中考数学模拟试题汇编专题：图形的相似与位似(含答案).doc

图形的相似与位似一、 选择题1、（2016齐河三模）如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、B间的距离：先在AB外选一点C，然后测出AC，BC的中点M，N，并测量出MN的长为12m，由此他就知道了A、B间的距离有关他这次探究活动的描述错误的是()A.AB=24m B. MNAB C.CMNCAB D.CM:MA=1:2答案：D2、（2016齐河三模）如图，在方格纸中，ABC和EPD的顶点均在格点上，要使ABCEPD，则点P所在的格点为() AP1 BP2 CP3 DP4答案：B3、（2016泰安一模）小刚身高1.7m，测得他站立在阳光下的影子长为0.85m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为1.1m，那么小刚举起的手臂超出头顶（）A0.5mB0.55mC0.6mD2.2m【考点】相似三角形的应用；比例的性质【专题】应用题【分析】在同一时刻，物体的实际高度和影长成比例，据此列方程即可解答【解答】解：设小刚举起的手臂超出头顶是xm根据同一时刻物高与影长成比例，得，x=0.5故选：A4.(2016浙江金华东区4月诊断检测下列44的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与ABC相似的三角形所在的网格图形是（ ） A B C DACB答案：B5、（2016齐河三模）如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、B间的距离：先在AB外选一点C，然后测出AC，BC的中点M，N，并测量出MN的长为12m，由此他就知道了A、B间的距离有关他这次探究活动的描述错误的是()A.AB=24m B. MNAB C.CMNCAB D.CM:MA=1:2答案：D6、（2016齐河三模）如图，在方格纸中，ABC和EPD的顶点均在格点上，要使ABCEPD，则点P所在的格点为() AP1 BP2 CP3 DP4答案：B7、（2016泰安一模）小刚身高1.7m，测得他站立在阳光下的影子长为0.85m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为1.1m，那么小刚举起的手臂超出头顶（）A0.5mB0.55mC0.6mD2.2m【考点】相似三角形的应用；比例的性质【专题】应用题【分析】在同一时刻，物体的实际高度和影长成比例，据此列方程即可解答【解答】解：设小刚举起的手臂超出头顶是xm根据同一时刻物高与影长成比例，得，x=0.5故选：A8第（6）题DCABE（2016天津北辰区一摸）如图，在ABC 中，点D，E 分别在AB，AC 边上，DEBC，BC=3.6， 则DE等于（）（A） （B） （C） （D）答案：C9.（2016天津市南开区一模）如图，OAB与OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，OCD=90，CO=CD，若B（1，0），则点C的坐标为（）A（1，2）B（2，1）C（）D（1，1）【考点】位似变换；坐标与图形性质【分析】首先利用等腰直角三角形的性质得出A点坐标，再利用位似是特殊的相似，若两个图形ABC和ABC以原点为位似中心，相似比是k，ABC上一点的坐标是（x，y），则在ABC中，它的对应点的坐标是（kx，ky）或（kx，ky），进而求出即可【解答】解：OAB=OCD=90，AO=AB，CO=CD，等腰RtOAB与等腰RtOCD是位似图形，点B的坐标为（1，0），BO=1，则AO=AB=，A（，），等腰RtOAB与等腰RtOCD是位似图形，O为位似中心，相似比为1：2，点C的坐标为：（1，1）故选：D【点评】此题主要考查了位似变换的性质，正确理解位似与相似的关系，记忆关于原点位似的两个图形对应点坐标之间的关系是解题的关键10.（2016天津市南开区一模）将一副三角尺（在RtABC中，ACB=90，B=60，在RtEDF中，EDF=90，E=45）如图摆放，点D为AB的中点，DE交AC于点P，DF经过点C，将EDF绕点D顺时针方向旋转（060），DE交AC于点M，DF交BC于点N，则的值为（）ABCD【考点】旋转的性质【专题】压轴题【分析】先根据直角三角形斜边上的中线性质得CD=AD=DB，则ACD=A=30，BCD=B=60，由于EDF=90，可利用互余得CPD=60，再根据旋转的性质得PDM=CDN=，于是可判断PDMCDN，得到=，然后在RtPCD中利用正切的定义得到tanPCD=tan30=，于是可得=【解答】解：点D为斜边AB的中点，CD=AD=DB，ACD=A=30，BCD=B=60，EDF=90，CPD=60，MPD=NCD，EDF绕点D顺时针方向旋转（060），PDM=CDN=，PDMCDN，=，在RtPCD中，tanPCD=tan30=，=tan30=故选C【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等也考查了相似三角形的判定与性质11(2016重庆巴南 