线名师指点高考之数列.doc

一线名师指点07高考数列1【考点回放篇】考点串讲31 数列的概念1数列：按一定次序排列的一列数叫做数列。（1）数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，an，简记为an，其中an是数列的第n项。（2）可视数列为特殊函数，它的定义域是正自然数集的子集（必须连续），因此研究数列可联系函数的相关知识，如数列的表示法（列表法、图象法、公式法等）、数列的分类（有限和无穷、有界无界、单调或摆动等）。应注意用函数的观点分析问题。2通项公式如果数列an的第n项an与项数n之间的函数关系可以用一个公式来表达，那么这个公式就叫做数列的通项公式，可以记为an=f（n）。并非每一个数列都可以写出通项公式，有些数列的通项公式也并非是唯一的。3数列的前n项和数列an的前n项之和，叫做数列的前n项和，常用Sn表示。Sn与通项an的基本关系是：an= Sn=a1+a2+an。4数列的分类（1）按项分类有穷数列：项数有限；无穷数列：项数无限。（2）按an的增减性分类递增数列：对于任何nN*，均有an+1an；递减数列：对于任何nN*，均有an+1an；摆动数列：例如：1，1，1，1，；常数数列：例如：6，6，6，6，；有界数列：存在正数M使|an|M，nN*；无界数列：对于任何正数M，总有项an使得|an|M。5递推是认识数列的重要手段，递推公式是确定数列的一种方式，根据数列的递推关系写出数列。32 等差数列1等差数列的概念若数列an从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则数列an叫等差数列。2通项公式：an=a1+（n1）d，推广：an=am+（nm）d。变式：a1=an（n1）d，d=，d=，由此联想点列（n，an）所在直线的斜率。3等差中项：若a、b、c成等差数列，则b称a与c的等差中项，且b=；a、b、c成等差数列是2b=a+c的充要条件。4前n项和：Sn=na1+d=nan（n1）nd。变式：=a1+（n1）=an+（n1）（）。33 等比数列1定义数列an从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数的数列称作等比数列。常数叫公比。2通项公式：an=a1qn1，推广形式：an=amqnm。变式：q=（n、mN*）。3前n项和Sn=注：q1时，=。4等比中项：若a、b、c成等比数列，则b为a、c的等比中项，且b=。5三个数或四个数成等比数列且又知积时，则三个数可设为、a、aq，四个数可设为、aq、aq3为好。6证明等比数列的方法：（1）用定义：只需证=常数；（2）用中项性质：只需an+12=anan+2或=。34 等差数列与等比数列的综合问题（一）等差、等比数列的性质1等差数列an的性质（1）am=ak+（mk）d，d=。（2）若数列an是公差为d的等差数列，则数列an+b（、b为常数）是公差为d的等差数列；若bn也是公差为d的等差数列，则1an+2bn（1、2为常数）也是等差数列且公差为1d+2d。（3）下标成等差数列且公差为m的项ak，ak+m，ak+2m，组成的数列仍为等差数列，公差为md。（4）若m、n、l、kN*，且m+n=k+l，则am+an=ak+al，反之不成立。（5）设A=a1+a2+a3+an，B=an+1+an+2+an+3+a2n，C=a2n+1+a2n+2+a2n+3+a3n，则A、B、C成等差数列。（6）若数列an的项数为2n（nN*），则S偶S奇=nd，=，S2n=n（an+an+1）（an、an+1为中间两项）；若数列an的项数为2n1（nN*），则S奇S偶=an，=，S2n1=（2n1）an（an为中间项）。2等比数列an的性质（1）am=akqmk。（2）若数列an是等比数列，则数列1an（1为常数）是公比为q的等比数列；若bn也是公比为q2的等比数列，则1an2bn（1、2为常数）也是等比数列，公比为qq2。（3）下标成等差数列且公差为m的项ak，ak+m，ak+2m，组成的数列仍为等比数列，公比为qm。（4）若m、n、l、kN*，且m+n=k+l，则aman=akal，反之不成立。（5）设A=a1+a2+a3+an，B=an+1+an+2+an+3+a2n，C=a2n+1+a2n+2+a2n+3+a3n，则A、B、C成等比数列，设M=a1a2an，N=an+1an+2a2n，P=a2n+1a2n+2a3n，则M、N、P也成等比数列。（二）对于等差、等比数列注意以下设法：如三个数成等差数列，可设为ad，a，a+d；若四个符号相同的数成等差数列，知其和，可设为a3d，ad，a+d，a+3d。三个数成等比数列，可设为，a，aq，若四个符号相同的数成等比数列，知其积，可设为，aq，aq3。（三）用函数的观点理解等差数列、等比数列1对于等差数列，an=a1+（n1）d=dn+（a1d），当d0时，an是n的一次函数，对应的点（n，an）是位于直线上的若干个点。当d0时，函数是增函数，对应的数列是递增数列；同理，d=0时，函数是常数函数，对应的数列是常数列；d0时，函数是减函数，对应的数列是递减函数。若等差数列的前n项和为Sn，则Sn=pn2+qn（p、qR）。当p=0时，an为常数列；当p0时，可用二次函数的方法解决等差数列问题。2对于等比数列：an=a1qn1。可用指数函数的性质来理解。当a10，q1或a10，0q1时，等比数列是递增数列；当a10，0q1或a10，q1时，等比数列an是递减数列。当q=1时，是一个常数列。当q0时，无法判断数列的单调性，它是一个摆动数列。35 数列的应用知识梳理1实际生活中的银行利率、企业股金、产品利润、人口增长、工作效率、浓度问题等常常通过数列知识加以解决。2理解“复利”的概念，注意分期付款因方式的不同抽象出来的数列模型也不同。3实际问题转化成数列问题，首先要弄清首项、公差（或公比），其次是弄清是求某一项还是求某些项的和的问题。【考点提醒篇】1、数列的概念：数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集1，2，3，n）的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。