2010年普通高等学校招生考试全国1卷-文科数学数.doc

2010 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 必修 选修 WORD 版 本试卷分第 I 卷 选择题 和第 卷 非选择题 两部分 第 I 卷 1 至 2 页 第 卷 3 至 4 页 考试结 束后 将本试卷和答题卡一并交回 第 I 卷 注意事项 1 答题前 考生在答题卡上务必用直径 0 5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名 准考证号填写清 楚 并贴好条形码 请认真核准条形码上的准考证号 姓名和科目 2 每小题选出答案后 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用橡皮擦干 净后 再选涂其他答案标号 在试题卷上作答无效 3 第 I 卷共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目 要求的 参考公式 如果事件 互斥 那么 球的表面积公式A B PP 24SR 如果事件 相互独立 那么 其中 R 表示球的半径 球的体积公式 A 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 那么 p34V 次独立重复试验中事件 恰好发生 次的概率 其中 R 表示球的半径nk 1 0 12 knknPCpn 一 选择题 1 cos30 A B C D 2 123 1 C 命题意图 本小题主要考查诱导公式 特殊三角函数值等三角函数知识 解析 1cos30s60cos62 2 设全集 集合 则 1 245U 4M 35N UM A B C D 3 2 C 命题意图 本小题主要考查集合的概念 集合运算等集合有关知识 解析 则 2 5U 1 5N U 1 352 3 5 3 若变量 满足约束条件 则 的最大值为 xy1 02 yx 2zxy A 4 B 3 C 2 D 1 3 B 命题意图 本小题主要考查线性规划知识 作图 识图能力及计算能力 解析 画出可行域 如右图 由图可知 当直线 l经过点 A 1 1 时 z12zxyxz 最大 且最大值为 max12 3z 4 已知各项均为正数的等比数列 5 10 则 na123789a456a A B 7 C 6 D 524 4 A 命题意图 本小题主要考查等比数列的性质 指数幂的运算 根式与指数式的互化等知识 着重 考查了转化与化归的数学思想 解析 由等比数列的性质知 10 所312312 5aa A378978 aa A 以 132850a 所以 13336464528 50aa A 5 的展开式 的系数是3 1 x x A 6 B 3 C 0 D 3 5 A 命题意图 本小题主要考查了考生对二项式定理的掌握情况 尤其是展开式的通项公式的灵活 应用 以及能否区分展开式中项的系数与其二项式系数 同时也考查了考生的一些基本运算能力 解析 134323422 1 146xxxx 的系数是 12 6 62x 6 直三棱柱 中 若 则异面直线 与 所成的角1ABC 90BAC 1AC 1BAC 0 xy 1Oyx y20 xy x A 0 2ly L02 A 等于 A 30 B 45 C 60 D 90 6 C 命题意图 本小题主要考查直三棱柱 的性质 异面直线所成的角 异面直线所成1ABC 的角的求法 解析 延长 CA 到 D 使得 则 为平行四边形 就是异面直线 1D1DAB 与 所成的角 又三角形 为等边三角形 1BAC1AB016 7 已知函数 若 且 则 的取值范围是 lgfx ab ffba A B C D 2 2 7 C 命题意图 本小题主要考查对数函数的性质 函数的单调性 函数的值域 考生在做本小题时极 易忽视 a 的取值范围 而利用均值不等式求得 a b 从而错选 D 这也是命题者的用苦良心之1a 处 解析 1 因为 f a f b 所以 lga lgb 所以 a b 舍去 或 所以 a b b 1a 又 0 a b 所以 0 a 1f 1 1 1 2 即 a b 的取值范围是 2 解析 2 由 0 a b 且 f a f b 得 利用线性规划得 化为求 的取 01 01xy zxy 值范围问题 过点 时 z 最小为 2 C zxyxz 21yx 1 2 8 已知 为双曲线 C 的左 右焦点 点 P 在 C 上 则1F221xy 1F206 P A A 2 B 4 C 6 D 8 8 B 命题意图 本小题主要考查双曲线定义 几何性质 余弦定理 考查转化的数学思想 通过本题 可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力 解析 1 由余弦定理得 cos P F2222111 FP 2222121210cos6 PFF 412 PFA A B CD A1 B1 C1D1 O 解析 2 由焦点三角形面积公式得 12 02 012126 3cot1t3sin6FPSbPFPF 4 A 9 正方体 中 与平面 所成角的余弦值为BCD11B1ACD A B C D 2332363 9 D 命题意图 本小题主要考查正方体的性质 直线与平面所成的角 点到平面的距离的求法 利 用等体积转化求出 D 到平面 AC 的距离是解决本题的关键所在 这也是转化思想的具体体现 1 解析 1 因为 BB1 DD1 所以 B 与平面 AC 所成角和 DD1 与平面 AC 所成角相等 设1 DO 平面 