一模）如图，在ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DEBC若=，AD=9，则AB等于（）A10B11C12D16【分析】根据平行线分线段成比例定理得到=，代入计算即可得到答案【解答】解：DEBC，=，又AD=9，AB=12， 第12题图故选：C12(2016山西大同 一模）如图所示，已知E（-4，2）和F（-1，1），以原点O为位似中心，按比例尺2：1把EFO缩小，则点E的对应点E的坐标为（）A（2，1） B（，）C（2，-1）D（2，）答案：C13(2016上海普陀区一模)如图，BD、CE相交于点A，下列条件中，能推得DEBC的条件是（）AAE：EC=AD：DBBAD：AB=DE：BCCAD：DE=AB：BCDBD：AB=AC：EC【考点】平行线分线段成比例【分析】根据比例式看看能不能推出ABCADE即可【解答】解：A、AE：EC=AD：DB，=，都减去1得： =，BAC=EAD，ABCADE，D=B，DEBC，故本选项正确；B、根据AD：AB=DE：BC不能推出ABCADE，即不能得出内错角相等，不能推出DEBC，故本选项错误；C、根据AD：DE=AB：BC不能推出ABCADE，即不能得出内错角相等，不能推出DEBC，故本选项错误；D、根据BD：AB=AC：EC不能推出ABCADE，即不能得出内错角相等，不能推出DEBC，故本选项错误；故选A【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，能理解平行线分线段成比例定理的内容是解此题的关键14(2016山东枣庄模拟)如图，在ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中不能判断ABCAED的是（）AAED=BBADE=CC =D =【考点】相似三角形的判定【分析】由于两三角形有公共角，则根据有两组角对应相等的两个三角形相似可对A、B选项进行判断；根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对C、D选项进行判断【解答】解：DAE=CAB，当AED=B或ADE=C时，ABCAED；当 = 时，ABCAED故选D【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似15(2016上海普陀区一模)如图，在ABC中，D是AB的中点，DEBC，若ADE的面积为3，则ABC的面积为（）A3B6C9D12【考点】相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理【分析】由平行可知ADEABC，且=，再利用三角形的面积比等于相似比的平方可求得ABC的面积【解答】解：DEBC，ADEABC，D是AB的中点，=，=（）2=，且SADE=3，=，SABC=12，故选D【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键16. (2016陕西师大附中模拟)如图，在ABC中，DEBC，AD=6，BD=3，AE=4，则EC的长为（ ） A.1 B.2 C.3 D. 4ABCMN第17题图【答案】B17(2016上海浦东模拟)如图，ABC和AMN都是等边三角形，点M是ABC的重心，那么的值为（ B ）（A）； （B）； （C）； （D）18.（2016河北石家庄一模）按如图所示的方法折纸，下面结论正确的个数（）2=90；1=AEC；ABEECF；BAE=3A1个B2个C3个D4个【考点】翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质【分析】根据翻折变换的性质、相似三角形的判定定理解答即可【解答】解：由翻折变换的性质可知，AEB+FEC=180=90，则AEF=90，即2=90，正确；由图形可知，1AEC，错误；2=90，1+3=90，又1+BAE=90，BAE=3，正确；BAE=3，B=C=90，ABEECF，正确故选：C【点评】本题考查的是翻折变换的性质，翻折变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等19.（2016河大附中一模）如图，在ABC中，AD平分BAC，按如下步骤作图：第一步，分别以点A.D为圆心，以大于AD的长为半径在AD两侧作 弧，交于两点M、N;第二步，连接MN分别交AB、AC于点E、F;第三步，连接DE、DF.若BE=8，ED =4，CD=3，则BD的长是 ( ) A4 B6 C8 D12答案：B20.