全国初中数学联赛初赛试卷(下).doc

2009年全国初中数学联合竞赛试题参考答案 2009年全国初中数学联合竞赛试题参考答案 第一试 一 选择题 本题满分42分 每小题7分 1 设 1a 则 3261a A A 24 B 25 C 470 D 4712 2 在 ABC中 最大角 A是最小角 C 的两倍 且AB 7 AC 8 则BC C A 7 B 10 C 15 D 3 3 用 x表示不大于 x的最大整数 则方程 2 0 x 的解的个数为 C A 1 B 2 C 3 D 4 4 设正方形ABCD的中心为点O 在以五个点A B C D O为顶点所构成的所有三角形中任意取出 两个 它们的面积相等的概率为 B A 314 B 7 C 12 D 47 5 如图 在矩形ABCD中 AB 3 BC 2 以BC为直径在矩形内作半圆 自点A作半圆的切线AE 则 sin CBE D DA B C E A 63 B 2 C 13 D 10 6 设 n是大于1909的正整数 使得 920n 为完全平方数的 n的个数是 B A 3 B 4 C 5 D 6 二 填空题 本题满分28分 每小题7分 1 已知 t是实数 若 ab是关于 x的一元二次方程 210 xt 的两个非负实根 则2 ab 的最小值是 3 2 设 D是 ABC的边AB上的一点 作DE BC交AC于点 E 作DF AC 交BC于点F 已知 ADE DBF的面积分别为 m和 n 则四边形DECF的面积为 2mn 3 如果实数 ab满足条件 21b 2 1aba 则 b 1 4 已知 是正整数 且满足 5 a 是整数 则这样的有序数对 共有 7 对 第二试 A 一 本题满分20分 已知二次函数 2 0 yxbc 的图象与 x轴的交点分别为A B 与 y轴 的交点为C 设 ABC的外接圆的圆心为点P 1 证明 P与 y轴的另一个交点为定点 2 如果AB恰好为 P 的直径且 2ABCS 求 b和 c的值 解 1 易求得点 的坐标为 0 c 设 1 0 x 2 则 12xb 12xc 设 P与 y轴的另一个交点为 D 由于AB CD是 P的两条相交弦 它们的交点为点O 所以 OA OB OC OD 则 12cC 因为 0c 所以点 在 y轴的负半轴上 从而点D在 y轴的正半轴上 所以点D为定点 它的坐标为 0 1 2 因为AB CD 如果AB恰好为 P 的直径 则C D关于点O对称 所以点 C的坐标为 0 1 即 1c 又 222211 4 4ABxxbc 所以2CSOb 解得 3 二 本题满分25分 设CD是直角三角形ABC的斜边AD 上的高 1I 2分别是 ADC BDC的内 心 AC 3 BC 4 求 1I2 解 作 1IE AB于E F AB 于F 在直角三角形ABC中 AC 3 BC 4 2AB C 5 F E I 1 I2D B A C 又CD AB 由射影定理可得 2AC9D B5 故 16D AB5 21CD A5 因为 1IE为直角三角形ACD 的内切圆的半径 所以 1IE 3 C 25 连接D D 2 则D 1I D 2分别是 ADC 和 BDC的平分线 所以 1IDC 1DA DC IDB 45 故 1ID 2 90 所以 1ID 2D 113IE25sinAsin4 同理 可求得 2 4IF5 2 DI 所以 1I2 21DI 三 本题满分25分 已知 abc为正数 满足如下两个条件 3abc 14ab 证明 以 c为三边长可构成一个直角三角形 证法1 将 两式相乘 得 8cabacbb 即 222 8bcaca 即 222 440bccb 即 222 baac 即 0cbcabc 即 0bcacbacb 即 22 0 即 22 acb 即 bcabca 所以 0 或 0 或 0b 即 ac 或 b 或 ca 因此 以 abc为三边长可构成一个直角三角形 证法2 结合 式 由 式可得 323214abcca 变形 得 221104 4ab 又由 式得 2 0c 即 22104 abcabc 代入 式 得 14 即 16 4096ca 3 6 6 1256 abcabcabc 3409250 所以 1或 或 c 结合 式可得 ba 或 b 或 ca 因此 以 c为三边长可构成一个直角三角形 第二试 B 一 本题满分20分 题目和解答与 A 卷第一题相同 二 本题满分25分 已知 ABC中 ACB 90 AB边上的高线CH与 ABC的两条内角平分 线 AM BN 分别交于 P Q两点 PM QN的中点分别为E F 求证 EF AB FQ E P H N M A C B 解 因为BN是 ABC 的平分线 所以 ANCB 