AC 由等体积法得 即1DACADV 设 DD1 a 133ACDACDSOS 则 1 221 3sin60 2aa 2ACDSa 所以 记 DD1 与平面 AC 所成角为 则 1 32ACDOa 1D 13sin 所以 6cos3 解析 2 设上下底面的中心分别为 与平面 AC 所成角就是 B 与平面 AC 所成1 O1111D 角 1136cos 2OD 10 设 则13lg2 ln 5abc A B C D c a cab cba 10 C 命题意图 本小题以指数 对数为载体 主要考查指数函数与对数函数的性质 实数大小的比 较 换底公式 不等式中的倒数法则的应用 解析 1 a 2 b In2 而 所以 a b 3log2121loge22l3log1e c 而 所以 c a 综上 c a b 25 225l4l 解析 2 a 2 b ln2 c 3log212loge321loge 3211loge c a b 1254 11 已知圆 的半径为 1 PA PB 为该圆的两条切线 A B 为两切点 那么 的最小值为O PAB A B C D 2 32 42 32 11 D 命题意图 本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理 着重考查最值的求法 判 别式法 同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力 解析 1 如图所示 设 PA PB APO 则 APB x 0 PO 2 2x 21sin coPABP 22 sin x 2 1 x 令 则 即 由 是实数 所以 421x y 421 42 0y 2x 解得 或 故2 41 0y 260y 3 3y 此时 min3PAB x 解析 2 设 0 2cos1 tancosPABP 换元 22221sinsincos1sinin 2sin 01xx 1232xPABx 解析 3 建系 园的方程为 2y 设 110 AxyBPx 2211010110 AOPxyxyxyx P A B O 0 B 2222221010103PABxxyxx 12 已知在半径为 2 的球面上有 A B C D 四点 若 AB CD 2 则四面体 ABCD 的体积的最大值 为 A B C D 23432383 12 B 命题意图 本小题主要考查几何体的体积的计算 球的性质 异面直线的距离 通过球这个载体 考查考生的空间想象能力及推理运算能力 解析 过 CD 作平面 PCD 使 AB 平面 PCD 交 AB 与 P 设点 P 到 CD 的距离为 则有h 当直径通过 AB 与 CD 的中点时 故ABCD12233Vh 四 面 体 2max13h max4 第 卷 注意事项 1 答题前 考生先在答题卡上用直径 0 5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名 准考证号填写清楚 然后贴好条形码 请认真核准条形码上的准考证号 姓名和科目 2 第 卷共 2 页 请用直径 0 5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答 在试题 卷上作答无效 3 第 卷共 10 小题 共 90 分 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 把答案填在题中横线上 注意 在试题卷上 作答无效 13 不等式 的解集是 203x 13 命题意图 本小题主要考查不等式及其解法 1 2 或 解析 数轴标根得 203x 202101xxx 21 x 或 14 已知 为第二象限的角 则 sin5a t2 14 命题意图 本小题主要考查三角函数值符号的判断 同角三角函数关系 和角的正切公式 47 同时考查了基本运算能力及等价变换的解题技能 解析 因为 为第二象限的角 又 所以 所3sin5 4cos5 sin3taco4 2tan4ta 17 15 某学校开设 A 类选修课 3 门 B 类选修课 4 门 一位同学从中共选 3 门 若要求两类课程中各至 少选一门 则不同的选法共有 种 用数字作答 15 A 命题意图 本小题主要考查分类计数原理 组合知识 以及分类讨论的数学思 想 解析 1 可分以下 2 种情况 1 A 类选修课选 1 门 B 类选修课选 2 门 有 种不1234C 同的选法 2 A 类选修课选 2 门 B 类选修课选 1 门 有 种不同的选法 所以不同2134C 的选法共有 种 1234C1830 解析 2 37 16 已知 是椭圆 的一个焦点 是短轴的一个端点 线段 的延长线交 于点 且FBBFCD 则 的离心率为 BD ur 16 命题意图 本小题主要考查椭圆的方程与3 几何性质 第二定义 平面向量知识 考查了数形 结合思想 方程思想 本题凸显解析几何的特点 数研究形 形助数 利用几何性质可寻求到简化 问题的捷径 解析 1 如图 2 BFbca 作 轴于点 D1 则由 得y ur 所以 1 23O 13 2OFc 即 由椭圆的第二定义得2Dcx 223 aceca 又由 得 BF 23 a 解析 2 设椭圆方程为第一标准形式 设 F 分 BD 所成的比为 2 21xyab 2 Dxy 代入22 303 0 1 2cc cc bx bx 294bae xOyBF1D 三 解答题 本大题共 6 小题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 10 分 注意 