（2016湖北襄阳一模）如图，AB是O的直径，弦BC=2cm，ABC=60.若动点P以2cm/s的速度从B点出发沿着BA的方向运动，点Q从A点出发沿着AC的方向运动，当点P到达点A时，点Q也随之停止运动设运动时间为t(s)，当APQ是直角三角形时，t的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或或答案：C21. （2016广东河源一模）如图，已知D，E分别是ABC的AB， AC边上的点，且S四边形DBCE18，那么 等于( ) A19 B13 C18 D12答案：B22. （2016广东深圳联考）如图，在同一时刻，身高1.6米的小丽在阳光下的影长为2.5米，一棵大树的影长为5米，则这棵树的高度为A7.8米 B3.2米 C2.3米 D1.5米答案：B23.（2016河南三门峡一模）如图，在ABC 中，C=90，BC=3，D，E 分别在 AB、AC上，将ADE沿DE翻折后，点A正好落在点A处，若A为CE的中点，则折痕DE的长为( )A. B. 3C. 2 D. 1答案：D二、填空题1(2016浙江杭州萧山区模拟)如图，已知RtAOB中，AOB=90，AO=5，BO=3，点E、M是线段AB上的两个不同的动点（不与端点重合），分别过E、M作AO的垂线，垂足分别为K、LOEK面积S的最大值为；若以OE、OM为边构造平行四边形EOMF，当EMOF时，OK+OL=【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质【分析】根据条件证明OBAKEA，得到比例式，用含OK的式子表示KE，根据三角形的面积公式，列出关于OK的关系式即可；根据菱形的性质和勾股定理，利用一元二次方程根与系数的关系，求出答案【解答】解：EKOA，AOB=90，OBAKEA=，KE=，S=OKKE=，设OK=x，则S=，当x=时，S有最大值，最大值为；解：当EMOF时，平行四边形EOMF为菱形，OE的取值范围为OE3，设OK=a，OL=b，由（1）得，KE=，ML=，由OE=OM得a2+2=b2+2设y=x2+2=x2x+9，则当x1=a，x2=b时，函数y的值相等函数y的对称轴为直线x即=解得a+b=，即OK+OL=故答案为：，【点评】本题综合考查了菱形的性质、相似三角形的判定和性质、一元二次方程、二次函数的知识，综合性很强，属于较难题，需要学生有综合运用知识的能力2(2016浙江镇江模拟)在直角坐标系中有两点A(6，3)、B(6，0)以原点O为位似中心，把线段AB按相似的1:3缩小后得到线段CD，点C在第一象限（如图），则点C的坐标为 答案：（2，1）3.（2016枣庄41中一模）如图，边长为6的正方形ABCD中，点E是BC上一点，点F是AB上一点点F关于直线DE的对称点G恰好在BC延长线上，FG交DE于点H点M为AD的中点，若MH=，则EG【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质【分析】连接DF，DG，过H作HPAB于P，HQAD于Q，由点F，点G关于直线DE的对称，得到DF=DG，根据正方形的性质得到AD=CD，ADC=A=BCD=90，推出RtAFDRtCDG，证得FDG是等腰直角三角形，推出四边形APHQ是矩形，证得HPFDHQ，根据全等三角形的性质得到HP=HQ，推出MHQDHQ，根据全等三角形的性质得到DH=MH=，DQ=QM=，求得CH=DH=，通过DQHCEH，根据相似三角形的性质即可得到结论【解答】解：连接DF，DG，过H作HPAB于P，HQAD于Q，点F，点G关于直线DE的对称，DF=DG，正方形ABCD中，AD=CD，ADC=A=BCD=90，GCD=90，在RtAFD与RtCDG中，RtAFDRtCDG，ADF=CDG，FDG=ADC=90，FDG是等腰直角三角形，DHCF，DH=FH=FG，HPAB，HQAD，A=90，四边形APHQ是矩形，PHQ=90，DHF=90，PHF=DHQ，在PFF与DQH中，HPFDHQ，HP=HQ，PHF=90FHM，QHM=90FHM，PHF=QHM，QHM=DHQ，在MHQ与DHQ中，MHQDHQ，DH=MH=，DQ=QM=，CH=DH=，点M为AD的中点，DM=3，DQ=QM=，HQ=，QDH=HEG，DQHCEH，即，EG=故答案为：4.（2016齐河三模）如图，光源P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，ABCD，AB=2m，CD=6m，点P到CD的距离是2.7m，则_m答案：1.85.