又因为CH AB 所以CQNBH9090 因此 又F是QN的中点 所以CF QN 所以 CFBH 因此C F H B四点共圆 又 BH C 所以FC FH 故点F在CH的中垂线上 同理可证 点E在CH的中垂线上 因此EF CH 又 AB CH 所以EF AB 三 本题满分25分 题目和解答与 A 卷第三题相同 第二试 C 一 本题满分20分 题目和解答与 A 卷第一题相同 二 本题满分25分 题目和解答与 B 卷第二题相同 三 本题满分25分 已知 abc为正数 满足如下两个条件 32abc 14cab 是否存在以 为三边长的三角形 如果存在 求出三角形的最大内角 解法1 将 两式相乘 得 8cabacbb 即 222 8bcaca 即 222 440bcacbacb 即 222 cc 即 0baabcabc 即 0cc 即 22 0bab 即 22 bcab 即 cca 所以 0ba 或 0b 或 0b 即 ac或 b 或 ca 因此 以 c为三边长可构成一个直角三角形 它的最大内角为90 解法2 结合 式 由 式可得 323214acbcab 变形 得 221104 4a 又由 式得 2 0bc 即 22104 abcabc 代入 式 得 14 即 16 4096ca 3 6 6 1256 abcabcabc 3409250 所以 1或 或 c 结合 式可得 ba 或 b 或 ca 因此 以 c为三边长可构成一个直角三角形 它的最大内角为90 第一试 一 选择题 本题满分42分 每小题7分 1 设 1a 则 3261a A A 24 B 25 C 470 D 4712 2 在 ABC中 最大角 A是最小角 C 的两倍 且AB 7 AC 8 则BC C A 7 B 10 C 105 D 3 3 用 x表示不大于 x的最大整数 则方程 2 0 x 的解的个数为 C A 1 B 2 C 3 D 4 4 设正方形ABCD的中心为点O 在以五个点A B C D O为顶点所构成的所有三角形中任 意取出两个 它们的面积相等的概率为 B A 314 B 7 C 12 D 47 5 如图 在矩形ABCD中 AB 3 BC 2 以BC为直径在矩形内作半圆 自点A作半圆的切线 AE 则 sin CBE D DA B C E A 63 B 2 C 13 D 10 6 设 n是大于1909的正整数 使得 1902n 为完全平方数的 n的个数是 B A 3 B 4 C 5 D 6 二 填空题 本题满分28分 每小题7分 1 已知 t是实数 若 ab是关于 x的一元二次方程 210 xt 的两个非负实根 则2 ab 的最小值是 3 2 设D 是 ABC的边AB上的一点 作DE BC交AC于点E 作DF AC 交BC于点F 已知 ADE DBF 的面积分别为 m和 n 则四边形DECF的面积为 2mn 3 如果实数 ab满足条件 21b 2 2 1aba 则 b 1 4 已知 ab是正整数 且满足 52 ab 是整数 则这样的有序数对 ab共有 7 对 第二试 A 一 本题满分20分 已知二次函数 2 0 yxc 的图象与 x轴的交点分别为A B 与 y轴的交点为C 设 ABC的外接圆的圆心为点P 1 证明 P与 y轴的另一个交点为定点 2 如果AB恰好为 P 的直径且 2ABCS 求 b和 c的值 解 1 易求得点 的坐标为 0 c 设 1 0 x 2 则 12xb 12xc 设 P与 y轴的另一个交点为D 由于AB CD是 P的两条相交弦 它们的交点为点O 所以 OA OB OC OD 则 12Cc 因为 0c 所以点 在 y轴的负半轴上 从而点D 在 y轴的正半轴上 所以点D 为定点 它的坐 标为 0 1 2 因为AB CD 如果AB恰好为 P的直径 则C D关于点O对称 所以点 C的坐标为 0 1 即 1c 又 222211 4 4ABxxbc 所以2CSOb 解得 3 二 本题满分25分 设CD是直角三角形ABC的斜边AD 上的高 1I 2分别是 ADC BDC的 内心 AC 3 BC 4 求 1I2 解 作 1IE AB于E F AB于F 在直角三角形ABC中 AC 3 BC 4 2AB C 5 F E I 1 I2D B A C 又CD AB 由射影定理可得 2AC9D B5 故 16D AB5 21D A5 因为 1IE为直角三角形ACD的内切圆的半径 所以 1IE 3 C 25 连接D D 2 则D 1I D 2分别是 ADC和 BDC的平分线 所以 1IDC 1IDA DC DB 45 故 1ID 2 90 所以 1ID 2D 113IE25sinAsin4 同理 可求得 