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初 三 数 学一、本讲内容第22章 一元二次方程 22.1 一元二次方程 22.2 一元二次方程的解法二、重点讲解 1. 一元二次方程的概念： （1）注意一元二次方程定义中的三个条件：有一个未知数，含未知数的最高次是2，整式方程，是判断一个方程是否是一元二次方程的依据。（2）强调：要先把一元二次方程化为一般形式ax2bxc0（a0），才能确定a、b、c的值。一元一次方程与一元二次方程的区别和联系 2. 一元二次方程的解法： 熟练地解一元一次方程和一元二次方程是学好其他方程的关键，一元二次方程的解法是本章的重点。 一元二次方程的基本解法有四种： （1）直接开平方法： （2）配方法： （3）公式法： 用配方法推导求根公式，由此产生了第三种解法公式法，它是解一元二次方程的主要方法，是解一元二次方程的通法。 （4）因式分解法： 适用于方程左边易于分解，而右边是零的方程。 我们在解一元二次方程时，要注意根据方程的特点，选择适当的解法，使解题过程简捷些。一般先考虑直接开平方法，再考虑因式分解法，最后考虑公式法。 对于二次项系数含有字母系数的方程，要注意分类讨论。 3. 一元二次方程根的判别式： 一元二次方程ax2bxc0（a0）根的判别式b24ac的意义，在于不解方程可以判别根的情况，还可以根据根的情况确定未知系数的取值范围。 4. 一元二次方程的根与系数的关系： 一元二次方程的两根和与两根积和系数的关系在以下几个方面有着广泛的应用： （1）已知方程的一根，求另一个根和待定系数的值。 （2）不解方程，求某些代数式的值。 （3）已知两个数，求作以这两个数为根的一元二次方程。 （4）已知两数和与积，求这两个数。 （5）二次三项式的因式分解。 运用根与系数的关系，可以大大缩减了复杂的运算量，避免进行无理数的计算。 5. 二次三项式的因式分解： 在实数范围内分解二次三项式ax2bxc（a0），可先用求根公式求出方程ax2bxc0的两个根x1、x2，然后写成ax2bxca（xx1）（xx2）。当a1时，分解时注意不要忘了a。 6. 可化为一元二次方程的分式方程的解法： 解分式方程的常用方法是去分母，换元法转化为整式方程求解。 解分式方程时，一定要注意验根，验根后要写结论。 三、典型例题 例1. 判断下列方程是不是一元二次方程？ 分析： （3）、（5）是一元二次方程。 （1）中x的最高次是3次，（2）是分式方程，（4）中二次项系数a不能确定是否为零，所以不一定是一元二次方程，（6）有两个未知数x、y，（7）式去括号移项合并同类项后是一元一次方程。 例2. 解下列方程： 解： 也可以利用公式法解。 例3. 求出这时方程的根。 解： 注意：题目中的隐含条件是二次项的系数m0。 例4. 解： （6）由根的定义代进去，构成关于根的方程再降次。 例5. 解：应选C。 设x0是两个方程的公共根 例6. （1）求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根。 （2）若等腰三角形的一边长为1，另两边长恰是这个方程的两个根，求三角形的周长。 解： 无论k取任何实数值，方程总有实数根 （2）等腰三角形的一边长为1 要分类讨论 则底边为2 三边为1，1，2，不符合三角形两边之和大于第三边，舍去。 当底边为1时，则两个腰为方程的两个根，即方程有两个相等的根 三边为2，2，1，符合三角形三边关系定理。 三角形的周长为5 例7. 解： 即方程的两个根x、y都为3 例8. 解： 例9. 如果、均为奇数，试说明方程没有有理根（方程的根为有理数）。分析：根据一元二次方程的求根公式可得的根应为，因而只需说明不是一个完全平方数即可。解：因为、均为奇数，奇数偶数=奇数。假设（为整数）。由于必为偶数，所以（为整数）。又设，则。不可能是偶数，不可能等于。不可能是完全平方数。即、为奇数时，方程不可能有有理根。例10.当为何值时，关于的方程有两个不相等的实数根；有两个相等的实数根；没有实数根。分析：正确找、，计算出该方程的根的判别式，根据课本阅读材料的有关知识，列出关于的等式或不等式，求得的值或范围。解：原方程化为：。方程有两个不相等的实数根，。即，当时，方程有两个不相等的实数根。 方程有两个相等的实数根，。即，。当时，方程有两个相等的实数根。 方程没有实数根，。即，。当时，方程没有实数根。巩固练习一. 选择题 1. 