（2016天津市南开区一模）如图，在正方形ABCD内有一折线段，其中AE丄EF，EF丄FC，并且AE=6，EF=8，FC=10，则正方形与其外接圆之间形成的阴影部分的面积为80160【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质【专题】压轴题【分析】首先连接AC，则可证得AEMCFM，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得EM与FM的长，然后由勾股定理求得AM与CM的长，则可求得正方形与圆的面积，则问题得解【解答】解：连接AC，AE丄EF，EF丄FC，E=F=90，AME=CMF，AEMCFM，AE=6，EF=8，FC=10，EM=3，FM=5，在RtAEM中，AM=3，在RtFCM中，CM=5，AC=8，在RtABC中，AB=ACsin45=8=4，S正方形ABCD=AB2=160，圆的面积为：（）2=80，正方形与其外接圆之间形成的阴影部分的面积为80160故答案为：80160【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，正方形与圆的面积的求解方法，以及勾股定理的应用此题综合性较强，解题时要注意数形结合思想的应用6(2016重庆巴蜀 一模）如图，E是ABCD边AB延长线上的一点，AB=4BE，连接DE交BC于点F，则DCF与四边形ABFD面积的比是 【分析】由平行四边形的性质得出AB=CD，ABCD，ADBC，得出BEFDCF，得出SDCF=16SBEF，同理：SACD=25SBEF，即可得出结果【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，AB=CD，ABCD，ADBC，BEFDCF，=（）2，AB=4BE，CD=4BE，=（）2，SDCF=16SBEF，同理：SACD=25SBEF，=，=，即DCF与四边形ABFD面积的比是2：3，故答案为7(2016重庆铜梁巴川一模）如图，已知D、E分别是ABC的边AB和AC上的点，DEBC，BE与CD相交于点F，如果AE=1，CE=2，那么EF：BF等于 【分析】由DEBC，证得ADEABC，根据相似三角形的性质得到=，由于DEFBCF，根据相似三角形的性质即可得到结论【解答】解：AE=1，CE=2，AC=3，DEBC，ADEABC，=，DEBC，DEFBCF，=，故答案为：1：38(2016重庆铜梁巴川一模）如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（0，4），直线y=x3与x轴、y轴分别交于点A，B，点M是直线AB上的一个动点，则PM长的最小值为 【分析】认真审题，根据垂线段最短得出PMAB时线段PM最短，分别求出PB、OB、OA、AB的长度，利用PBMABO，即可求出本题的答案【解答】解：如图，过点P作PMAB，则：PMB=90，当PMAB时，PM最短，因为直线y=x3与x轴、y轴分别交于点A，B，可得点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，3），在RtAOB中，AO=4，BO=3，AB=5，BMP=AOB=90，B=B，PB=OP+OB=7，PBMABO，=，即：，所以可得：PM=9(2016云南省曲靖市罗平县二模)如图，在ABC中点D、E分别在边AB、AC上，请添加一个条件：AEB=B（答案不唯一），使ABCAED【考点】相似三角形的判定【专题】开放型【分析】根据AEB=B和A=A可以求证AEDABC，故添加条件AEB=B即可以求证AEDABC【解答】解：AEB=B，A=A，AEDABC，故添加条件AEB=B即可以使得AEDABC，故答案为：AEB=B（答案不唯一）【点评】本题考查了相似三角形的判定，等边三角形对应角相等的性质，本题中添加条件AEB=B并求证AEDABC是解题的关键10(2016上海普陀区一模)如果，那么=【考点】比例的性质【分析】根据比例设x=2k，y=5k，然后代入比例式进行计算即可得解【解答】解： =，设x=2k，y=5k，则=故答案为：【点评】本题考查了比例的性质，利用“设k法”表示出x、y可以使计算更加简11(2016上海普陀区一模)已知点P把线段分割成AP和PB两段（APPB），如果AP是AB和PB的比例中项，那么AP：AB的值等于【考点】黄金分割【分析】根据黄金分割的概念和黄金比是解答即可【解答】解：点P把线段分割成AP和PB两段（APPB），AP是AB和PB的比例中项，点P是线段AB的黄金分割点，AP：AB=，故答案为：【点评】本题考查的是黄金分割的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比12(2016山东枣庄模拟)如图，以点O为位似中心，将ABC放大得到DEF，若AD=OA，则ABC与DEF的面积之比为1：4【考点】位似变换【分析】由AD=OA，易得ABC与DEF的位似比等于1：2，继而求得ABC与DEF的面积之比【解答】解：以点O为位似中心，将ABC放大得到DEF，AD=OA，AB：DE=OA：OD=