2 4IF5 2 DI 所以 1I2 21DI 三 本题满分25分 已知 abc为正数 满足如下两个条件 3abc 14ab 证明 以 bc为三边长可构成一个直角三角形 证法1 将 两式相乘 得 8cabacbb 即 222 8bcaca 即 222 440bcc b 即 222 baac 即 0cbcabc 即 0baca 即 22 0cb 即 22 bcab 即 bacac 所以 0 或 0b 或 0b 即 ac或 b 或 ca 因此 以 ac为三边长可构成一个直角三角形 证法2 结合 式 由 式可得 323214acbcab 变形 得 221104 4abca 又由 式得 2 0 即 22104 bcabc 代入 式 得 14 a 即 16 4096ca 3 6 6 1256 abcbcabc 340925610 所以 16a 或 b或 1c 结合 式可得 或 ab或 ca 因此 以 c为三边长可构成一个直角三角形 第二试 B 一 本题满分20分 题目和解答与 A 卷第一题相同 二 本题满分25分 已知 ABC中 ACB 90 AB边上的高线CH与 ABC的两条内角 平分线 AM BN分别交于P Q 两点 PM QN的中点分别为 E F 求证 EF AB FQ E P H N M A C B 解 因为BN是 ABC 的平分线 所以 ABNC 又因为CH AB 所以QNH9090 因此 又F是QN的中点 所以C F QN 所以 CFBH 因此C F H B四点共圆 又 BH 所以FC FH 故点F在CH的中垂线上 同理可证 点E在CH的中垂线上 因此EF CH 又AB CH 所以EF AB 三 本题满分25分 题目和解答与 A 卷第三题相同 第二试 C 一 本题满分20分 题目和解答与 A 卷第一题相同 二 本题满分25分 题目和解答与 B 卷第二题相同 三 本题满分25分 已知 abc为正数 满足如下两个条件 32abc 14ab 是否存在以 c为三边长的三角形 如果存在 求出三角形的最大内角 解法1 将 两式相乘 得 8acbacbb 即 222 8bcaca 即 222 440bcacbcaab 即 222 cc 即 0baabcabc 即 0cc 即 22 0bab 即 22 bcab 即 cca 所以 0bca 或 0b 或 0cab 即 ac或 b 或 ca 因此 以 为三边长可构成一个直角三角形 它的最大内角为90 解法2 结合 式 由 式可得 323214cbcab 变形 得 221104 4a 又由 式得 2 0bc 即 22104 abcabc 代入 式 得 14 即 16 4096ca 3 6 6 1256 abcabcabc 340925610 所以 1 或 或 c 结合 式可得 ba 或 b 或 ca 因此 以 c为三边长可构成一个直角三角形 它的最大内角为90 1999 年全国初中数学联合竞赛试卷 第一试 4 月 4 日上午 8 30 9 30 考生注意 本试两大题共 10 道小题 每题 7 分 全卷满分 70 分 一 选择题 本题满分 42 分 每小题 7 分 本题共有 6 个小题 每小题都给出了 A B C D 四个结论 其中只有一 个是正确的 请把你认为正确结论的代表字母写在题后的圆括号内 每小题选对得 7 分 不选 选错或选出的代表字母超过一个 不论是否写在圆括号内 一律得 0 分 1 计算 的值是 A 1 B 1 C 2 D 2 2 ABC 的周长是 24 M 是 AB 的中点 MC MA 5 则 ABC 的面积是 A 12 B 16 C 24 D 30 3 设 将一次函数 与 的图象画在同一平面直角坐标系内 则有一组 的取值 使得下列 4 个图中的一个为正确的是 4 若函数 则当自变量 取 1 2 3 100 这 100 个自然数时 函数值的和是 A 540 B 390 C 194 D 97 5 如图 在等腰梯形 ABCD 中 AB DC AB 998 DC 1001 AD 1999 点 P 在线段 AD 上 则满足条件 BPC 90 的点 P 的个数为 A 0 B 1 C 2 D 不小于 3 的整数 6 有下列三个命题 甲 若 是不相等的无理数 则 是无理数 乙 若 是不相等的无理数 则 是无理数 丙 若 是不相等的无理 数 则 是无理数 其中正确命题的个数是 A 0 B 1 C 2 D 3 二 填空题 本题满分 28 分 每小题 7 分 本题共有 4 道小题 要求直接把答案写在横线上 1 已知 且 则 2 如图 在 ABC 中 B 36 ACB 128 CAB 的平分线交 BC 于 M ABC 的 外接圆的切线 AN 交 