如（1）已知，则在数列的最大项为_（答：）；（2）数列的通项为，其中均为正数，则与的大小关系为_（答：）；（3）已知数列中，且是递增数列，求实数的取值范围（答：）；（4）一给定函数的图象在下列图中，并且对任意，由关系式得到的数列满足，则该函数的图象是（ ）（答：A）A B C D2等差数列的有关概念：1）等差数列的判断方法：定义法或。如设是等差数列，求证：以bn= 为通项公式的数列为等差数列。2）等差数列的通项：或。如（1）等差数列中，则通项（答：）；（2）首项为24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是_（答：）3）等差数列的前和：，。如（1）数列 中，前n项和，则，（答：，）；（2）已知数列 的前n项和，求数列的前项和（答：）。4）等差中项：若a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且。提醒：（1）等差数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素：a1、d、n、an及Sn，其中a1、d称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为，a2d，ad，a+d，a+2d（公差为d）；偶数个数成等差，可设为，a3d，ad，a+d，a+3d，（公差为2d）3等差数列的性质：1）当公差时，等差数列的通项公式是关于n的一次函数，且斜率为公差d；前n和是关于n的二次函数且常数项为0。2）若公差d0，则为递增等差数列，若公差d0且，设数列xn满足，且，则。 （答：）；（2）在等比数列an中，Sn为其前n项和，若，则的值为_（答：40）3）若，则an为递增数列；若， 则an为递减数列；若 ，则an为递减数列；若， 则an为递增数列；若，则an为摆动数列；若，则an为常数列。4） 当时，这里，但，这是等比数列前项和公式的一个特征，据此很容易根据，判断数列an是否为等比数列。如若an是等比数列，且，则 （答：1）5） 。如设等比数列an的公比为，前项和为，若成等差数列，则的值为_（答：2）6） 在等比数列an中，当项数为偶数时，；项数为奇数时，。7）如果数列an既成等差数列又成等比数列，那么数列an是非零常数数列，故常数数列an仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。如设数列an的前项和为（）， 关于数列an有下列三个命题：若，则an既是等差数列又是等比数列；若，则an是等差数列；若，则an是等比数列。这些命题中，真命题的序号是 （答：）6数列的通项的求法：1）公式法：等差数列通项公式；等比数列通项公式。如已知数列试写出其一个通项公式：_（答：）2）已知（即）求an，用作差法：。如（1）已知an的前n项和满足，求（答：）；（2）数列an满足，求（答：）3）已知求，用作商法：。如数列an中，对所有的都有，则_（答：）4）若求用累加法：。如已知数列an满足，则=_（答：）5）已知求，用累乘法：。如已知数列an中，前项和，若，求（答：）6）已知递推关系求，用构造法（构造等差、等比数列）。特别地，A、形如、（为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为的等比数列后，再求。如（1）已知，求（答：）；（2）已知，求（答：）；B、形如的递推数列都可以用倒数法求通项。如（1）已知，求（答：）；（2）已知数列满足=1，求（答：）注意：（1）用求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（，当时，）；（2）一般地当已知条件中含有与的混合关系时，常需运用关系式，先将已知条件转化为只含或的关系式，然后再求解。如数列an满足，求（答：）7数列求和的常用方法：1）公式法：等差数列求和公式；等比数列求和公式，特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时需分类讨论；常用公式：，。如（1）等比数列an的前项和S2，则_（答：）；（2）计算机是将信息转换成二进制数进行处理的。二进制即“逢2进1”，如表示二进制数，将它转换成十进制形式是，那么将二进制转换成十进制数是_（答：）2）分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和。 如求：（答：）3）倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前和公式的推导方法）。 如（1）求证：；（2）已知，则_（答：）4）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前和公式的推导方法）。 如（1）设an为等比数列，已知，求数列an的首项和公比；求数列的通项公式。（答：，；）；（2）设函数，数列an满足：，求证：数列是等比数列；令，求函数在点处的导数，并比较与的大小。（答：略；，当时，；当时，）5）裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和。常用裂项形式有：； ；，； ；。如（1）求和： （答：）；（2）在数列an中，且S，则n_（答：99）；6）通项转换法：先对通项进行变形，发现其内在特征，再运用分组求和法求和。如求数列14，25，36，前项和= （答：）；求和： （答：）8 “分期付款”、“森林木材”型应用问题（1）这类应用题一般可转化为等差数列或等比数列问题。但在求解过程中，务必“卡手指”，细心计算“年限”。对于“森林木材”既增长又砍伐的问题，则常选用“统一法”统一到“最后”解决。（2）利率问题：单利问题：如零存整取储蓄（单利）本利和计算模型：若每期存入本金p元，每期利率为r，则n期后本利和为：（等差数列问题）；复利问题：按揭贷款的分期等额还款（复利）模型：若贷款（向银行借款）p元，采用分期等额还款方式，从借款日算起，一期（如一年）后为第一次还款日，如此下去，分n期还清。如果每期利率为r（按复利），那么每期等额还款x元应满足：（等比数列问题）。