1：2，ABC与DEF的面积之比为：1：4故答案为：1：4【点评】此题考查了位似图形的性质注意相似三角形的面积比等于相似比的平方13(2016上海普陀区一模)已知在RtABC中，C=90，点P、Q分别在边AB、AC上，AC=4，BC=AQ=3，如果APQ与ABC相似，那么AP的长等于或【考点】相似三角形的性质【分析】根据勾股定理求出AB的长，根据相似三角形的性质列出比例式解答即可【解答】解：AC=4，BC=3，C=90，AB=5，当APQABC时，=，即=，解得，AP=；当APQACB时，=，即，解得，AP=，故答案为：或【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边的比相等、正确运用分情况讨论思想是解题的关键14(2016上海普陀区一模)已知A（3，2）是平面直角坐标中的一点，点B是x轴负半轴上一动点，联结AB，并以AB为边在x轴上方作矩形ABCD，且满足BC：AB=1：2，设点C的横坐标是a，如果用含a的代数式表示D点的坐标，那么D点的坐标是（2，）【考点】相似三角形的判定与性质；坐标与图形性质【分析】如图，过C作CHx轴于H，过A作AFx轴于F，AGy轴于G，过D作DEAG于E，于是得到CHB=AFO=AED=90，根据余角的性质得到DAE=FAB，推出BCHABF，根据相似三角形的性质得到，求得BH=AF=1，CH=BF=，通过BCHADE，得到AE=BH=1，DE=CH=，求得EG=31=2，于是得到结论【解答】解：如图，过C作CHx轴于H，过A作AFx轴于F，AGy轴于G，过D作DEAG于E，CHB=AFO=AED=90，GAF=90，DAE=FAB，四边形ABCD是矩形，ABC=90，BCH=ABF，BCHABF，A（3，2），AF=2，AG=3，点C的横坐标是a，OH=a，BC：AB=1：2，BH=AF=1，CH=BF=，BCHABF，HBC=DAE，在BCH与ADE中，BCHADE，AE=BH=1，DE=CH=，EG=31=2，D（2，）故答案为：（2，）【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，坐标与图形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，正确的画出图形是解题的关键15.（2016吉林长春朝阳区一模）如图，直线l1l2l3，直线AC分别交l1、l2、l3于点A、B、C；过点B的直线DE分别交l1、l3于点D、E若AB=2，BC=4，BD=1.5，则线段BE的长为3【考点】平行线分线段成比例【专题】计算题【分析】根据平行线分线段成比例定理得到=，然后把AB、BC、BD的值代入后利用比例的性质可计算出BE的长【解答】解：l1l2l3，=，即=，BE=3故答案为3【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例16.（2016河北石家庄一模）如图，正方形ABCD与正方形EFGH是位似形，已知A（0，5），D（0，3），E（0，1），H（0，4），则位似中心的坐标是（0，），（6，13） 【考点】位似变换；坐标与图形性质【分析】分别利用待定系数法求出一次函数解析式，再利用当B与F是对应点，以及当B与E是对应点分别求出位似中心【解答】解：设当B与F是对应点，设直线BF的解析式为：y=kx+b，则，解得：，故直线BF的解析式为：y=x+，则x=0时，y=，即位似中心是：（0，），设当B与E是对应点，设直线BE的解析式为：y=ax+c，则，解得：，故直线BE的解析式为：y=2x+1，设直线HF的解析式为：y=dx+e，则，解得：，故直线HF的解析式为：y=x+5，则，解得：即位似中心是：（6，13），综上所述：所述位似中心为：（0，），（6，13）故答案为：（0，），（6，13）【点评】此题主要考查了位似图形的性质以及待定系数法求一次函数解析式，正确分类讨论得出是解题关键17.（2016广东东莞联考）将正方形与直角三角形纸片按如图所示方式叠放在一起，已知正方形的边长为20cm，点O为正方形的中心，AB=5cm，则CD的长为20cm【考点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质【分析】根据题意四边形BOCE是正方形，且边长等于大正方形的边长的一半，等于10cm，再根据DCE和DOA相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可【解答】解：如图，点O为正方形的中心，四边形BOCE是正方形，边长=202=10cm，CEAO，DCEDOA，即，解得DC=20cm故答案为：20【点评】本题主要考查正方形各边都相等，每个角都是直角的性质和相似三角形对应边成比例的性质，需要熟练掌握并灵活运用18.