BC 的延长线于 N 则 ANM 的最小角等于 3 已知 为整数 且满足 则 4 在正方形 ABCD 中 N 是 DC 的中点 M 是 AD 上异于 D 的点 且 NMB MBC 则 tg ABM 第二试 4 月 4 日上午 10 00 11 30 考生注意 本试三大题 第一题 20 分 第二 三题各 25 分 全卷满分 70 分 一 本题满分 20 分 某班参加一次智力竞赛 共 三题 每题或者得满分或者得 0 分 其中题 满 分 20 分 题 题 满分分别为 25 分 竞赛结果 每个学生至少答对了一题 三题全 答对的有 1 人 答对其中两道题的有 15 人 答对题 的人数与答对题 的人数之和为 29 答对题 的人数与答对题 的人数之和为 25 答对题 的人数与答对题 的人数 之和为 20 问这个班的平均成绩是多少分 二 本题满分 25 分 如图 设 ABC 是直角三角形 点 D 在斜边 BC 上 BD 4DC 已知圆过点 C 且与 AC 相交于 F 与 AN 相切于 AB 的中点 G 求证 AD BF 三 本题满分 25 分 已知 为整数 方程 的两根都大于 1 且小于 0 求 和 的值 第一试参考答案 一 选择题 本题满分 42 分 每小题 7 分 本题共有 6 个小题 每小题都给出了 A B C D 四个结论 其中只有一 个是正确的 请把你认为正确结论的代表字母写在题后的圆括号内 每小题选对得 7 分 不选 选错或选出的代表字母超过一个 不论是否写在圆括号内 一律得 0 分 1 计算 的值是 D A 1 B 1 C 2 D 2 解 原式 2 ABC 的周长是 24 M 是 AB 的中点 MC MA 5 则 ABC 的面积是 C A 12 B 16 C 24 D 30 解 MA MB MC 5 ACB 90 已知周长是 24 则 AC BC 14 AC 2 BC 2 10 2 2AC BC AC BC 2 AC 2 BC 2 14 2 10 2 4 24 3 设 将一次函数 与 的图象画在同一平面直角坐标系内 则有一组 的取值 使得下列 4 个图中的一个为正确的是 B 解 由方程组 的解知两直线的交点为 而图 A 中交点横坐标是 负数 故图 A 不对 图 C 中交点横坐标是 2 1 故图 C 不对 图 D 中交点纵坐标是大于 小于 的数 不等于 故图 D 不对 故选 B 4 若函数 则当自变量 取 1 2 3 100 这 100 个自然数时 函数值的和是 B A 540 B 390 C 194 D 97 解 当 时 当自变量 取 2 3 98 时 函数 值都为 0 而当 取 1 99 100 时 故所求 的和为 5 如图 在等腰梯形 ABCD 中 AB DC AB 998 DC 1001 AD 1999 点 P 在线段 AD 上 则满足条件 BPC 90 的点 P 的个数为 C A 0 B 1 C 2 D 不小于 3 的整数 解 AD 的中点 M 对 BC 张成 90 角 又在 AD 上取点 N 使 AN 998 则 ND 1001 由 ABN 和 DCN 都为等腰三角形推知 BNC 90 注意到以 BC 为直径的圆与 AD 至多有两个交 点 可知所求点的个数为 2 6 有下列三个命题 甲 若 是不相等的无理数 则 是无理数 乙 若 是不相等的无理数 则 是无理数 丙 若 是不相等的无理 数 则 是无理数 其中正确命题的个数是 A A 0 B 1 C 2 D 3 解 只要令 则 为有理数 故 甲 不对 又若令 则 为有理数 故 乙 不对 又若令 则 为有理数 故 丙 不对 故正确命题个数是 0 应选 A 二 填空题 本题满分 28 分 每小题 7 分 本题共有 4 道小题 要求直接把答案写在横线上 1 已知 且 则 2 解 即 2 如图 在 ABC 中 B 36 ACB 128 CAB 的平分线交 BC 于 M ABC 的 外接圆的切线 AN 交 BC 的延长线于 N 则 ANM 的最小角等于 44 解 B 36 ACB 128 AM 为 CAB 的平分线 CAM MAB AMC 44 又 AN 为切线 NAC B 36 NAM 44 N 180 44 44 92 ANM 的最小角为 44 3 已知 为整数 且满足 则 3 解 左边 即 而 为整数 且不 相等 只可能取值 或 不妨设 则 或 2 无整数解 由 1 得 4 在正方形 ABCD 中 N 是 DC 的中点 M 是 AD 上异于 D 的点 且 NMB MBC 则 tg ABM 解 延长 MN 交 BC 的延长线于 T 设 MB 的中点为 O 连 TO 则 BAM TOB 即 令 DN 1 CT MD 则 