在试题卷上作答无效 记等差数列 的前 项和为 设 且 成等比数列 求 nanS312 123 a nS 18 本小题满分 12 分 注意 在试题卷上作答无效 已知 的内角 及其对边 满足 求内角 ABCVabcottAbBC 19 本小题满分 12 分 注意 在试题卷上作答无效 投到某杂志的稿件 先由两位初审专家进行评审 若能通过两位初审专家的评审 则予以录用 若两位初审专家都未予通过 则不予录用 若恰能通过一位初审专家的评 审 则再由第三位专家进行复审 若能通过复审专家的评审 则予以录用 否则不予录 用 设稿件能通过各初审专家评审的概率均为 0 5 复审的稿件能通过评审的概率为 0 3 各专家独立评审 I 求投到该杂志的 1 篇稿件被录用的概率 II 求投到该杂志的 4 篇稿件中 至少有 2 篇被录用的概率 20 本小题满分 12 分 注意 在试题卷上作答无效 如图 四棱锥 S ABCD 中 SD 底面 ABCD AB DC AD DC AB AD 1 DC SD 2 E 为棱 SB 上的一点 平面 EDC 平面 SBC 证明 SE 2EB 求二面角 A DE C 的大小 21 本小题满分 12 分 注意 在试题卷上作答无效 已知函数 423 1 4fxax I 当 时 求 的极值 16f II 若 在 上是增函数 求 的取值范围 fx a 22 本小题满分 12 分 注意 在试题卷上作答无效 已知抛物线 的焦点为 F 过点 的直线 与 相交于 两点 点 A 关于2 4Cyx 1 0 K lCB 轴的对称点为 D x 证明 点 在直线 上 FB 设 求 的内切圆 的方程 89A M 三 解答题 接答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 解 1 由 am a1 n 1 d 及 a1 5 a w 9 得 a1 2d 5 a1 9d 9 解得 a1 9 d 2 数列 a m 的通项公式为 an 11 2n 因为 Sm n 5 2 25 所以 n 5 时 Sm 取得最大值 18 解 1 因为 PH 是四棱锥 P ABCD 的高 所以 AC PH 又 AC BD PH BD 都在平面 PHD 内 且 PH BD H 所以 AC 平面 PBD 故平面 PAC 平面 PBD 2 由 1 知 Sm na1 d 10n n2 n n 1 2 2 因为 ABCD 为等腰梯形 AB CD AC BD AB A 6 所以 HA HB 因为 APB ADR 600 3 所以 PA PB HD HC 1 6 可得 PH 等腰梯形 ABCD 的面积为 S AC x BD 2 9 分123 所以四棱锥的体积为 V x 2 x 12 分32 19 解 1 调查的 500 位老年人中有 70 位需要志愿者提供帮助 因此该地区老年人 中需要帮助的老年人的比例的估计值为 4 分7014 5 2 2250 427316 9 0k 由于 所以有 99 的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关 9 6 8 分 3 由于 2 的结论知 该地区的 老年人是否需要帮助与性别有关 并且从样本 数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异 因此在调查时 先确定该地区老年人中男 女的比例 再把老年人分成男 女两层并采用分层抽样方法比采 用简单反随即抽样方法更好 12 分 20 解 1 由椭圆定义知 22F F A 又 2AB B 得 L 的方程式为 y x c 其中 c 2 1 b2 设 A x1 y1 B x1 y1 则 A B 两点坐标满足方程组 y x c x2 1 y2b2 化简得 1 b 2 x2 2cx 1 2b2 0 则 x1 x2 x1x2 2c1 b2 1 2b21 b2 2 即 2143x 则 解得 2241212 284 1 8 9bb 2 21 解 时 当12a 21 xfe 1 1 xxxfee 时 当 时 当 时 故 在 x 0 0 0f fx 单调增加 在 1 0 单调减少 1 令 则 若 则当 1 afxx 1agx xgea 1 时 为减函数 而 从而当 x 0 时 0 即 0 0 g 0 gx fx 若 则当 时 为减函数 而 从而当a 0 lnxa x 0 时 0 即 0 综合得 的取值范围为 lnx fa 1 22 解 1 因为 AC BD 所以 BCD ABC 又因为 EC 与圆相切于点 C 故 ACE ABC 所以 ACE BCD II 因为 ECB CDB EBC BCD 5 分 所以 BDC ECB 故 BCBECDBC 即 BC2 BE CD 10 分 23 解 I 当 时 C 1 的普通方程为 C 2 的普通方 程为 3 3 1 yx 21xy 联立方程组 解得 C1 与 C2 的交点为 1 0 2 1 yxxy 3 II C 1 的普通方程为 sincosin0y A 点坐标为 故当 变化时 P 点轨迹的参数方程为2 sin co a a 为参数 P 点轨迹的普通方程为 21siincosxay 21 46xy 故 P 点是圆心为 半径为 的 圆1 0 414 24 解 2x 5 x 2 1 由于 f x 2x 3 x 2 则函数 y f x 的图像如图所示 5 分 由函数 与函数 的图像可知 当且仅当 时 函数 与函数 xyf yax 2a xyf 的图像有交点 故不等式 的解集非空时 a 的取值范围为yax xf 10 分 1 2