（2016广东深圳联考）如图，已知矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，P是位似中心，若点B的坐标为（2，4），点E的坐标为（1，2），则点P的坐标为 答案：（-2，0）19.（2016河南三门峡一模）如图，在平行四边形ABCD中，E是边BC上的点，分别连结AE、BD相交于点O，若AD=5，则EC=_答案：2三、解答题1(2016浙江杭州萧山区模拟)平面直角坐标系中，有A、B、C三点，其中A为原点，点B和点C的坐标分别为（5，0）和（1，2）（1）证明：ABC为Rt（2）请你在直角坐标系中找一点D，使得ABC与ABD相似，写出所有满足条件的点D的坐标，并在同一坐标系中画出所有符合要求的三角形（3）在第（2）题所作的图中，连接任意两个直角三角形（包括ABC）的直角顶点均可得到一条线段，在连接两点所得的所有线段中任取一条线段，求取到长度为无理数的线段的概率【考点】相似形综合题；勾股定理；勾股定理的逆定理；概率公式【专题】综合题；分类讨论【分析】（1）过点C作CHx轴于H，如图1，只需运用勾股定理求出AB2、AC2、BC2，然后运用勾股定理的逆定理就可解决问题；（2）ABC与ABD相似，对应关系不确定，故需分六种情况（若ABCABD，若ABCBAD，若ABCADB，若ABCDAB，若ABCBDA，若ABCDBA）讨论，然后运用相似三角形的性质就可解决问题；（3）图中的直角三角形的直角顶点有A、B、C、D1、D2、D3，只需求出任意两直角顶点的连线段的条数和长度为无理数的线段的条数，就可解决问题【解答】解：（1）过点C作CHx轴于H，如图1，A（0，0），B（5，0），C（1，2），AC2=12+22=5，BC2=（51）2+22=20，AB2=52=25，AB2=AC2+BC2，ABC为Rt；（2）若ABCABD，则有D1（1，2）；若ABCBAD，则有D2（4，1），D3（4，1）；若ABCADB，则有D4（5，10），D5（5，10）；若ABCDAB，则有D6（5，2.5），D7（5，2.5）；若ABCBDA，则有D8（0，10），D9（0，10）；若ABCDBA，则有D10（0，2.5），D11（0，2.5）；所有符合要求的三角形如图所示（3）图中的直角三角形的直角顶点有A、B、C、D1、D2、D3任意两直角顶点的连线段共有=15条，其中AB=5，CD1=D2D3=4，CD2=D1D3=5，CD3=D1D2=3，故长度为有理数的线段共7条，长度为无理数的线段共8条，则取到长度为无理数的线段的概率为p=【点评】本题主要考查了勾股定理及其逆定理、相似三角形的性质、概率公式等知识，运用分类讨论的思想是解决第（2）小题的关键?CPMBOACN3(2016浙江镇江模拟)（本小题满分9分）如图，AB为O的直径，AB=2，点在M在QO上，MC垂直平分OA，点N为直线AB上一动点（N不与A重合），若MNPMAC，PC与直线AB所夹锐角为（1）若AM=AC，点N与点O重合，则= ；（2）若点C、点N的位置如图所示，求的度数；（3）当直线PC与O相切时，则MC的长为 （1）如图 ，= 30 ； （2）连接MO，MPOAC（N）MC垂直平分AO，MA=MO=AOAMO=60，则AMC=30MAQMNP，AMN=QMP，AMNQMP，MAN=MQP，=AMQ=30； （3） 4.（2016青岛一模）把RtABC和RtDEF按如图（1）摆放（点C与E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上已知：ACB=EDF=90，DEF=45，AC=8cm，BC=6cm，EF=10cm如图（2），DEF从图（1）的位置出发，以1cm/s的速度沿CB向ABC匀速移动，在DEF移动的同时，点P从ABC的顶点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速移动；当点P移动到点B时，点P停止移动，DEF也随之停止移动DE与AC交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）（1）用含t的代数式表示线段AP和AQ的长，并写出t的取值范围；（2）连接PE，设四边形APEQ的面积为y（cm2），试探究y的最大值；（3）当t为何值时，APQ是等腰三角形【考点】相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；等腰三角形的性质【专题】动点型【分析】（1）根据题意以及直角三角形性质表达出CQ、AQ，从而得出结论，（2）作PGx轴，将四边形的面积表示为SABCSBPESQCE即可求解，（3）根据题意以及三角形相似对边比例性质即可得出结论【解答】（1）解：AP=2tEDF=90，DEF=45，CQE=45=DEF，CQ=CE=t，AQ=8t，t的取值范围是：0t5；（2）过点P作PGx轴于G，可求得AB=10，SinB=，PB=102t，EB=6t，PG=PBSinB=（102t）y=SABCSPBESQCE=当（在0t5内），y有最大值，y最大值=（cm2）（3）若AP=AQ，则有2t=8t解得：（s）若AP=PQ，如图：过点P作PHAC，则AH=QH=，PHBCAPHABC，即，解得：（s）若AQ=PQ，如图：过点Q作QIAB，则AI=PI=AP=tAIQ=ACB=90A=A，AQIABC即，解得：（s）综上所述，当或或时，APQ是等腰三角形5（2016天津北辰区一摸）（本小题10分）如图（1），在平面直角坐标系中，已知点（，），点（，）. 