AM BM BT 代入 1 式得 注意到 解得 第二试参考答案 一 本题满分 20 分 某班参加一次智力竞赛 共 三题 每题或者得满分或者得 0 分 其中题 满 分 20 分 题 题 满分分别为 25 分 竞赛结果 每个学生至少答对了一题 三题全 答对的有 1 人 答对其中两道题的有 15 人 答对题 的人数与答对题 的人数之和为 29 答对题 的人数与答对题 的人数之和为 25 答对题 的人数与答对题 的人数 之和为 20 问这个班的平均成绩是多少分 解 设 分别表示答对题 题 题 的人数 则有 答对一题的人数为 37 1 3 2 15 4 全 班人数为 1 4 15 20 平均成绩为 答 班平均成绩为 42 分 二 本题满分 25 分 如图 设 ABC 是直角三角形 点 D 在斜边 BC 上 BD 4DC 已知圆过点 C 且与 AC 相交于 F 与 AN 相切于 AB 的中点 G 求证 AD BF 证 作 DE AC 于 E 则 AC AE AG ED 由切割线定理有 AG 2 AF AC ED2 AF AE 5ED 2 AF AE AB ED AF AE BAF AED ABF EAD 而 EAD DAB 90 ABF DAB 90 AD BF 三 本题满分 25 分 已知 为整数 方程 的两根都大于 1 且小于 0 求 和 的值 解 根据函数 的图象和题设条件知 当 时 当 时 抛物线顶点的横坐标 满足 即 由 得 若 则由 得 且 得 若 则 且 无整数解 若 则 且 无整数解 若 则 且 无整数解 故所求 的值为 2000 年全国初中数学联合竞赛试卷 第一试 4 月 2 日上午 8 30 9 30 一 选择题 本题满分 42 分 每小题 7 分 1 计算 的值是 A 1 B C D 5 2 若 则 的值是 A B C 5 D 6 3 设 是不相等的任意正数 又 则 这两个数一定 A 都不大于 2 B 都不小于 2 C 至少有 1 个大于 2 D 至少有 1 个小于 2 4 正整数 小于 100 并满足等式 其中 表示不超过 的最 大整数 这样的正整数 有 A 2 个 B 3 个 C 12 个 D 16 个 5 已知一个梯形的四条边的长分别为 1 2 3 4 则此梯形的面积等于 A 4 B 6 C D 6 已知 ABCD 是一个半径为 R 的圆的内接四边形 AB 12 CD 6 分别延长 AB 和 DC 它们相交于 P 且 BP 8 APD 60 则 R 等于 A 10 B C D 14 二 填空题 本题满分 28 分 每小题 7 分 1 是正数 并且抛物线 和 都与 轴有公 共点 则 的最小值是 2 某果品店组合销售水果 甲种搭配 2 千克 A 水果 4 千克 B 水果 乙种搭配 3 千克 A 水果 8 千克 B 水果 1 千克 C 水果 丙种搭配 2 千克 A 水果 6 千克 B 水果 l 千克 C 水果 A 水果价格每千克 2 元 B 水果价格每千克 1 2 元 C 水果价格每千克 10 元 某 天该店销售三种搭配共得 441 2 元 其中 A 水果的销售额为 116 元 则 C 水果的销售额为 元 3 实数 满足 和 则 4 设正三角形 ABC 的边长为 2 M 是 AB 边上的中点 P 是边 BC 上的任意一点 PA PM 的 最大值和最小值分别记为 和 则 第二试 4 月 2 日上午 10 30 11 30 一 本题满分 20 分 设 是实数 二次函数 的图象与 轴有两个不同的交点 1 求证 2 若 间的距离不超过 求 的最大值 二 本题满分 25 分 EFGH 是正方形 ABCD 的内接四边形 两条对角线 EG 和 FH 所夹的锐角为 且 BEG 与 CFH 都是锐角 已知 EG FH 四边形 EFGH 的面积为 1 求证 2 试用 表示正方形 ABCD 的面积 三 本题满分 25 分 设关于 的二次方程 的两根都是 整数 求满足条件的所有实数 的值 第一试试题答案 一 1 C 2 A 3 C 4 D 5 D 6 B 二 1 20 2 150 3 4 4 第二试部分试题答案 三 1998 年全国数学联赛试卷 一 选择题 每小题 6 分 共 30 分 1 已知 a b c 都是实数 并且 那么下列式子中正确的是 cba c cba 2 如果方程 的两根之差是 1 那么 p 的值为 012 px 2 4 35 3 在 ABC 中 已知 BD 和 CE 分别是两边上的中线 并且 BD CE BD 4 CE 6 那么 ABC 的 面积等于 12 14 16 18 4 已知 并且 那么直线 一定通过第 象限0 abcpbaccba pxy 一 二 二 三 