案 1 解析 01 cos62b 14 2010 年高考浙江卷文科 13 已知平面向量 则 1 2 的值是 2a 答案 10 16 2010 年高考陕西卷理科 11 已知向量 若 2 1 12 cmba ba 则 c m 答案 1 解析 由 得 2 1 1 cba ba c 021 m 三 解答题 17 2010 年高考江苏卷试题 15 在平面直角坐标系 xOy 中 点 A 1 2 B 2 3 C 2 1 1 求以线段 AB AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长 2 设实数 t 满足 0 求 t 的值 OCtAB 解析 1 方法一 由题设知 则 3 5 1 AC 2 6 4 所以 故所求的两条对角线的长分别为 0 2ABCAB 4210 方法二 设该平行四边形的第四个顶点为 D 两条对角线的交点为 E 则 E 为 B C 的中点 E 0 1 又 E 0 1 为 A D 的中点 所以 D 1 4 故所求的两条对角线的长分别为 BC AD 4210 2 由题设知 2 1 OC 3 5 ABtOCt 由 0 得 tAB 3 5 从而 所以 51 1t 或者 2 OCt 3 5 AB 215 OCt 18 2010 年高考福建卷文科 18 设平顶向量 m 1 2 n 其中 m n anb 1 2 3 4 I 请列出有序数组 m n 的所有可能结果 II 记 使得 成立的 m n 为事件 A 求事件 A 发生的概率 a b 19 2009 年高考湖北卷理科第 17 题 本小题满分 12 分 注意 在试题卷上作答无效 已知向量 cos in cos in 1 0 aabc 求向量 的长度的最大值 设 且 求 的值 4 s 解析 1 解法 1 则cos1 in b 22 cos in b 即 w w w c o m 21cos 0 4 bc0 2 bc 解法 2 若 则 又由 得4 2 a cos in b 1 0 c 22 cos1 in iabc 即 0ab cos1 0 平方后化简得 w sin1cos 解得 或 经检验 即为所求01 cscs或 20 山东省烟台市 2011 年 1 月 十一五 课题调研卷理科 如图 平面上定点 F 到定直线 l 的距离 FM 2 P 为该平面上的动点 过 P 作直线 l 的 垂线 垂足为 Q 且 0 PQ 1 试建立适当的平面直角坐标系 求动点 P 的轨迹 C 的方程 2 过点 F 的直线交轨迹 C 于 A B 两点 交直线 于点 N 已知l 为定值 1212 NAB 求 证 解析 1 方法一 如图 以线段 的中点为原点 以线段 所在的直线为 轴FMOFMy 建立直角坐标系 则 2 分 xOy 0 设动点 的坐标为 则动点 的坐标为P Q 1 x 3 分 1Fxy 1 y 由 得 5 分 Q 0F24x 方法二 由 2 分 PPQPF 得 所以 动点 的轨迹 是抛物线 以线段 的中点CM 为原点 以线段 所在的直线为 轴建立直角坐标系 可得轨迹 的方程为 OFMyxOyC 5 分24xy 2 方法一 如图 设直线 的方程为 6 分AB1 ykxAy 2 Bx 则 7 分 1 Nk 联立方程组 消去 得 24 xy 8 分20 xk 2 160k 故 9 分124 由 得 1NAF 2B 10 分12xk xxk 整理得 1122k 12 分1212 kx 1240 xk 来源 高考资源网 高考资源网 方法二 由已知 得 7 分1NAF 2B 12 0 于是 8 分 2B 如图 过 两点分别作准线 的垂线 垂足分别为 l 1AB 则有 10 分 NA 1F 由 得 12 分120