天津科技大学李伟版高等数学第四章习题答案.doc

习题41（A）1判断下列叙述是否正确，并说明理由：（1）不定积分是的一个原函数； （2）在不定积分的运算性质中，只有加法运算和数乘运算法则而没有乘法法则，因而遇到求乘积的不定积分时，可考虑是否能将被积函数“积化和差”，从而用加法法则分别求不定积分；（3）积分运算与微分运算是互逆运算，因此对一个函数求导一次，积分一次，不论两种运算的先后顺序如何，最后的结果还是原来的函数；（4）切线的斜率同为的曲线有无数条，这些曲线的方程可以写成（为任意常数）的形式，要想有唯一解，还必须另外有能确定任意常数的条件答：（1）不正确不定积分的结果是的一个原函数再加一个任意常数 （2）正确这只是求乘积的不定积分方法之一，以后还会介绍其它方法 （3）不正确先积分再求导，两种运算结果相互抵消，最后的结果还是原来的函数；但是，先求导再积分，两种运算结果不能相互抵消，最后的结果与原来的函数相差一个任意常数 （4）正确这就是不定积分的几何意义2验证函数、都是同一个函数的原函数，它们相互之间相差一个常数吗？解：因为， ， ，所以、都是同一个函数的原函数根据原函数的性质，它们彼此之间相差一个常数，其实由三角函数公式也可以得到它们彼此之间相差一个常数，事实上：，3若，求函数解：等式两边同时对求导，得4一曲线过点，且在任一点处的切线斜率等于该点横坐标平方的倒数，求该曲线方程解：设所求曲线为，由已知有，则，再由曲线过点，有，得，所求曲线为5求下列不定积分：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）； （7）； （8）；（9）； （10）；（11）； （12） 解：（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）（9） （10） （11） （12）6若函数的一个原函数为，求解：因为是函数的一个原函数，根据不定积分的定义，则习题41（B）1一物体由静止开始以初速度沿直线运动，经过 s后其加速度，求9 s后物体离开出发点的距离是多少？这时物体运行的速度是多少？解：设时刻时物体离开出发点的距离为，这时的速度为，由，则，因为时，得；所以由，则，因为时，得，所以2求下列不定积分：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）；（7）； （8）； （9）； （10）解：（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）（9） （10）3若函数满足，求解：由，得，所以 4若函数满足，求不定积分解：由，有，所以习题42（A）1判断下列叙述是否正确，并说明理由：（1）用凑微分法所求的不定积分，被积函数必须具备、或能化成的形式；（2）用凑微分法求不定积分时，其中中可以任意添加常数项或改变的系数而成为的形式，需要注意的是，这样变换后被积函数需乘一个常数因子；（3）形如的积分，积分结果一般为对数函数与反正切函数之和答：（1）正确但是必须有原函数（2）正确因为（）总是成立的（3）不正确在很多时候结果中只有对数函数或只有反正切函数，有时也会出现有理函数事实上： 当，时，； 当，时， ； 特别，当，且时，； 当，时，； 当，时，； 特别，且时，； 当，时， ； 当，时， ； 当，且时， 2在下列各题中的横线上填入适当数值，使得等号成立：（1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） 解：（1），填 （2），填（3），填 （4），填 （5），填 （6），填3求下列不定积分：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）； （9）； （10）； （11）； （12）； （13）； （14）； （15）； （16）； （17）； （18）； （19）； （20）；（21）； （22）； （23）； （24） 解：（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）（9） （10）（11） （12）（13） （14）（15） （16）（17） （18）（19） （20）（21） 或： （22）（23） （24）习题42（B）1求下列不定积分： （1）； （2）； （3）； （4）；（5）； （6）； （7）； （8） 解：（1） （2） （3）， 或： （4）此题还有以下几种作法： 记， 则 所以， ，（其中） ，则，于是 本题还可以用下一节的“万能代换”求解（5）； （6）（7） （8）2已知函数满足，当时，求解：由，有，所以习题43（A）1判断下列叙述是否正确，并说明理由：（1）在求形如、的不定积分时都是采取令作变量代换的三角换元法，从而把无理函数的积分转化为三角函数有理式的积分；（2）当被积函数含有的根式时，为了变无理式为有理式，通常将看作一个新的换元答：（1）不正确三个积分分别用三角代换、 （2）正确但是，有时也可以采用有理化的方法，如等2求下列不定积分： （1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）； （9）； （10）； （11）； （12）解：（1）令（），则，于是 ， 或，原式 （2）令（），则，于是（3）令（），则，于是或：当时，原式， 当时，解法类似，结果相同 （4）当时，令（），则，于是（其中）， 当时，令，（），则，于是 ，所以，对，都有（5） （6）（7） （8）令，则，,于是（9）令，则，于是 （10）令，则，于是（其中）（11）令，则，于是 （12）令，则，于是习题43（B）1求下列不定积分： （1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）解：（1）令（），则，于是（参见习题4-2（B）1（2）解法） （2）当时，令（），则，于是，当时，令，则，于是，所以，对任何，都有或：当时，原式，当时，原式（其中）（3） （4）（5）令，则，于是 （6），则，于是 （7）令，则，于是 （8）令，则，于是2如果函数在点的增量，求解：由，得，所以对，令（），则，于是 ，所以， 习题44（A）1判断下列叙述是否正确，并说明理由：（1）当被积函数为幂函数与其他函数乘积时，若把幂函数当作采用分部积分，将降低幂函数的指数从而使问题变得简单，因此当对含有幂函数作因子的乘积采用分部积分时，应将幂函数取作；（2）若被积函数含有对数函数或反三角函数作为因子，采用分部积分时，通常要将它们作为答：（1）不正确在求幂函数与对数函数或反三角函数乘积的分部积分时，要将幂函数取为，而将对数函数或反三角函数取为 （2）正确如果将这两类函数取为，原函数不好找，但是它们的导数却是简单的有理函数或无理函数2求下列不定积分：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）； （7）； （8）；（9）； （10）； （11）； （12）； （13）； （14）. 解：（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）（9） （10） （其中）（11） （12）（13）于是，所以 （14）3求不定积分.解：4若的一个原函数为，求不定积分.解：由已知，则，于是习题44（B）1求下列不定积分：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）； （7）； （8）.解：（1） （2）（3） （4）于是，所以（5）（参见习题4-3（A）2（3） （6）（注：本题主要矛盾是降低分母次数）（7） （8）取，为求，先求，令，则 ，于是 2记，证明. 证明：. 3若函数有连续导数，且，求.解：由，有，于是 ， 由，有，得， ， 由，有得，所以总习题四1填空题： （1）若的一个原函数为，则 ；（2）若，则 ；（3）不定积分 ；（4）不定积分 ；（5）若的一个原函数为，则 解：（1）根据不定积分定义，填：； （2），填：； （3），填：；（），填：； （5），填：2单项选择题： （1）若有连续的导函数，则下列式子中正确的是（ ）；（A）； （B）；（C）； （D）（2）若的一个原函数为，则（ ）； （A）（）； （B）（）；（C）（）； （D）（）（3）若，则函数（ ）； （A）； （B）；（C）； （D）（4）若有二阶连续导函数，则不定积分（ ）；(A) ； (B) ； (C) ； (D) .（5）若函数，则（ ） （A） （B）（C） （D）解：（1）选A， B少，而C、D都少加积分常数C； （2）选D，事实上：. （3）选D，事实上：等式两边对求导，有，即，所以. （4）选C，事实上：. （5）选D事实上：由得当时，当时，由于函数可导，因此要连续，而，得，所以，3求下列不定积分：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）； （9）； （10）；（11）； （12）；（13）； （14）；（15）； （16）；（17）； （18） (19) ； （20）； （21）； （22）；（23）； （24）（）； （25） （26）；（27）； （28）； （29）； （30）； （31）； （32）； （33）； （34） 解：（1） 或：令，则 （2）（3） （4）（5）令，则，于是 （6） （7） 或：令，则，于是（参见题（1） （8）令，则， ，于是（9）令（），则 （10）当时，令（），则 当时，令，则所以，当时，都有（11）令（）则或：当时，令，则， 当时，类似可得（12）（13） （14）令，则，于是（15） （16） （17） （18） 或：（19） （20） （21） （22） （积分结果，参见下面（26）题）（23）（注：本题只对时求解，当时，积分结果应为） （24）（25） （26）因为， 所以，（27） （28） （29）（30） （31） （32） （33）（34） 当时，； 当时， 设原函数为，由于在点连续，有，得，所以，当时，； 当时， ，由于在点连续，有，得，所以，当时，；于是4若，求解：等式两边对求导，有，所以，5若，求解：由，有，所以 6设函数单调可导，记反函数为若的原函数为，证明： 证明：（方法1） （方法2）对等式右边求导， 右式的导数恰好等于左式的被积函数，且右式中有含有一个任意常数，所以