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习题三1. 箱子里装有12只开关，其中只有2 只次品，从箱中随机地取两次，每次取一只，且设随机变量X，Y为 试就放回抽样与不放回抽样两种情况，写出X与Y的联合分布律.解：先考虑放回抽样的情况：则此种情况下，X与Y的联合分布律为 XY 0 1 01 再考虑不放回抽样的情况 XY 0 1 01 2. 将一硬币连掷三次，以X表示在三次中出现正面的次数，以Y表示在三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值，试写出（X,Y）的联合分布律及边缘分布律.解：由已知可得：X的取值可能为0，1，2，3；Y的取值可能为1，3；则由硬币出现正面和反面的概率各为，可知 XY 0 1 2 3 03 0 0 0 1 3. 把三个球随机地投入三个盒子中去，每个球投入各个盒子的可能性是相同的，设随机变量X与Y分别表示投入第一个及第二个盒子中的球的个数，求二维随机变量(X,Y)的概率分布及边缘分布.解：由已知可得：X的取值可能为0，1，2，3；Y的取值可能为0，1，2，3；则， ，则二维随机变量（X,Y）的概率分布及边缘分布为 XY 0 1 2 3 0123 0 0 0 0 0 0 1 4. 设(X,Y)的概率密度为 求：（1） P(x,y)D, 其中D=(x,y)|x1,y3;（2） P(x,y)D, 其中D=(x,y)|x+y3.解：（1） D=(x,y)|x1,y3（2） D=(x,y)|x+y35. 设(X,Y)的概率密度为 求：（1） 系数c；（2） (X,Y)落在圆内的概率.解：（1） 由，得，可求得（2） 设，则6. 已知随机变量X和Y的联合概率密度为求X和Y的联合分布函数.解：随机变量X和Y的联合概率密度为当x0,或y0时，F(x,y)=0;当时，当时，当时，当时， 综上可得，X和Y的联合分布函数为7. 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 （1） 求常数k；（2） 求 P0x2,1y3;（3） 求X,Y的边缘概率密度；（4） 判断X与Y是否相互独立.解：（1） 由概率密度的性质有 即 ，有 (2) (3) X的边缘概率密度为当0x6时，当x0或x6时，显然有Y的边缘概率密度为当0y6时，当y0或x6时，显然有(4) X与Y不相互独立.8已知随机变量X1和X2的概率分布为 X1-1 0 1 P X20 1 而且PX1X2=0=1. (1) 求X1和X2的联合分布； (2) 问X1和X2是否独立？为什么？解：由,可知必然成立.由得同理可得：，而综上可得，和的联合分布为 X1X2 -1 0 1 01 0 0 1 （2） 可知和不独立.9. 设随机变量X与Y相互独立，且都服从 上的均匀分布，求方程 有实根的概率.解：方程有实根的充要条件是，由于随机变量X与Y相互独立，所以随机变量（X，Y）的联合概率密度为下面分两种情况讨论：（1）当时，如图 记阴影部分为D(2) 当时，如图 记阴影部分为D, 记空白部分为D1综上可得：方程 有实根的概率为 另解：方程有实根的充要条件是 令则当xb2时显然有Z1的概率密度函数为而当当-4bx0,而当z-4b，时，此时即综上可得：方程 有实根的概率为10. 设（X,Y）的概率密度为求边缘概率密度和解：X的边缘概率密度为 ，当x0时，当x0时，Y的边缘概率密度为当x0时，当y0时，而11. 设X,Y相互独立，其概率密度为求Z=X+Y的概率密度.解：由已知得 当z1时，Z=X+Y的概率密度为12. 设随机变量（X,Y）的概率密度为求Z=XY的概率密度.解：Z=XY的分布函数为 Z=XY的概率密度为，Z=XY的概率密度为13. 设随机变量（X,Y）的概率密度为求的概率密度.解：设的分布函数为 当时，当时，的概率密度14. 设二维随机变量（X,Y）在矩形上服从均匀分布，试求边长为X和Y的矩形面积S的概率密度f(s).解：由已知可得随机变量（X,Y）的概率密度为 设边长为X和Y的矩形面积S的分布函数为F(s)，则 矩形面积S的概率密度15设X和Y为两个随机变量，且求解： 同理可求16. 设（X,Y）的联合概率密度为 求：（1） （2）边缘概率密度； (3) 解：（1）由已知，得同理可知而又（2）X的边缘概率密度为由于f(x,y)关于x,y地位的对称性，得17. 设X,Y是相互独立且服从同一分布的两个随机变量，已知X的分布律为又设试写出变量的分布律及边缘分布律并求解：由已知得：则变量的分布律及边缘分布律为： 1 2 3 123 0 0 0 1 而18. 设X关于Y的条件概率密度为 而Y的概率密度为 求解：由已知得：19. 设（X,Y）的概率密度为 求： （1）的概率密度； （2）的概率密度.解：(1) 设的分布函数为,概率密度为，则当时，当时， 当z1时, 的概率密度为 (2) 设的分布函数为的分布函数为,概率密度为，则当时，则当时，则当时，的概率密度为20. 假设一电路装有三个同种电器元件，其工作状态相互独立，且无故障工作时间都服从参数为的指数分布，当三个元件都无故障时，电路正常工作，否则整个电路不能正常工作.试求电路正常工作的时间T的概率分布.解：用表示第i个电气元件无故障工作的时间，则相互独立且同分布，其分布函数为设G(t)是T的分布函数.当t 0时，G(t)=0;当t0时，有电器正常工作的时间T的概率分布服从参数为的指数分布.20
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