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2012年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、选择题：18小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）曲线渐近线的条数为（）（A）0（B）1（C）2（D）3【答案】：【解析】：，所以为垂直的 ，所以为水平的，没有斜渐近线 故两条选（2）设函数，其中为正整数，则（A）（B）（C）（D）【答案】：【解析】： 所以（3）如果在处连续，那么下列命题正确的是（ ）（A）若极限存在，则在处可微（B）若极限存在，则在处可微（C）若在处可微，则极限存在（D）若在处可微，则极限存在【答案】：【解析】：由于在处连续，可知如果存在，则必有这样，就可以写成，也即极限存在，可知，也即。由可微的定义可知在处可微。（4）设 sinxdx(k=1,2,3),则有D（A）I1 I2 I3.(B) I2 I2 I3.(C) I1 I3 I1,(D) I1 I2 I3.【答案】：(D)【解析】：看为以为自变量的函数，则可知，即可知关于在上为单调增函数，又由于，则，故选D（5）设其中为任意常数，则下列向量组线性相关的是（ ）（A） （B）（C） （D）【答案】：（C）【解析】：由于，可知线性相关。故选（C）（6）设为3阶矩阵，为3阶可逆矩阵，且，则（ ）（A） （B）（C） （D）【答案】：（B）【解析】：，则，故故选（B）。（7）设随机变量x与y相互独立，且分别服从参数为1与参数为4的指数分布，则（）【答案】：（A）【解析】：的联合概率密度为则（8）将长度为1m的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为（）【答案】：【解析】：设两段长度分别为，显然即，故两者是线性关系，且是负相关，所以相关系数为-1二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）若函数满足方程及，则=_。【答案】：【解析】：特征方程为，特征根为，齐次微分方程的通解为.再由得，可知。故（10） _。【答案】：【解析】：令得（11） _。【答案】：【解析】：（12）设则_。【答案】：【解析】：由曲面积分的计算公式可知，其中。故原式（13）设X为三维单位向量，E为三阶单位矩阵，则矩阵的秩为_。【答案】：【解析】：矩阵的特征值为，故的特征值为。又由于为实对称矩阵，是可相似对角化的，故它的秩等于它非零特征值的个数，也即。（14）设是随机事件，互不相容，,则_。【答案】：【解析】：由条件概率的定义，其中，由于互不相容，即，又，得，代入得，故.三、解答题：1523小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）证明：【解析】：令，可得当时，有，所以，故，而，即得所以。当，有，所以，故，即得可知，（16）（本题满分10分）求的极值。【解析】：，先求函数的驻点. ，解得函数为驻点为.又，所以，故在点处取得极大值.（17）（本题满分10分）求幂级数x2n 的收敛域及和函数【解析】：（18）（本题满分10分）已知曲线，其中函数具有连续导数，且，。若曲线L的切线与x轴的交点到切点的距离恒为1，求函数的表达式，并求此曲线L与x轴与y轴无边界的区域的面积。【解析】：（1）曲线在任一处的切线斜率为，过该点处的切线为，令得.由于曲线与轴和轴的交点到切点的距离恒为.故有，又因为所以，两边同时取不定积分可得，又由于，所以.故函数.（2）此曲线与轴和轴的所围成的无边界的区域的面积为：.（19）（本题满分10分）已知是第一象限中从点沿圆周到点，再沿圆周到点的曲线段，计算曲线积分。【解析】：设圆为圆,圆为圆，下补线利用格林公式即可，设所补直线为,下用格林格林公式得：原式 （20）（本题满分10分）设，（）求（）已知线性方程组有无穷多解，求，并求的通解。【解析】：（）（）可知当要使得原线性方程组有无穷多解，则有及，可知。此时，原线性方程组增广矩阵为，进一步化为行最简形得可知导出组的基础解系为，非齐次方程的特解为，故其通解为线性方程组存在2个不同的解，有.即：，得或-1.当时, ，显然不符，故.（21）（本题满分10分）三阶矩阵，为矩阵的转置，已知，且二次型。1）求2）求二次型对应的二次型矩阵，并将二次型化为标准型，写出正交变换过程。【解析】：1）由可得，2） 则矩阵解得矩阵的特征值为：对于得对应的特征向量为：对于得对应的特征向量为：对于得对应的特征向量为：将单位化可得：，（22）（本题满分10分）已知随机变量以及的分布律如下表所示，X012P1/21/31/6Y012P1/31/31/3XY0124P7/121/301/12求：（1）；（2）与.【解析】：X012P1/21/31/6Y012P1/31/31/3XY0124P7/121/301/12（1）（2），其中,所以，,.（23）（本题满分11分）设随机变量与相互独立且分别服从正态分布与，其中是未知参数且,设,(1) 求的概率密度；(2) 设为来自总体的简单随机样本，求的最大似然估计量；(3) 证明为的无偏估计量。【解析】：（1）因为，且与相互独立，故，所以，的概率密度为（2）似然函数解得最大似然估计值为，最大似然估计量为（3）故为的无偏估计量。
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