三 四 一 四 5 如果不等式组 的整数解仅为 1 2 3 那么适合这个不等式组的整数 a b 的有序数对 89x a b 共有 17 个 64 个 72 个 81 个 二 填空题 每小题 6 分 共 30 分 6 在矩形 ABCD 中 已知两邻边 AD 12 AB 5 P 是 AD 边上任意一点 PE BD PF AC E F 分别是垂足 那么 PE PF 7 已知直线 与抛物线 相交于 A B 两点 O 为坐标原点 那么 OAB 的面积等于32 xy2xy 8 已知圆环内直径为 acm 外直径为 bcm 将 50 个这样的圆环一个接一个环套地连成一条锁链 那 么这条锁链拉直后的长度为 cm 9 已知方程 其中 a 是非负整数 至少有一个整数根 那么 015328322 axx a 10 B 船在 A 船的西偏北 450 处 两船相距 km 若 A 船向西航行 B 船同时向南航行 且 B 船2 的速度为 A 船速度的 2 倍 那么 A B 两船的最近距离是 km 三 解答题 每小题 20 分 共 60 分 11 如图 在等腰三角形 ABC 中 AB 1 A 90 0 点 E 为腰 AC 中点 点 F 在底边 BC 上 且 FE BE 求 CEF 的 面积 12 设抛物线 的图象与 x 轴 45212 axy 只有一个 交点 1 求 a 的值 2 求 的值 683 13 A 市 B 市和 C 市有某种机器 10 台 10 台 8 台 现在决定 把这些机器支援给 D 市 18 台 E 市 10 台 已知 从 A 市调运一台机器到 D 市 E 市的运费为 200 元 和 800 元 从 B 市调运一台机器到 D 市 E 市的运费为 300 元和 700 元 从 C 市调运一台机器到 D 市 E 市的运费为 400 元和 500 元 1 设从 A 市 B 市各调 x 台到 D 市 当 28 台机器调运完毕后 求总运费 W 元 关于 x 台 的 函数关系式 并求 W 的最大值和最小值 2 设从 A 市调 x 台到 D 市 B 市调 y 台到 D 市 当 28 台机器调运完毕后 用 x y 表示总运费 W 元 并求 W 的最大值和最小值 A B C E F 1998年全国初中数学联赛参考答案 一 选择题 1 B 根据不等式性质 2 D 由 p 2 4 0及p 2 设x 1 x 2为方程 的两根 那么有x 1 x2 p x 1x2 l 又由 x1 x2 2 x1 x2 2 4x1x2 得l 2 p 2 4 p 2 5 3 C 如图连ED 又 DE 是 ABC两边中点连线 故选C 4 B 得 2 a b c p a b c 有p 2 或a b c 0 当p 2时 y 2x 2 则直线通过第一 二 三象限 当a b c 0时 不妨取a b c 于是 y x 1 则直线通过第二 三 四象限 综合上述两种情况 直线一定通过第二 三象限 故选B 5 C 在数轴上画出这个不等式组解集的可能区间 如下图 a 1 2 3 9 共9个 b 3 8 1 3 8 2 3 8 3 3 8 8 共8 个 9 8 72 个 故选C 二 填空题 6 解 如图 过A作AG BD于G 等腰三角底边上的任意一点到两腰距离的和等于腰上的高 PE PF AG AD 12 AB 5 BD 13 7 解 如图 直线y 2x 3与抛物线y x 2的交点坐标为A 1 1 B 3 9 作AA 1 BB 1分别垂直于x轴 垂足为A 1 B 1 S OAB S梯形 AA1B1B S AA 1O S BB 1O 8 解 如图 当圆环为3个时 链长为3a 故a可取1 3 或5 10 解 如图 设经过 t小时后 A船 B船分别航行到 A1 B 1 设AA 1 x 于 是BB 1 2x A 1C 10 x B 1C 10 2x 三 解答题 11 解法1 过C作CD CE与EF的延长线交于D ABE AEB 90 CED AEB 90 ABE CED 于是Rt ABE CED 又 ECF DCF 45 所以 CF是 DCE的平分线 点F到CE 和CD的距离 相等 解法2 作FH CE 于H 设FH h ABE AEB 90 FEH AEB 90 ABE FEH Rt EHF Rt BAE 即EH 2h 又 HC FH 12 解 1 因为抛物线与 x轴只有一个交点 所以一元二次方程 2 由 1 知 a 2 a 1 反复利用此式可得 a4 a 1 2 a2 2a 1 3a 2 a8 3a 2 2 9a2 12a 4 21a 13 a16 21a 13 2 441a2 546a 169 987a 610 a18 987a 610 a 1 987a2 