沿轴向右平移Rt，得Rt，直线与或的延长线相交于点. 设（，）（），以点，为顶点的四边形面积记为.（）求与的函数关系式；（）用含（）的式子表示； （）当，求点的坐标（直接写出结果）.BOA图（2）图（1）BOAD第（1）题 （图2为备用图）.解：（）当点与点不重合时， ， . .图（1）BOAD 如图（1），点D在AB上，有. . 即.如图（2），点D在BA延长线上，有. . 即. 当点与点重合时，与重合，此时，. 与的关系是：. （） 如图（1），当 时，点D在AB上，图（2）BOAD有 . 把 ，代入，得. （）. 如图（2），当时，点D在BA延长线上， 平移得到， ，. . 把 代入，得. 综上， （）D（，）. 把代入，得 ，舍. 把，代入，得. 代入，得(舍) ，（舍）.6（2016天津市南开区一模）如图，AB是O的直径，C，P是上两点，AB=13，AC=5（1）如图（1），若点P是的中点，求PA的长；（2）如图（2），若点P是的中点，求PA的长【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理【专题】几何综合题【分析】（1）根据圆周角的定理，APB=90，P是弧AB的中点，所以三角形APB是等腰三角形，利用勾股定理即可求得（2）根据垂径定理得出OP垂直平分BC，得出OPAC，从而得出ACB0NP，根据对应边成比例求得ON、AN的长，利用勾股定理求得NP的长，进而求得PA【解答】解：（1）如图（1）所示，连接PB，AB是O的直径且P是的中点，PAB=PBA=45，APB=90，又在等腰三角形APB中有AB=13，PA=（2）如图（2）所示：连接BCOP相交于M点，作PNAB于点N，P点为弧BC的中点，OPBC，OMB=90，又因为AB为直径ACB=90，ACB=OMB，OPAC，CAB=POB，又因为ACB=ONP=90，ACB0NP=，又AB=13 AC=5 OP=，代入得 ON=，AN=OA+ON=9在RtOPN中，有NP2=0P2ON2=36在RtANP中 有PA=3PA=3【点评】本题考查了圆周角的定理，垂径定理，勾股定理，等腰三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，作出辅助线是本题的关键7.（2016天津市南开区一模）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是（4，0），点B的坐标是（0，b）（b0）P是直线AB上的一个动点，作PCx轴，垂足为C记点P关于y轴的对称点为P（点P不在y轴上），连接PP，PA，PC设点P的横坐标为a（1）当b=3时，求直线AB的解析式；若点P的坐标是（1，m），求m的值；（2）若点P在第一象限，记直线AB与PC的交点为D当PD：DC=1：3时，求a的值；（3）是否同时存在a，b，使PCA为等腰直角三角形？若存在，请求出所有满足要求的a，b的值；若不存在，请说明理由【考点】相似三角形的判定与性质；待定系数法求一次函数解析式；等腰直角三角形【专题】压轴题【分析】（1）利用待定系数法即可求得函数的解析式；把（1，m）代入函数解析式即可求得m的值；（2）可以证明PPDACD，根据相似三角形的对应边的比相等，即可求解；（3）分P在第一，二，三象限，三种情况进行讨论利用相似三角形的性质即可求解【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+3，把x=4，y=0代入得：4k+3=0，k=，直线的解析式是：y=x+3，P（1，m），点P的坐标是（1，m），点P在直线AB上，m=1+3=；（2）PPAC，PPDACD，=，即=，a=；（3）以下分三种情况讨论当点P在第一象限时，1）若APC=90，PA=PC（如图1）过点P作PHx轴于点HPP=CH=AH=PH=AC2a=（a+4）a=PH=PC=AC，ACPAOB=，即=，b=22）若PAC=90，（如图2），则四边形PACP是矩形，则PP=AC若PCA为等腰直角三角形，则：PA=CA，2a=a+4a=4PA=PC=AC，ACPAOB=1，即=1b=43）若PCA=90，则点P，P都在第一象限内，这与条件矛盾PCA不可能是以C为直角顶点的等腰直角三角形当点P在第二象限时，PCA为钝角（如图3），此时PCA不可能是等腰直角三角形；当P在第三象限时，PAC为钝角（如图4），此时PCA不可能是等腰直角三角形所有满足条件的a，b的值为：，【点评】本题主要考查了梯形的性质，相似三角形的判定和性质以及一次函数的综合应用，要注意的是（3）中，要根据P点的不同位置进行分类求解8.