下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程中有两个相等的实数根的方程是（ ） A. B. C. D. 3. 若二次三项式在实数范围内能分解因式，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 方程的根是（ ） A. B. C. D. 5. 将下列方程：；化为一元二次方程的一般形式后，常数项为零的方程是（ ） A. B. C. D. 6. 解下列一元二次方程，利用配方变形正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 若等腰三角形的两边长分别是方程的两根，则它的周长是（ ） A. 16B. 11C. 9D. 16或11 8. 不解方程，判断方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 无实根 9. 已知一元二次方程满足，则方程两根之比为（ ） A. 1：1B. -1：1C. 1：2D. 1：4 10. 已知关于x的方程的一个根是，则k的值及另一个根是（ ） A. B. C. D. 11. 关于x的方程有一个正根，一个负根，则p的值是（ ） A. 0B. 大于0C. 大于-8D. -4 12. 已知是方程的两实数根，那么值为（ ） A. 5B. -5C. D. 13. 以3，-4为根的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 14. 若是方程的两个实根，则（ ） A. 21B. 17C. D. 15. 已知关于x的方程的两根的平方和是8，则k的值是（ ） A. 1B. C. D. 16. 若方程有增根，则a的值为（ ） A. 0B. -1C. 0或-1D. 3二. 填空题 17. 在实数范围内分解因式：_ 18. 若关于x的方程的两根互为相反数，则m_。 19. 已知方程，求作一个新的一元二次方程，使它的根分别是已知方程两根的倒数，则此新方程为_。 20. 方程的解是_。 21. 已知关于x的方程，当m_时，方程有两个实数根。三. 解方程 22. 23. 四. 解答题 24. 当m取何值时，关于x的方程有实数根？ 25. 已知的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程的两实数根，第三边BC5。 （1）问：当k为何值时，是以BC为斜边的直角三角形。（2）当k为何值时，是等腰三角形，并求的周长。26.下面是明明同学的作业中，对“已知关于的方程，判别这个方程的根的情况”一题的解答过程，请你判断其是否正确，若有错误，请你写出正确答案。解。，。原方程有两个不相等的实数根。27.阅读理解题：阅读下列材料，关于的方程：的解是，； 的解是，；的解是，；的解是，；观察上述方程与解的特征，比较关于的方程与它们的关系，猜想它的解是什么，并利用“方程的解”的概念进行验证；由上述的观察、比较、猜想、验证，可以得出结论。如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数的和，方程右边的形式与左边完全相同，只是把其中的未知数换成了某个常数，那么这样的方程可以直接得解。请用这个结论解关于的方程：。参考答案一. 选择题。 1. D2.C3. C4. B5. B6. C7. A8. D 9. A10. A11. B12. C13. A14. D15. B16. D二. 填空题。 17. 18. （5舍） 19. 20. （舍） 21. 且三. 解方程或方程组。 22. 解： 23. 解：去分母，得： 经检验：是原方程的根，是增根。 四. 解答题。 24. 解：当时，方程化为，方程有实数根 当时， 且 综上所述：时方程有实数根。 25. 解法一： （1）AB、AC是一元二次方程的两实数根 则有 （2）当ABAC时， 两边平方，得： 此时无解 当BCAC5为腰时， 或 当时，AB4，三边为5，5，4能构成等腰三角形，周长为14； 当时，三边为5，5，6能构成等腰三角形，周长为16。 解法二： （1）方程分解因式，得： （2）当ABAC时，无解。 当时，周长为16； 当时，周长为14。 26. 解：有错误，因为，所以方程无实数根。27. 解：，验证当时，左边右边，是原方程的解。当时，左边右边，是原方程的解。原方程可化为，由以上结论可知：，或。，。