1597a 610 2584a 1597 a 2 a 1 0 64a 2 64a 65 1 即 8a 5 8a 13 1 a 18 323a 6 2584a 1597 323 8a 13 5796 13 解 1 由题设知 A市 B市 C市发往D市的机器台数分x x 18 2x 发 往E市的机器台数分别为10 x 10 x 2x 10 于是 W 200 x 300 x 400 18 2x 800 10 x 700 10 x 500 2x 10 800 x 17200 5 x 9 W 800 x 17200 5 x 9 x是整数 由上式可知 W 是随着x的增加而减少的 所以当x 9时 W 取到最小值10000 元 当x 5 时 W取到最大值 13200元 2 由题设知 A市 B 市 C市发往D市的机器台数分别为x y 18 x y 发往 E市的机器台数分别是10 x 10 y x y 10 于是 W 200 x 800 10 x 300y 700 10 y 400 19 x y 500 x y 10 500 x 300y 17200 W 500 x 300y 17200 W 200 x 300 x y 17200 200 10 300 18 17200 9800 当x 10 y 8时 W 9800 所以 W 的最小值为9800 又W 200 x 300 x y 17200 200 0 300 10 17200 14200 当x 0 y 10时 W 14200 所以 W 的最大值为14200 2001 年全国初中数学联赛试题 一 选择题 每小题 7 分 共 42 分 1 a b c 为有理数 且等式 成立 则 2a 999b 1001c 的值62532 cba 是 A 1999 B 2000 C 2001 D 不能确定 2 若 且有 5a2 2001a 9 0 及 则 的值是 1 ab 05219 bba A B C D 5901 0 3 已知在 ABC 中 ACB 90 0 ABC 15 0 BC 1 则 AC 的长为 A B C D 2 32 23 4 如图 在 ABC 中 D 是边 AC 上的一点 下面四种情况中 ABD ACB 不 一定成立的情况是 A B A ACD 2 C ABD ACB D B 5 在实数范围内 一元二次方程 的根为 在 02 cbxaacbx24 ABC 中 若 则 ABC 是锐角三角形 在 ABC 和 中 22ABC 1CA a b c 分别为 ABC 的三边 分别为 的三边 若 则 1 cba1CBA 1 cb ABC 的面积 S 大于 的面积 以上三个命题中 假命题的个数是 1 S A 0 B 1 C 2 D 3 6 某商场对顾客实行优惠 规定 如一次购物不超过 200 元 则不予折扣 如 一次购物超过 200 元但不超过 500 元的 按标价给予九折优惠 如一次购物超过 500 元 的 其中 500 元按第 条给予优惠 超过 500 元的部分则给予八折优惠 某人两次去购物 分别付款 168 元和 423 元 如果他只去一次购物同样的商品 则应付款是 A 522 8 元 B 510 4 元 C 560 4 元 D 472 8 二 填空题 每小题 7 分 共 28 分 1 已知点 P 在直角坐标系中的坐标为 0 1 O 为坐标原点 QPO 150 0 且 P 到 Q 的距离为 2 则 Q 的坐标为 2 已知半径分别为 1 和 2 的两个圆外切于点 P 则点 P 到两圆外公切线的距离为 3 已知 是正整数 并且 则 yx 120 23 xyyx 2yx 4 一个正整数 若分别加上 100 和 168 则可得到两个完全平方数 这个正整数为 三 解答题 共 70 分 1 在直角坐标系中有三点 A 0 1 B 1 3 C 2 6 已知直线 上横baxy 坐标为 0 1 2 的点分别为 D E F 试求 的值使得 AD2 BE2 CF2 达到最大值 20ba 分 1 证明 若 取任意整数时 二次函数 总取整数值 那么x cxy 2 都是整数 cba 2 2 写出上述命题的逆命题 并判断真假 且证明你的结论 25 分 3 如图 D E 是 ABC 边 BC 上的两点 F 是 BC 延长线上的一点 DAE CAF 1 判断 ABD 的外接圆与 AEC 的外接圆的位置关系 并证明你的结 论 2 若 ABD 的外接圆的半径的 2 倍 BC 6 AB 4 求 BE 的长 解答题 1 如图 EFGH 是正方形 ABCD 的内接四边形 两条对角线 EG 和 FH 所夹的锐 角为 且 BEG 与 CFH 都是锐角 已知 EG k FH 四边形 EFGH 的面积为 