数学建模之狼追击兔子的问题.doc

案例：狼追击兔子的问题（一） 1.1 狼追击兔子问题的建模1. 1.1.1 问题重述与分析狼追兔子问题是欧洲文艺复兴时代的著名人物达.芬奇提出的一个数学问题。当一个兔子正在它的洞穴南面60码处觅食时，一只恶狼出现在兔子正东的100码处。当两只动物同时发现对方以后，兔子奔向自己的洞穴，狼以快于兔子一倍的速度紧追兔子不放。狼在追赶过程中所形成的轨迹就是追击曲线。狼是否会在兔子跑回洞穴之前追赶上兔子？为了研究狼是否能够追上兔子，可以先考虑求出狼追兔子形成的追击曲线，然后根据曲线来确定狼是否能够追上兔子。2. 1.1.2 变量说明：兔子的速度（单位：码/秒）：狼与兔子速度的倍数；：狼的速度（单位：码/秒），显然有：狼追击兔子的时刻（t=0时，表示狼开始追兔子的时刻）：在时刻t，兔子跑过的路程（单位：码），：在时刻t，狼跑过的路程（单位：码），Q：表示在时刻t时，兔子的坐标P：表示在时刻t时，狼子的坐标3. 1.1.3 模型假设2、 1、狼在追击过程中始终朝向兔子；3、 2、 狼追击兔子的轨迹看作是一条光滑的曲线，即将动点P的轨迹看作一条曲线，曲线方程表示为。1. 1.1.4 模型建立（一）建模准备以t0时，兔子的位置作为直角坐标原点，兔子朝向狼的方向为x轴正向；则显然有兔子位置的横坐标。对狼来说，当x100，y0，即在t0刚开始追击时，狼的奔跑方向朝向兔子，此时即x轴负方向，则有（二）建立模型1、追击方向的讨论由于狼始终朝向兔子，则在狼所在位置P点过狼的轨迹处的切线方向在y轴上的截据为。设切线上的动点坐标为（X，Y），则切线方程为 （1）在（1）中，令X0，则截据。此时 。则此时截据等于兔子所跑过的路程，即：，从而可得 （2）2、狼与兔子速度关系的建模在t时刻，兔子跑过的路程为 （3）由于狼的速度是兔子的r倍，则狼跑的路程为 （4）狼跑过的路程可以用对弧长的曲线积分知识得到，如下。 （5）联立（2）、（4）、（5）得 （6）对（6）两边求对x的导数，化简得 （7）微分方程（7）式的初始条件有：3、是否追上的判断要判定狼是否追上兔子，可以通过（7）式判定。对（7）式，当x0，如果计算求解得到，则视为没有追上；当x0，如果计算求解得到，则视为兔子被追上；2. 1.1.5 模型求解由微分方程得到其Matlab函数function yy=odefunlt(x,y)%以狼在追击过程中的横坐标为自变量yy(1,1)=y(2);yy(2,1)=sqrt(1+y(2).2)./(2.*x);主程序：tspan=100:-0.1:0.1;%以狼的x坐标为自变量y0=0 0;%下面只知道狼是否追上兔子，但是不易推得兔子刚刚到达窝边时，狼与兔之间的距离T,Y = ode45(odefunlt,tspan,y0);n=size(Y,1);disp(狼的坐标(x=0.1)disp(Y(n,1)%通过追击曲线计算当狼的横坐标为0.1(即tspan=0.1)时，狼的纵坐标3. 1.1.6 模型结果与分析运行结果：狼的坐标(x=0.1) 62.1932通过上面运行结果可知，狼并没有追上兔子。4. 1.1.7 思考题通过上面的结果已经知道狼并没有追上兔子。那么兔子跑回窝边时，狼与兔子之间的距离是多少？上面的程序不能解决此问题，那么用什么办法解决呢？（一）解决思路可以对狼与兔子的追击过程通过计算机进行模拟，然后从模拟结果获取。模拟程序如下，程序文件名sim_langtu.m：function sim_langtu%狼兔追击问题%（离散模拟）%这里没有具体考虑狼、兔的具体速度%主要通过二者的速度倍速关系及方向向量奔跑过程Q=0 0;%兔子坐标P=100 0;%狼坐标PQ=Q-P;%狼兔方向向量 step =1;%模拟步长：兔子奔跑的距离，step越小就越精确count = 60/step;%以兔子的奔跑距离划分PQ=PQ/norm(PQ)*step;%归一化，单位向量trackP=P;trackQ=Q;for k=1:count; P = P + 2*PQ;%2倍速度 Q = Q + step*0 1;%0 1为兔子奔跑方向的单位方向向量 PQ = Q - P; trackP(1+k,:)=P; trackQ(1+k,:)=Q; PQ=PQ/norm(PQ)*step;%归一化，单位向量 dis= sqrt(sum(P-Q).2); plot(trackP(:,1),trackP(:,2),*,Q(1),Q(2),rp,0,60,r+); pause(0.5)end%fordis%兔子到达窝边时，狼兔之间的距离P %兔子到达窝边时，狼的坐标Q %兔子到达窝边时，兔子的坐标（二）模拟程序运行结果dis =7.0619P =1.6805 53.1410Q = 0 60注：如果修改程序中的step赋值，则结果稍有不同。程序结束后，输出狼兔的位置图如下。通过下图可以直观的看到，当兔子回到窝边时，狼还与兔子有一段距离，这表示兔子成功逃脱。