（2016天津五区县一模）如图，AB为O的直径，C为O上一点，AD和过C点的直线互相垂直，垂足为D，且AC平分DAB（1）求证：DC为O的切线；（2）若O的半径为3，AD=4，求AC的长【考点】切线的判定；相似三角形的判定与性质【分析】（1）连接OC，由OA=OC可以得到OAC=OCA，然后利用角平分线的性质可以证明DAC=OCA，接着利用平行线的判定即可得到OCAD，然后就得到OCCD，由此即可证明直线CD与O相切于C点；（2）连接BC，根据圆周角定理的推理得到ACB=90，又DAC=OAC，由此可以得到ADCACB，然后利用相似三角形的性质即可解决问题【解答】（1）证明：连接OCOA=OCOAC=OCAAC平分DABDAC=OACDAC=OCAOCADADCDOCCD直线CD与O相切于点C；（2）解：连接BC，则ACB=90DAC=OAC，ADC=ACB=90，ADCACB，AC2=ADAB，O的半径为3，AD=4，AB=6，AC=2【点评】此题主要考查了切线的性质与判定，解题时 首先利用切线的判定证明切线，然后利用切线的想这已知条件证明三角形相似即可解决问题9. (2016重庆巴蜀 一模）如图1，正方形ABCD中，点E为AD上任意一点，连接BE，以BE为边向BE右侧作正方形BEFG，EF交CD于点M，连接BM，N为BM的中点，连接GN，FN（1）若AB=4，AE：DE=3：1，求EM的长；（2）求证：GN=FN；（3）如图2，移动点E，使得FNCD于点Q时，请探究CM与DE的数量关系并说明理由【分析】（1）根据题意分别求出AE、DE，证明ABEDEM，根据相似三角形的性质得到比例式，计算即可；（2）连接EN，根据直角三角形的性质得到EN=BM，证明NBGNEF即可；（3）延长ED，过点F作FHED，交ED的延长线于H，证明ABEHEF，得到AE=HF，根据矩形的性质得到DR=FH，等量代换即可【解答】解：（1）AB=4，AE：DE=3：1，AE=3，DE=1，BE=5，BEF=90，BEF=90，BEF=90，ABEDEM，=，即=，解得，EM=；（2）连接EN，BEF=90，N为BM的中点，EN=BM=BN=NM，NBE=NEB，NBG=NEF，在NBG和NEF中，NBGNEF，GN=FN；（3）如图2，延长ED，过点F作FHED，交ED的延长线于H，BCD=90，N为BM的中点，CN=BM=BN=NM，FNCD，CR=MR=CM，A=H=90，ABE+AEB=90，BEF=90，AEB+FEH=90，ABE=FEH，在ABE和HEF中，ABEHEF，AE=HF，H=RDH=DRF=90，四边形DRFH是矩形，AE=HF=DR，ADAE=CD=DR，即DE=CR，DE=CM10.(2016四川峨眉 二模）如图（甲），在中，、分别是、边上的点，且，与相交于点，（1）求的值；（2）如图(乙)，在中，点在边的延长线上，在边上，且，求；若，求的值.答案：解：(1)过作，交的延长线于点（如图11甲）, ， 又， 又,， ，即： (2) 过作，交的延长线于点(如图11乙)，又，即： 在的条件下，、分别为、又，由可得，、为等腰直角三角形，、又， 11(2016四川峨眉 二模）如图，中，是延长线上一点，与交于点，（1）求证：；（2）若的面积为，求梯形的面积答案：（1）证明：在中，是延长线上一点又 （2）解：，又， 又， 又的面积为， ， 所以梯形的面积为= 12(2016上海普陀区一模)已知：如图，有一块面积等于1200cm2的三角形纸片ABC，已知底边与底边BC上的高的和为100cm（底边BC大于底边上的高），要把它加工成一个正方形纸片，使正方形的一边EF在边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上，求加工成的正方形铁片DEFG的边长【考点】相似三角形的应用【分析】作AMBC于M，交DG于N，设BC=acm，BC边上的高为hcm，DG=DE=xcm，根据题意得出方程组求出BC和AM，再由平行线得出ADGABC，由相似三角形对应高的比等于相似比得出比例式，即可得出结果【解答】解：作AMBC于M，交DG于N，如图所示：设BC=acm，BC边上的高为hcm，DG=DE=xcm，根据题意得：，解得：，或（不合题意，舍去），BC=60cm，AM=h=40cm，DGBC，ADGABC，即，解得：x=24，即加工成的正方形铁片DEFG的边长为24cm【点评】本题考查了方程组的解法、相似三角形的运用；熟练掌握方程组的解法，证明三角形相似得出比例式是解决问题的关键