S l 1 求证 sin klS2 2 试用 来表示正方形的面积 l 2 求所有的正整数 a b c 使得关于 x 的方程 0232 bax0232 cbx 的所有的根都是正整数 03 acx 3 在锐角 ABC 中 AD BC D 为垂足 DE AC E 为垂足 DF AB F 为垂 足 O 为 ABC 的外心 求证 1 AEF ABC 2 AO EF 4 如图 在四边形 ABCD 中 AC 与 BD 交于点 O 直线 平行于 BD 且与l AB DC BC AD 及 AC 的延长线分别相交于点 M N R S 和 P 求证 PM PN PR PS 2003 年全国初中数学联合竞赛试卷 B 楃D A B C D E F G H O l A B D M N P O C RS 第一试 4 月 13 日上午 8 30 9 30 一 选择题 本题满分 42 分 每小题 7 分 1 等于23172 A B C 5 D 1544 答 2 在凸 10 边形的所有内角中 锐角的个数最多是 A 0 B 1 C 3 D 5 答 3 若函数 与函数 的图象相交于 A C 两点 AB 垂直 x 轴于 B 则 ABC 的面积为 0ykx 1yx A 1 B 2 C k D 2 答 4 满足等式 的正整数对 的个数是203203xyxyx xy A 1 B 2 C 3 D 4 答 5 设 ABC 的面积为 1 D 是边 AB 上一点 且 若在边 AC 上取一点 E 使四边形 DECB13ADB 的面积为 则 的值为34CEA A B C D 1215 答 6 如图 在 ABCD 中 过 A B C 三点的圆交 AD 于 E 且与 CD 相切 若 AB 4 BE 5 则 DE 的长为 A 3 B 4 C D 1546 答 D C A B E 二 填空题 本题满分 28 分 每小题 7 分 1 抛物线 与 x 轴交于 A B 两点 与 y 轴交于点 C 若 ABC 是直角三角形 则2yaxbc ac 2 设 m 是整数 且方程 的两根都大于 而小于 则 m 230 xm 95 37 3 如图 分别是 EAB DBC 的平分线 若 则 BAC 的度数为 A B AB B D A C A E 4 已知正整数 a b 之差为 120 它们的最小公倍数是其最大公约数的 105 倍 那么 a b 中较大的 数是 2003 年全国初中数学联合竞赛试卷 第二试 A 4 月 13 日上午 10 00 11 30 考生注意 本试三大题 第一题 20 分 第二 三题各 25 分 全卷满分 70 分 一 本题满分 20 分 试求出这样的四位数 它的前两位数字与后两位数字分别组成的二位数之和的平方 恰好等于这 个四位数 二 本题满分 25 分 在 ABC 中 D 为 AB 的中点 分别延长 CA CB 到点 E F 使 DE DF 过 E F 分别作 CA CB 的垂线 相交于 P 设线段 PA PB 的中点分别为 M N 求证 DEM DFN PAE PBF 三 本题满分 25 分 已知实数 a b c d 互不相等 且 试求 x 的值 11abcda 2003 年全国初中数学联合竞赛试卷 第二试 B 4 月 13 日上午 10 00 11 30 考生注意 本试三大题 第一题 20 分 第二 三题各 25 分 全卷满分 70 分 一 本题满分 20 分 试求出这样的四位数 它的前两位数字与后两位数字分别组成的二位数之和的平方 恰好等于这 个四位数 二 本题满分 25 分 在 ABC 中 D 为 AB 的中点 分别延长 CA CB 到点 E F 使 DE DF 过 E F 分别作 CA CB 的垂线 相交于 P 求证 PAE PBF 三 本题满分 25 分 已知四边形 ABCD 的面积为 32 AB CD AC 的长都是整数 且它们的和为 16 这样的四边形有几个 求这样的四边形边长的平方和的最小值 2003 年全国初中数学联合竞赛试卷 第二试 C 4 月 13 日上午 10 00 11 30 考生注意 本试三大题 第一题 20 分 第二 三题各 25 分 全卷满分 70 分 一 本题满分 20 分 已知实数 a b c d 互不相等 且 试求 x 的值 11abcda 二 本题满分 25 分 在 ABC 中 D 为 AB 的中点 分别延长 AC BC 到点 E F 使 DE DF 过 E F 分别作 AC BC 的垂线 相交于 P 求证 PAE PBF 三 本题满分 25 分 已知四边形 ABCD 的面积为 32 AB CD AC 的长都是整数 且它们的和为 16 这样的四边形有几个 求这样的四边形边长的平方和的最小值